Разрешимость краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

© В. С. Трещёв

Ключевые слоии: накрывающие отображения: дифференциальное уравнение неявною вида с отклоняющимся аргументом: краевая задача.

Получены условия разрешимости апериодической краевой задачи для ди<]х])е{)сішпального уравнения неявного вида с отклоняющимся аргументом. Используется метод исследования краевых задач, осттовапттый па утверждениях о векторных накрывающих отобр ажениях.

Используются следующие обозначения для пространств определенных на |а, 6] веществен-мых функций: />эс банахоио иростраиспю измеримых сутестиеипо ограниченных функций с нормой ll.rH/_ \таі кіір |.т(£)|; Л(?ж банахово пространство таких абсолютно непрерывных

функций, нто .г € 1«х, с нормой ІИІж:» ІІ^'ІІ/^ І |я*(«)|; ( ' пространство непрерывных функций, 11 х 11 с = шах |.т(/)|: В" - декартово произведение множеств Вх...хВ.

В работах [1]—[3] подложен метод исследования неявных дифференциальных урашкпшй, осиоїтніи.іі'і на утверждениях о накрывающих отображениях. Использованные идеи и подходы применимы и к фу И К ЦИОН ал 1 >110-,1 иіффереї I циал ЫI ы м уравнениям ИЄЯ1ІН0Г0 вида. В частности, утверждения о векторных накрывающих отображениях [3] позволяют исследовать краевые задачи для таких уравнений. Здесь получены условия разрешимости апериодической краевой задачи для дифференциального уравнения неявного вида с отклоняющимся аргументом.

Пусть X, У метрические пространства с метриками р\, рУч соответственно. Будем испод] >зо пап» с л е д у і о і цее о и ре; іе,-1 е и н е.

О и р е д е л е н и е [1]. Отображение /•’: X —*■ V' называется о:-накрывающим, гс>0, если для любых .го € X, у € V' существует х€Х, удовлетворяющий уравнению 1'(х) у и опенке

рх{х.Ти) < а~'ру(у, 1'(хо)).

Пусть заданы измеримая функция Ь : |я,&] и (функция /: [г/,6] х М" х Е" —>М“,

удов, іетворяюшая условиям Каратеодори (т. е. измеримая по первому н непрерывная но совокупности остальных аргуміштов). Будем предполагать, что для любого г>0 найдется такое число А/, что при любых 3’.№ €Е'!. удовлетворяющих оценке |а:| + |«'| <Т. и при почти всех

< € [я, 6) имеет место неравенство |/(і, х.ге)| < Д7. Далее, пусть для любого і I, п заданы числа Лі,Ні,Аі, измеримые существенно ограниченные функции уі: |я, 6] —►М и измеримые но Боре.но огранич(!1шые функции у*:(—эс. я) У(6. ос) —>М. Исследуем систему дифференциальных уравнений вида

/; (/• .Г і (/>,1 (/)).>■„ (1нп(1))..Ы1)) //»(/•)• I е \<>.1) ; .тч(.ч) г-;(л). осли л <£\и.Ь . (1)

с краевыми условиями

.1,:.Г;(я) І ИіХі(Ь) А?;. і 1,п. (2)

Воспользуемся предо га плен нем краевой задачи (1), (2), предложенным И.И. Азбелевым [о]. Для любых г,;/ I, п определим множества

Еч = = {! е М1 : МО е М)>

являющиеся. очевидно, измеримыми, и числа /1у \-rai йир(/?,Д/) — а). Определим оператор

(Я ... и / \ Г а>г(/)г;(0)- если / € /'’г;,

= I *<М0>. есл

I £ Лу .

и запишем систему ( I), (2) в следующем виде

' (.) (.)

/»(<: Ял (а:I(в) + / .Т| (в)(/в)(0: • • • • Я,„ (а:п(а) + [ •$)(/§) (0,&(0) г/г(/), /■ € |а: 6|,

< ' - 6 _ - ' (3)

I {Лг I ^).Гг(а) | Нг [:/■,,(,ч)д,ч А,. г \,п.

