CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2010, том 53, №9__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
Б.Шарипов
ФОРМУЛА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Институт предпринимательства и сервиса Министерства энергетики и промышленности
Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан ЛТМшайловым 31.03.2010 г.)
В статье рассматривается один класс систем уравнений в полных дифферениалах, для которых обеспечиваются тождественные условия совместности и многообразие решений находится явно либо в квадратурах.
Ключевые слова: сингулярная точка - полный дифференциал - условие совместности - многообразие решений.
В работах Л.Г. Михайлова [1-4] были изучены двухмерный и трехмерный случаи классической системы уравнений в полных дифференциалах (п.д.) с сингулярной точкой r = 0, (r2 = x2 + y2)
на плоскости, либо р = 0, (р = -\J x2 + y2 + z2) в пространстве. В работах были исследованы свойства вырождения в сингулярной точке р = 0 и найдено многообразие решений изучаемых систем. Выявлено, что решения систем в трёхмерном случае D = {(x, y, z)| 0 < р < 1, (0 <ф, в < 2л)} являются однозначными.
С учётом этих замечаний, в настоящей работе нами будут рассмотрены нелинейные уравнения в полных дифференциалах (п.д.) с сингулярными точками р = 0 различного порядка, записав условия совместности систем и выполнения их тождественного выполнения, системы интегрируются явно. Кроме того, нами исследуется поведение решений системы в D и сингулярной точке.
1. Рассмотрим квазилинейный полный дифференциал с сингулярной точкой порядка п:
pndu = p(x, y, z, u)dx + q(x, y, z, u)dy + r(x, y, z, u)dz, (1)
в котором для всех точек (x, y, z) e D, D = {(x, y, z)| 0 < p2 = x2 + y2 + z2 < l}, будут
p, q, r e C1 (D), u(x, y, z) e C2(D) , при этом D0 = D - {0} (D0 является шаром радиуса p с выколотой точкой р = 0 , 0 < ф < 2л, 0 < в < 2л). Переходя к сферической системе координат, преобразуем уравнение (1) к виду:
Адрес для корреспонденции: Шарипов Бобоали. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса. E-mail: sharipovtj@mail.ru
рпёы = а(р, р, в, ы)с1р + рЪ(р, р, в, ы)йр + рс(р, р, в, ы)с1в, (2)
где функции a, Ь, c выражаются через p, q, г, р,р,в.
Равносильной уравнению(2) будет п.д.- система
ды а(р,р,в, и) ды Ъ(р,р,в, и) ды с(р,р,в, и)
(3)
др рп ’ дф рп_ ’ дв рп_
для которой условиями совместности будут:
п_1 да да п дЪ п_х дЪ
рп 1— + Ъ-------------------рп — + (п _ \)рп Ъ _ а— = 0,
дф ды др ды
п_1 да да п дс п_1 дс
рп ТЕ + ^_рпТ- + (п_ 1)рп с_а— = 0, (N1)
дв ды др ды
рп_ 1 ™ + сдЪ_р_ 1 Ёс_Ъ * = 0.
дв ды дф ды
Каждое из этих условий необходимо для совместности системы (3), и если хотя бы одно из этих условий (N0 не выполняется, то система (3) не совместна.
Пусть условия (N0 выполняются тождественно. Тогда, аналогично [1-8], интегрируя (3), получим, что ее многообразие решений выражается через одну произвольную постоянную, причем решение системы всюду в О, кроме точки р = 0 , является непрерывным, а в самой точке р = 0 :
а) при п < 1 всюду в О решение является непрерывным;
б) при п> 1 соответственно имеет особенности того или иного порядка, то есть логарифмического или (п-1)-го порядка. По аналогии с [3-5], если функция a(р,р,в, ы) в точке р = 0 имеет нуль порядка п (п > 1) ,то есть если
1т а(р,р,в,ы) = 0 , то есть а(р,ф,в,ы) = у(ф,в,ы)о(рп~е), (0 <е < 1), (М)
р^О
тогда решение п.д.-системы (1) всюду в области О будет непрерывным. Заметим, что из предыдущих рассуждений не всегда следует представление решений системы (3) в явной форме. Поэтому, в отличие от [1-5], будем рассматривать некоторые случаи нелинейных систем, для которых обеспечивается тождественное выполнение условия совместности и ее решения находятся в явной форме,
причём ее решение в области О либо О0 является непрерывным.
