О разрешимости квазилинейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики УдГУ. 2012. Вып. 1 (39)

УДК 517.929 © Т. К. Плышевская

О РАЗРЕШИМОСТИ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

Рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, для которого специальным образом выбирается пространство решений с учетом вида оператора внутренней суперпозиции.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, оператор внутренней суперпозиции.

Пусть qг: [а, Ь] ^ М, тг: [а, Ь] ^ М и Ег = {£ € [а, Ь] : тг(£) € [а, Ь]}, г = 1,... ,к. Определим

операторы внутренней суперпозиции 5 и >5 равенствами

к к

(5х)(£) = ^2 Хе qг(t)x(rг(t)), (*5ж)(^) = ^ Хе4 ^¿(£) |х(тг(£))-

г=1 г=1

Здесь Хе, - характеристическая функция множества Ег.

Будем предполагать, что выполнены условия:

(1) Уе С [а, Ь] т(е) =0 ^ т-1(е) — т-измеримо, г = 1,..., к (т — мера Лебега);

(л) 35 > 0: £ — 5 ^ тг(£) ^ £ + 5, £ € [а, Ь], г = 1,..., к;

(ш) 3М € М: уга1вир ^г(£)| ^ М, г = 1,..., к.

4€[а,Ь]

Доказывается, что при выполнении условий (1)-(ш) существует мера V, которая задается равенством

сЬ ( ж 1

1 5п

fь ( 1 \

g(t)dv(t) = J ( ПJ d(s)ds

вп

на пространстве непрерывных на [a, b] фнукций g. Здесь Sn - n-ая степень оператора S где S0g = g; в Є R и в > 1.

Условия (i)-(iii) гарантируют непрерывное действие оператора S в лебеговском пространстве Lvab] с нормой ||ж|| = /a |x(s)| dv(s).

Рассматривается задача Коши

к

y/(i)+ A^9i(t)y/(Ti(i)) = /^y^y^i^^ i Є [a,b^ (1)

І= 1 y(C)= y/(C)=0, c Є [a, b], у (a) = а Є R, где A Є R, A = 0, h : [a, b] ^ R.

Теорема 1. Пусть функция / : [a, b] x R x R ^ R — m-измеримая по первому аргументу и удовлетворяет условию Липшица по второму и третьему аргументам с константами Li и L2, Ti : [a, b] ^ R — m-измеримы, h : [a, b] ^ R — непрерывна и выполнены условия (i)-(iii). Тогда, если тах{вМ 1} ■ |A| < 1 и ||(I — AS)-1 ||lv' (Li + L2)v([a, b]) < 1, то существует единственное решение у задачи (1) в классе абсолютно непрерывных на [a, b] функций с производной у/ Є Lfe 6] •

Поступила в редакцию 13.02.2012

T. K. Plyshevskaya

On solvability of a quasilinear differential equation with a neutral type deviating argument

A quasilinear differential equation with a neutral type deviating argument is considered. The solution space for this equation is chosen in a special way that the operator of internal superposition is taken into account.

Keywords: differential equations with deviating argument, operator of internal superposition.

Mathematical Subject Classifications: 34K05

Плышевская Татьяна Константиновна, к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического анализа, Магнитогорский государственный университет, 455038, Россия, г. Магнитогорск, пр. Ленина, 114. E-mail: [email protected]

Plyshevskaya Tat’yana Konstantinovna, Candidate of Phisics and Mathematics, Associate Professor, Magnitogorsk State University, pr. Lenina, 114, Magnitogorsk, 455038, Russia