Решением полученной системы (х:т(х:твенно считать функцию. определенную на [«. Ь\. Мы будем искать решение в классе ЛС9с,'г - векторных функций, каждая компонента которых -элемент ЛСЖ. Любой х е ЛСоо’1 однозначно определяется парой (.г..?:(«.)) € Ьжп х Н". Таким образом, мы можем считать краевую задачу (3) системой 2п уравнений с двумя 2гг неизвестными Хг € />эс([я,6|,М), а:»(а) € Е, г I. п.

Теорема!. Пусть для всех г 1,п выполнены, следующие, условия: А * I Иг/ 0, существует такое №;>(). что при почти всех £€[а. Ь] и любом .т€Е'1 отображетю /;(/, .г, •) :М—> -5- М является щ -иакрыхтнпщш; для любого у = 1. ц существует такое > 0. что при почти всех I € Кц « любом и- € К, (а*1,Xj-^.Xj \ х,..., а:м) € И'1-1 отображение Д(1, ад.... ... X] 11,... ,хп, и'): Е —*• Е является -липшицевым. Тогда, если матрица

г (('и Си \Сп (■>>

Си = (аТ'РцП,Си = (ЛЬ (1)

С2у сПак{|,4, + 11/^г|(6-«)}ПХ))- С-22 (0)«хм,

имеет спектральный радиус о(С) < 1. то существует решение х £ ЛСЖ11 краевой задачи (3). " '

Д о к а з а т е л ь с т в о основано на результатах о векторных накрывающих отображениях

[3].

Определим для г = 1. п отображения <!>,;: Ьж х Ьж" х М" —»Ьж. : К х Ьжп х М'1 —»М

соотношениями

^Фг ('(/.?;. '(■'!,. ■ ., '1'т ?’»+1 > • - - > *'2»)^ (?)

(■) (■)

А (/• $,Н1 (г'п 11+| .... >Ч,,.п (у2п + I гп($)с1з)(1).щ(1)^:

а а

Ь

^| п г ^1: • • * ’ | 1' * * * ’ ^2гг(0 ( ^г Н- ^Л)| /г Н-

Теперь запишем к равную задачу (3) к ни де системы операторных уравнении

Г Фі(.'Г£.;Г|..... хп,х 1 (я)..... хп(а)) уи ....

\ ффг{а),хл ■■■■■. хп. X! (я)..... хп{а)) = А,.. '>}

К исследованию полученной системы (5) применим [3. теорема 1]. В силу [3, теорема 3]

отображение Ф»(-. VI,..., {’н,і'п 11, • • ■,і’2п) '• І'ж —► /->оо является «і-накрывающим. Далее, для

произвольного ;) 1 лг И любых Г,. Г, Є /-эс выполнено

(фі(«і, С |, • • - 11'}' - • - і *?№+1 > • • - ! *г2») Фг(^г? ^’1 < • - • ) ,!;Ь • • • < ї'іг+1 )•••! ,!2п.) ^

/-ос -

(О

< /%угш ( \vjis) - г^(в)|4в))(0 < /%||^ - \та1зир(/гу (/) - я)

О

= /?уЦу 11 — V] 11 •

Таким образом, отображение Ф»(«*, г?|,..., ■,Гу 11, г„. г1,,. 11,..., г^»): /-зс —► />эс удовле-

творяет условию Липшица с константой Ду = /7у/Ху.

Аналогично, при нсех ) п +1. 2я отображение Ф,-(и*, VI,.... г>„, г>п 11,..., г?у-1, •• V; 11,... ... , 1'2П) :М—Лэс является -линшицеиым (/Зу ’ ).

гГакжо легко проверяется. что функционал ф* по первому аргументу &(■, 14..... к*,,.. г„.+ |.... ... . г?2п):К—является |А; | Д;| -накрывающим; не зависит от остальных аргументов кроме 1Ц, и но этому аргументу функционал Ф{{щ (Г|,...,г»*-1. •, г* 1..... ип. гп ц...., г^„):Ьж —»К удовлетворяет условию Линшнна с константой /Зу ’ |//,|(6 — а).