2. Рассмотрим п.д. вида:
рndu = а(р, р, в)s(u)dр + рЬ(р, р,в)g(и^р + рс(р, р, в)h(u)dв ,
равносильное п.д.- системе:
е» = Л,(И), в» = ьрв ?(„), & = сЩ?! Л(„), (4)
др рп др рп_1 дв рп
где a, b, с, s, g, h e Cl(D), u e C2(D0) .
Условия совместности системы (4) имеют вид:
дф
д
s--
p У
b
дв[ д
s--
p У
Dp
Dp
_ n-1
\p У
ab
g+-^r(s g-g s) = °
p
Л
-n-1
\p У
ac
h +——— (s' h - h' s) = O, p
(N2)
дф
Л
.n-1
vp У
A --І.
дв
Л
_n-1
vp У
bc
g+~^n-1(h' g - g'h) = O p 1
Тождественное выполнение условия (N2) можно рассматривать в следующих случаях: а) ^' Е - Е' ^ = 0, И' ^ ^' И = 0, И' е - g' И = 0 .
Г „Л
д a
дФ
p У
д
дв
a
=O
=O
\Р у
Откуда получаем:
д Г b л
Dp ^pn~ У
д Г b л
дв У
a = pna(p) , b = pn 1 P(p), с = pn 1у(в) , g = h = As(u), A = const.
=O
=O
' д Г c л
Dp lpn- У
д Г c л
дф p У
=O
=O
(5)
При этом в области О существует непрерывное решение п.д.- системы (4) и выражается следующей формулой:
u(p, p, в) = S-1 {с + A(p) + ЛB(p) + ЛС (в)},
(б)
где З"1 - обратная к функции S(u) по переменной и. б) Допустим в (^) выполнены равенства:
_д_
Dp
^ a ^
pn У
_д_
Dp
b
p У
_д_
дв
^ a ^
vp” У
_д_
Dp
p У
Db Dc
дв Dp
(N3)
В этом случае условия (N2) выполняются тождественно, если:
Ь(р,ф,в) = а(ф,в)ехр{АА(р,ф,в)}^ рп-,с(р,ф,в) = Р(ф,в)ехр{АА(р,ф,в)} • рп-,
g(u) = h(u) =
1 + exp{-
p{- AS(u)} ]-s(u\да = дР, A(p,p,6) = Ja<(pвdt.
(7)
С учетом (7) п.д.- система (4) принимает вид:
ди = а(р,<р,в) s(u) fa = ^ + ехр{-^(и)} S(u)
др р дф
ди — = Pfa в) exp{AA(p, <р, в)}\ + ехр{- AS(u)}]s(u). дв
(S)
<
<
<
с
Интегрируя п.д.- систему (8), получим: З(и) = Л(р, р, в) Н— 1п [с + Ат (р,в)].
А
Если функция З(и) обратима, то явным решением системы будет:
и(р,р,в) = 3 -| А(р,р,в) + 1\п [с + Аю(р,в)]| . (9)
Аналогично п. 1 имеем, что решение п.д.- системы (4) при п < 1 во всей области О будет непрерывным. Решение системы вида (9), либо (12) в точке р = 0 при п = 1 имеет логарифмическую особенность, а при П > 1 имеет особенность не выше (п-1)-го порядка. Если а(р,р,в) удовлетворяет условию (М), то решение системы во всей области О будет непрерывным.
