О применении асимптотического метода к дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №5-6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

С.З.Курбаншоев

О ПРИМЕНЕНИИ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 26.01.2017 г.)

В работе излагается способ выделения асимптотического семейства решений дифференци-

ального уравнения с отклоняющимся аргументом, когда строятся не сами решения, а описывающее их дифференциальное уравнение без отклоняющегося аргумента. Этот результат является одним из проявлений принципа сведения для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

шица, метод последоватi

Ключевые слова: метод сведения, условия Липшица, метод последовательных приближений, инте гральное уравнение, равномерная сходимость.

Рассматривается дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, когда имеется не только запаздывание, но и опережение аргумента

:0< h, (1)

где X (t) - элемент банахова прост

остранства

Оператор F(V,X(V + 0)) определен при t е(—да), непрерывен по t,в случае ^<0<0 при V е [0, да) удовлетворяет условиям

м

||F (t, 0 )||< M (M > 0), (2)

||F (t, X (t + 0))-F (t,Y (t + 0))|

де

<L sup ||X(t + 0)-Y(t + 0)||. (3)

-h<0<h

Норма вектора X (V) определяется в виде

IX (V )||< й«|х (V )|.

Ищется дифференциальное уравнение без отклонений аргумента

^ - f (V, X (V)),

(4)

Адрес для корреспонденции: Курбаншоев Сафарали Завкибекович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Мирзо Турсун-заде, 30, Росийско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: ksz48_@hotmail. com

где 1(V, X (V)) удовлетворяет условию Липшица по X и все решения которой удовлетворяют системе (1). Если существует такое уравнение [1], то получим

V+в

X (V + в) = X (*)+ | * (и, X (и )) du. Следовательно, должно выполняться равенство

V+в

1 (V, X (V)) = * (V, X (V)) + | / (и, X (и))йи, где X (V) - решение системы дифференциальных уравнений (4) и удовлетвор

уравнению

X ( 5 ) = X (V ) + | / (u, X (и)) аи.

яет интегральному

Используя метод последовательных приближений, найдём Полагаем,

1„

).

<0 )=*;, л+'(

(5)

= 0, 1, 2, •••),

/„+1 ^

Хя (и) = X + }/„ (^ X (5)) а При применении метода последовательных приближений необходимо знать * (V, X (V)) при V < 0.

Полагаем, что

*(V,X(V + в))»*(0,X(V + в)) V <0.

Расс1 статочно

ассмотрим некоторые свойства операторов (п (/? = 0, 1, 2, •••). Покажем, что при

достаточно малом h > 0 существует такое Ь^ > 0, которое является константой Липшица для всех (Хих) (п = 0,1,2,-).

Лемма 1. При Н<{Ье} = /?, все функции /л (/, X) (/? = 0, 1, 2, •••) удовлетворяют условию Липшица по X с постоянной Ц, где Ц - наименьший положительный корень уравнения

- т й

Ь = Ьв

(7)

Доказательство. Методом математической индукции полагаем, что утверждение леммы 1 верно для к = 1, 2, • • • п . Покажем, что оно выполняется для к = 11 + ] . Пусть

(/,*)-Л(/,7)\\<Ц\\Х-Г\\ (к= 1, 2

Рассмотрим

||Ли (V,X)" 1„+1 (V,У)|| =

* (V, X)+11 (5, X. (5))

нению

5 " * {t,Y + {/„ (5,У. (5)) 05 (8

ч л

ряет аналогичному интегральному урав У. (и) = У + {/„ (5,Уп (5))05, У. (/) = У. (9)

где X. (и) удовлетворяет уравнению (6), а Уп (и) удовлетворяет аналогичному интегральному урав-

..............и

.(и )||<| X - У1+{А|| X. (5)-".....

Из уравнений (6), (9) получим неравенство

IX. (и ) - Уп (и ) | < IIX - У|| +1 А||X. (5) - У„ (5) 105,

откуда находим оценку

I __ ' -ч __ ✓ II II __ __М Г 1д1

(10)

Из неравенств (3), (8) и (1(

10) получим, что

11Л+, (V, X)-/м(1, У )|< Ь\К - уЦвЬИ = ь,|| X - У|| .

тим, что при 0 < И < И ург h > 0 достаточно мала, то наличие такого корня очевидно.

При t е (—со, со) найдём оценки для (п (/, X) (и =1, 2, • • •) . Из условий (2), (3) следует, что

||Л (V, X )11=11* К- X И<

<1 * (',0)1+1 * (V, X

Отметим, что при 0 < И < И уравнение (7) имеет положительный корень. Если величина

ИЧИ^Ц: (11)

<1 * (,,0)Н * ()-* (,,0)1<М+1<М+^ Xl

Аналогичные неравенства получаются при всех /л (/, X) (п = \, 2, •••). Лемма 2. При 0 < И < И1 справедливо неравенство

(г^ )||< МвЬИ + ц\\Ц (-<»< V <<»).