Согласно |3, теорема 1|, для доказательства утверждения остается заметить, что матрица (о“ /Зу)2»х2» это матрица (7, которая определяется (}к>рмулами (1), и ео спектральный радиус р(С) < I. Теорема доказана.

Рассмотрим частный случай краевой задачи (1),(2) - апериодическую краевую задачу для скалярного уравнения с отклоняющимся аргументом. Пусть заданы измеримая функция /}. :|а, 6|—и функция / : |а, 6| х М х К —> М, удовлетворяются условиям Карагеодори. 11реднолагае,1,ся, что для любого /■ > 0 существует такое число М, что при любых х, и- € И. удовлетворяющих опенке |;г| I | «'| < г. и при почти всех € |», 6] имеет место неравенство 1/(М-мг)1 < М. Да. тес. пусть заданы числа Л. В, А. измеримая существенно ограниченная функция у: [я. /;| —»К и измеримая по Боре, по ограиичепиая функция у: (—ос. а) ^(6, оо) —>М. Испол1>зуя теорему 1. сформулируем условия разрешимости краевой задачи

' /(/.,я(/»(0М(О) 1/(0, / € |я,6|,

х(з) ^(.$), если 8$. |а, 6|, (б)

Аг (я) I Нх(Ь) А.

Определим измеримое множество

1С /?-1|а,6| {/ € |о,6| : 1г(1) € \а,Ь\}

и число // уга! вир(/?•(/•) — а). Для системы (6) матрица С имеет вид

_1 ~ х (\-'3

\Л I В\~1\В\(Ь-а) О

(X! характсрікґгическпй многочлен

А'(А) Л2-а-1/?//Л-а“1|/1 I Н\~'в\ Н\(Ь - а) 0.

согласно теореме Виега, имеет дна действительных корня разных знаком Аі < 0, Х2 >0, причем Л-2 > | А11. и поэтому о(С) А^. Таким образом. оценка спектрального радиуса о(С) < I выполнена тогда и только тогда, когда \( I) > 0.

Итак, из тооремы 1 следует что при выполнении неравенства

1_т_йт-а)>0

а | А + Н\а

краевая задала (0) будет разрешимой.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аруттшпі Л.Н., Латаю К.Р.. Жуковский ІІакрмваюіщіс отображения и их приложения к диф-ферснниальнмм уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. .V* о. С. 613-6-34.

2. Арутюнов Л.П.. Жуковский Е.С.. Жуковский С.Е. О корректности диффероппиалыплх уравпепий. тте разрептеппых отпоситолт.по проипподпой ’/ Диффорсшшалытые уравпепия. 2011. Т. 17, X» 11. С. 1523-1537.

.4. Жуковский И.О., ІІлужтжмт- Н.Л. ІІакрьівающие отображения в произведении метрических пространств и красные задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной Дифференциальные уравнения. 201-3. Т. 49. .\*t 4. С. 4-39-456.

I. Арутюнов Л.П. Накрывающие отображения в метрических пространствах и поподвижпые точки /, Доклады Академии наук. 2007. Т. ПО. .V" 2. С. 151-155.

о. Азбелев 11.В.. Макашов В.11.. Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнении. VI.: Наука, 1991. 280 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты .V" 1 ••1-01-00877, № М-01-97501).

Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.

Treshdicv V.S.

SOLVABILITY OF BOUNDARY-VALUK PROBLEMS КОК DIFFERENTIAL EQUATIONS WI TH DEVIATING ARGUMENT

Conditions of solvability of an а-periodic boundary-value problem for an implicit differential equation with deviating argument are derived. The method based on the statements about, vector covering mappings due to E.S. Zhukovskiy and E.A. Pluzhnikova is used.

Key words: covering mappings; implicit differential equation with deviating argument: boundary-value problem.

Трсщев Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант, кафедра алгебры и геометрии, e-mail: SirValentinoftyandex.ni

Treshchev Valentin Sergeyevich, 'Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov. Russian Federation, Postgraduate Student,. Algebra and Geometry Department,, e-mail: [email protected]