Теорема 1. Пусть в п.д.- системе (4) а, Ь, с, $, Е, И е С 1(О), и е С2(О0 ) и условия (N2) выполняются тождественно относительно переменных и. Тогда многообразие решений системы (4) выражается формулами (6), либо (9). Причем решение п.д.-системы (4) в виде (6) во всей области О является непрерывным. Что касается формулы вида (9),- как решение п.д.-системы (4), при п > 1 в
О0, является непрерывным а в самой точке р = О оно соответственно имеет логарифмическую
особенность, либо особенность не выше (п-1)-го порядка.
Замечание. Если в условии поставленной задачи необходимо потребовать а(р,ф,в) е Сп+ (О) , тогда получим, что многообразие решений п.д.-системы (4) представимо (явной либо не явной) формулой :
3(и) = IЕ ^{(рв\ {1------ПГТ] -ап-1рв) Ь р+ Ап(1,P,в) - Ап(р,Р,в) +-1 Ь[с + Атрв)]1(10)
п - к -1 Л
I к=0
_п-к-1
V р )
Аналогично [2-5] , в (11) явно выделяется наибольший порядок особенности решения п.д. системы в особой точке р = 0.
3. Рассмотрим уравнение в полных дифференциалах, записанное в сферической системе координат
рпёи = а(р, р, в)И(в, и)йи + рЬ(р, р, в)И(в, и)йр + рпс(р, р, в, и)ёв . равносильное следующей п.д.-системе (см. [6] )
ди а(р,р,в) ди Ъ(р,р,в) ди
— =-------П----h(в, и ^ -Н“ =-П-1— h(в, и)’ ТЕ = c(P,P,в, и^ (11)
др рП др р дв
а, Ь, с, И е С1 (О), и е С2(О) .Условиями совместности п.д.-системы (11) будут:
DpVpn У дP
pn-1 У
= 0,-----------1--------------------------------------j-
дp pn Du pn Du p
h--------H a—
дв Dp
V
= 0,
1 f. Db , дhЛ
— h-------H b—
Dp pn Du pn Du pn V дв Dp
Dc bh Dc bc Dh
+
(N4 )
= 0.
Заметим, что тождественное выполнение условий (N4) можно рассматривать частично или в общем случае:
а) а(р,р,в) = рп'а(ф) , Ь(р,р,0) = рпХ Р(ф), m = const, c = const, (частично).
В этом случае полученное решение системы (1) во всей области D является непрерывным.
б) Пусть первое равенство (N4) выполняется для всех точек (р,р,в, u) е D . Тогда, интегрируя первую пару уравнений системы (11), получим:
Н (в, и) = V (в) +1а( ,рп,в) + о (р, в), либо Н(в, и) - о0 (р, р, в) = V (в). р t
При этом последние два равенства условий (N4) выполняются тождественно, если:
(12)
c(p, p,0, u) =
д« DH
дв дв
I u
■ + f [в; H (в, u) -0O (p,p,0')}h(e, u), H (в, u) = J
dt
h(0, t)
(ІЗ)
Результат интегрирования системы (11) с учетом функции с(р,ф,в, и) вида (13) сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения (о.д.у/) вида:
ау = /(в, У)йв, (14)
здесь функция /(в,У) определяется из формулы (13) и выражается через данные функции а, Ь, с, И. Если о.д.у. (14) разрешимо в какой-либо форме (явно, либо в квадратурах, либо неявно), и ее решение представимо в виде V = V(С, в) , то многообразие решений исходной системы в случае обратимости функции Н(в, и) по переменной и, принимает вид:
u(p,p,0) = H-Ч о; J ( ,p,e) dt + «(pp,в) + V(в,c)J,
i(p, ф, в) = H- J в; V(О, c) + «(ф,в) + J
1 a(n\t ф,в) - an\0ф,в)
(n )/
dt +
+Z
-1 (i)
a (і)(0,ф,в)
i=0
-1
_ n-i-1
Vp У
f a(k-1)(і,ф,в) - a(k-1)(0,ф,в)
(15)
= a( k)(tk,0)
Если в постановке задачи считать, что а(р,ф,д) е Сп+1(П) , тогда, аналогично предыдущему, многообразие решений п.д.- системы (14) представимо в виде:
<
u
t
p
n
п-2
и(р, р, в) = Н - \ в; У (в, С) + ®(р, в) + £
аг (р,в)
і=0
п - і -1
-1
п-і-1
\Р У
(16)
- ап-1 р в)1п Р - Ап (P, ^ в) + Ап (1, ^ в)}
Теорема 2. Пусть в п.д.-системе (13) а, Ь, с, к еСх(П), и еС 2(П0 ) -Для того чтобы условия (Ы4) для всех точек (р, р, в, и) е П выполнялись тождественно, необходимо и достаточно, чтобы функция(с(р,р,в,и)имела вид (13). Если о.д.у. (14) для вполне определенной функции /(в,V) имеет решение, тогда исходная п.д.- система также разрешима и многообразия её решений в классе Сп+\П) выражаются формулами вида (15) или (16).