Доказательство. Введём вспомогательную величину q :

q -1 -е~кН (0 < q < 1). Полагаем, что выполняется неравенство

их)\<м(\+ч+-+чпХ)+ц\\х\\. (12)

Докажем оценку (12) методом математической индукции. Полагаем, что для /к (V, X) при к = 1, 2справедлива оценка (12). Для к = п +1 имеем

Ы t, X ) || -1| ^ (t, X (V + 0)) | < | ^ (t, X ) | +1F (V, хя(t + 0)) - ^ (V, X ) || < ^

<М + А 1X1 + Lsup ||Xn (V + 0)-XI. (13

<

3)

_ ,Хя (t + и)-х II. ^ У ^Х. ) А^^^

\о\<н 1

Введём обозначение

(и) = х ( и

Из (6) находим уравнение для Sn (и)

О-х.

Яя (и) = |Л (Х

Переходя к нормам при и < I, имеем неравенство

решая которое получи:

■ п„ ,< -

с •

При |0\ < к из оценки (14) и неравенства (13) получим

,х)||<м(1+д+-+д")+А(1+д)||х||.

го неравенство выполняется при всех V.

Л, (

Это неравенство выполняется при всех V, X . При X - 0 имеем

Так как /я+1 (V, X) удовлетворяет условию Липшица с константой Ц , поэтому

\/п+х(иХ)\<м(\ + Ч + - + Ч") + Ц\\Х\[

Отсюда следует, что оценка (12) справедлива для любого п = 1,2, • • •. Так как

\ + q + q2--- + qn <(\-qy =eh\

то из(12) получим

\\fn (t ,Х )||< MehL + X||.

Лемма 2 доказана. Из леммы 1 и 2 следует следующая Теорема. Пусть h2 - положительный корень уравнения

L (eLh -1) eLlh = Ц (h2 > 0).

Если 0 < h < h2, то последовательность fn (t, X) , определённая формулами (5), (6), сходится равномерно по t,X в области^Х^ < р (р> 0) к оператору f (t,X). Предположим, что

,(t, Х )\\<Vn-1 +Pn-l\\Х|| ,

t, X )-fn

причём a0 = M, ß0 = L1. Последнее получается из (5), (6) и Функциональный ряд

ш>.

Уп (t, X)-fH (t, X)] (15)

дящимся рядом

1 HIтEß-1 eLlh -1 )п ^ -

мажорируется абсолютно сходя

f (t,X)<^an-у + ||Xllß-i = E(h -1 )П ^ h -e"^h +e"*h)M +

r(eLh-1)".

+

ix Dieh-1)"

Следовательно, ряд (15) равномерно сходится в каждой ограниченной по X области. Условие вЬ И < 2 выполняется, если Ц < 2Ь .

/С. т ^ Т

Таким образом, при 0 < И < И1, И < И удаётся построить систему дифференциальных уравнений без отклонений (4), все решения которой являются решениями исходной системы с отклонениями (1). Полученные результаты являются одним из проявлений принципа сведения [2] для иссле-

£

дуемых уравнений.

Поступило 30.01.2017 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Валеев К.Г., Кулеско Н.А. О конечнопараметрическом семействе решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. - Укр. мат.журн., 1968, т.20, №6, с.739-749.

2. Плисс В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. - Изв. АН СССР. Сер. Мат., 1964, т.28, №6, с.1297-1324.

С.З.^урбоншоев

ДАР БОРАИ ИСТИФОДАБАРИИ МЕТОДИ АСИМПТОТЙ БАРОИ МУОДИЛАХРИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ АРГУМЕНТАШОН ТАМОЮЛДОР

Донишго^и (Славянин) Россияю Тоцикистон

Дар макола тарзи чудокунии мачмуи далдои асимптотикии муодиладои дифференсиалии аргументашон тамоюлдор тадкик карда шудааст. Худи ин далдо ёфта нашуда, муодилаи дифференсиалии аргументаш бе тамоюл, ки ондоро тасвир менамояд, тадкик карда мешавад. Калима^ои калиди: усули овардашавй, шарти Липшитс, методи пайдарпай наздикшавй, муодилаи интегралы, мунтазам наздикшавй.

а

S.Z.Kurbanshoev

ON THE APPLICATION OF THE ASYMPTOTIC METHOD T( DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DEVIATING ARGU

Russian-Tajik (Slavonic) University

The article deals with considering a method of separating a family of asymptotic solutions of differential equation with deviating argument, when solutions themselves are not built and describe their differential equation without deviating argument. Key words: information method, Lipschits co :cessive approximations, the integral

equation, uniform converge