4. Рассмотрим п.д. вида:
рпёи = а(р, р, в)И(р, в, и)СІр + рЬ(р, р, в, и)СІр + рс(р, р, в, и)ёв , где а, т, Ь, с е С1(П), и е С2 (О0), равносильное в п.д.-системе:
ди а(р, р, в) , . _ . ди Ь(р, р, в, и) ди с(р, р, в, и)
— =------------к(р, в, и), — =---------------------------------------------------, — =---
^ ^ ^п чг 7 7 ^ ^П-1 7 ^П-1
др р др р дв р
условиями совместности которой будут:
рп — + аИ— = \аИ— + (п - \)рп-1 X + рп-1'да дИ ^
дЬ_
др
дс
др
дЬ і— ди
дс і-----
ди
дИ
}------
ди
дИ
}------
ди
И---+ а—
рп — + аИ — = 1 аИ — + (п - 1)рп 1 |с + рп 'I И-да + а — |,
др дрУ
да дИ
'----+ а—
дв дв
п-1 дЬ дЬ п-1 дс дс
рп — + с— = рп — + Ь—. дв ди др ди
(17)
(N5)
Первые два равенства условий (N5) выполняются тождественно, если функции Ь(.) и с(.) име-
ют вид:
Ь(ррв,и) = рп-11- дН + /[р;в;М(р,в,и) - A(р,р,в)] в,и)
[др др )
c(р,р,в,и) = рп-1 |-дА -дН + ^рР;в;М(р,в,и) - Дрр^і^рДи)
(18)
В формулах (18) функции / g произвольные, но, с другой стороны, они выражаются через а, к, с, Ь следующим образом:
/ [р;в; Н (р,в, и) - А(р,р,в)] = g [р;в; Н (р,в, и) - А(р,р,в)] =
Ь(р,р,в, и) дА дН
рп т(р,в, и) др др
с(р,р,в, и) дА дН
----+ -
рп т(р,в, и) дв дв
и
, Н (р,в, и) = |
а
(19)
к(р,в, и)
1
<
•<
и
Далее в процессе интегрирования первого уравнения системы (17) требуется, чтобы а(р,р,в) удовлетворяла условию (М). Затем, вводя замену
Н(р,в,и) - А(р,р,в) = V(р,в), (20)
преобразуем п.д.-систему (17) в нелинейной системе с регулярными правыми частями:
д¥ д¥
----= /(р,в, V), ---= g(р,в, V) . Если условие совместности последней п.д.-системы тождественно
дф дв
не выполняется, тогда из этого равенства, аналогично [8], можем найти функцию V = V(р,в) . Если же эта функция удовлетворяет п.д.-системе (17), то она будет единственным ее решением. В противном случае п.д.-система (17) считается несовместной. Пусть в условии (^) третье равенство выполняется тождественно. Тогда процесс интегрирования системы (17) приводит к интегрированию о.д.у.
вида (14). Если о.д.у. (14) имеет решение , например вида = \у(с;в) (см. [1]), тогда многообразие
всех решений п.д.- системы (17) выражается следующей формулой:
и{р,р,в) = Мр;в; А(р,р,в) + ¥ (р,в) + ^(С,в)} (21)
Очевидно, что в формуле (21) функция А(р, р, в) при п <1 является непрерывной, а при п = 1 и п > 2 соответственно имеет логарифмическую особенность и особенность не более чем (п-1)-го порядка. Поэтому в зависимости от типа функции Н(■) и Н '(•) порядок особенности решения системы в точке р = 0 либо может ухудшаться, либо, наоборот, улучшаться. Таким образом справедлива
Теорема 3. Пусть в п.д.-системе (17) а,Ь,с,кеС1(П), и еС2(О). Если условие (N5) для
всех точек области О ( кроме точки р = 0), тождественно не выполняется, тогда данная система может иметь некоторые частные решения, либо она несовместна. Для того чтобы первые два равенства условия (N5) выполнялись тождественно, необходимо и достаточно, чтобы функции Ь(р,р,в, и) и с(р,р,в, и) имели вид (18). Если п.д.-система с регулярными правыми частями имеет решение (частное, либо общее), тогда исходная система (17) также разрешима и многообразие ее решений выражается формулой (21).
Пример. Для п.д. системы вида
ди 12 рвЛ 2 ди
---=------------- СОБ и,--------
др \р р ) др
( ( Л я.. Г Г1 У\
3р2в2+в
і -1
р
ди
СОБ и,--------
дв
2рв + 3в2+р
-1
р
СОБ2 и
условия совместности выполняются тождественно, и многообразие ее решений определяется сле-
{ 1 ' ~ -1) + р (С - 2П р + рв +в")||. Заметим, что
дующей формулой: и(р,р,в) = arctg — рв(р — 1) + р (С — 2\п р + рв2 + в3)] 1. Заметим,
ЧР J
полученное решение системы всюду в области О является непрерывным и в самой точке р = 0 является ограниченным.
Поступило 31.03.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов. Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. - Душанбе: Дониш, 1986, 116 с.
2. Михайлов. Л.Г. - ДАН России, 1992, т. 322, № 4, с. 646-650.
3. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1997, т. 354, № 1, с.21-24.
4. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 2002, т. 384, № 6, с. 731-734.
5. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 2004, т. 398, № 2, с. 1-4.
6. Шарипов Б. - ДАН ТаджССР, 1980, т. 23, № 3, с. 125-130.
7. Шарипов Б., Раджабов Б.Х. Паем (Вестник) ИПС, Душанбе, 2005, с.78-82.
8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматиз, 1958, 448 с.
Б.Шарипов
ТАСВИРИ МАЦМУИ ^АЛ^ОИ ЯК СИНФИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^О ДАР ДИФФЕРЕНСИАЛИ ПУРРА БО КОЕФФИСИЕНТ^ОИ СИНГУЛЯРЙ ДАР ФАЗОИ СЕЧЕНАКА
Институти сохибкори ва хизмат Вазорати энергетика ва саноати Цум^урии Тоцикистон
Дар макола як синфи системаи муодилахо дар дифференсиали пуррае дида баромада мешаванд, ки дар онх,о айниятан ичро гардидани шарти хдмчоягиашон таъмин карда шуда, мачмуи х,алх,ояшон дар шакли муайян ёфта мешаванд.
Калима^ои калиди: нуцтаи сингуляри - дифференсиали пурра - мацмуи х,алх,о - шарти хамцоягии система.
B.Sharipov
ON THE TOTAL DIFFERENTIAL SYSTEM WITH SINGULAR IN THREE DIMENSION CASE
Ministery of enerjy and industry Republik of Tajikistan Institute of enrepreneurship and servise The representation formulas for solutions of total differential system are reseived in the paper. Particular point often called singular point.
Key words: total differential - singular point - ordinari differential eqvations - comatibility conditions.
