CC BY
33
УДК г»17.988.6. Г) 17.922
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С АВТОРЕГУЛИРУЕМЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ АРГУМЕНТА (с) Е.С. Жуковский, И.И. Пасечников
Ключевые, слова: дифференциальное уравнение с авторстулируемым отклонением аргумента; периодические решения; краевая задача.
Получены условия существования периодических решений дифференциального уравнения с отклонением аргумента, зависящим от значения искомой функции. Такие уравнения описывают некоторые специальные системы управления, а также динамику точек в гравитационных, магнитных, электрических полях. І Іроблема исследования периодических решении сводится к проблеме разрешимости периодической краевой задачи для соответствующего дифференциального уравнения, которая решается с помощью известных принципов неподвижной точки.
Пусть /’>0; М" пространство п -мерных вещественных векторов с нормой ||; I/1 банахово пространство измеримых суммируемых функции х: [0, Т] —>Rn с нормой Ц.тЦг,» = Jo I^‘(/■)| (it: АС'1 банахово пространство таких абсолютно непрерывных функций, что xeL", с нормой Ц-тЦ^х ll'f'H/," I |.т(я)|; С1 пространство непрерывных функций. ||х||о
max \x(t) I.
(Є [0,21
Пусть заданы действительные числа 7функции /*:R хRn —»RnXn. JrRxR"—>M'\ удовлетворяющие условиям Каратеодори и являющиеся Т-периодическими но первому аргументу. Кроме тоїЧ), будем предполагать, ч то для любого г> 0 найдется функция Л/(-) € //* такая, что что при любом .гєМ", если | г| < г. то при почти всех t Є [0.7’J имеет место неравенство
Математическое описание движение зарядов в электрическом иоле, или материальных точек в гравитационном иоле |і] приводні' к следующей системе фупкциопалыю-диффереп-ниальных уравнений
-:.-XiU) fi.(^t-X \ (liu (l.x(t))).r„ (//.„(/. х(1)))У te R, і I. п. (I)
К системе (1) также сводятся некоторые задачи управлении, вследствие чего такие уравнения называют уравнениями с авторегулируемым отклонением аргумента. Задача Коши для системы (1) на конечном промежутке 4времени'1 исследовалась в работах [2-5|. Здесь рассматривается случай teR.
Решение системы (1) — это абсолютно непрерывная функция, удовлетворяющая ее уравнениям при почти всех І. Є R. В данной статье исследуется проблема существования Т-перио-дического решения системы ( I).
Определим, для всех i.j I. п. функции hij(t,x) 'T{hij(l,x)T~l}. где символом {•} обозначена дробная часть числа. Заметим, что toy ([0.7’]) С [0,7’J, и для любой Т-периодичеекой функции w:R—*R выполнено u(l>ij(L,u{L))) = «(/))).
Задача о существовании у системы (1) Т-иериодического решения равносильна задаче о разрешимости следующей периодической краевой задачи
Xi(t) I ~;iXi(t) /.•(/••' I (/^;i(/..r(/)}).• '•(О)))- І Є [0,7'J, і, I,И, (2)
;г,;(0) — Хг('Г) 0, г I .п. (3)
Для исследования краевой задачи (2),(3) воспользуемся \¥-подстановкой Н.В. Лэбсловн [в]. Выберем вспомогательную краевую задачу
ач(0 + 7Л:(/) гл{1), I € |0,7’|, а;*(0) - х&Г) 0, г Тп,
решение которой определяется формулой
и\ [пи- \ ( м п и \ 1 (е™7 — 1) если «</. , .
**(*) (н(^.ч)у1(.ч)(].ч, Г^(М) < „ _1 ... л ' ('1)
./ ^ (е '■ —I) е ', если -5 > /.
'Таким образом, краевая задача (2), (3) равносильна системе уравнений т ~ '/
1й(0 /*(/■> Г ^1(^x0: Г ^1(/-С)Ух(О^С): в)Ыв)</в--"
4 о о
V . / ч ____
■■■:.[ Сп(Ьгп(1: / ад;ОЫС)<), *)Ы*) £/»), / с [0, '/• . V 1.//. 11 11 '
0Г»)
Ксли у решение уравнения (5), то после подстановки этой функции в соотношение М) получаем решение х краевой задачи (2),(3). периодическое продолжение которого будет решением исходного уравнения (1).
Для исследования разрешимости системы (5). мы воспользуемся классическим принципом Шаудера неподвижной точки вполне непрерывного отображения [7|.
Т о о р е м а. Пусть для всех г 1, п выполнены следующие условия: существует такое. щ > 0. что при почти всех * € [0,7’| и любом х € Е'1 отображение /*(*. х, •): Е —► М
является щ -накрыхшющ1ш; для. любого $ = 1, п существует такое Дц >0, что при почти всех /, е [0, Г| и любом •«.’ € Е. (.')■'1;Ху-1. X] хп) е Е”-' отображение /,;(/, а?1....
... ,а?у_1, -.щ ц,... - Хп, и'):Е —*-Е является ву -липшицевым. Тогда, если матрица
С = ((<ХГ!г)-1Рч)пхп (6)
имеет спектральный радиус о(С)< 1, то существует решение х€/1 (?£. краевой задачи (Г>).
Дока з а т е л ь с т в о оеновано на результатах [3|.
Определим для любого 1 = 1.11 отображение Ф<;: Ьх х Ь'ж —> Ь.х. соотношением
т т
(ф*(и*. г’ь • • •, г«))(0 = .!-,{>-1 С I (11и{1), (»)г/»,- I Сп{/нп{ 1),.ч)г„(,ч)<1.ч, п,(1)У
О о
Теперь запишем систему (5) ч виде системы операторных уравнении
‘■’.•(У;-.'/!.У») 0. / ТГп. (7)
Для исследования полученной системы (7) воспользуемся результатами работы [3].
В силу [3. теорема 3| отображение Ф^-,^..... ип) :Ь.ос. —> Ьх является а;-накрывающим, г = 1,п. Далее, для произвольного ] = 1,п и любых г^,Т^£Ь0с выполнено
(фг (",; г’1, . . • , V-)..... Г„) -Ф,; (щ. ГЬ .... Гу.... . Г,,) 1 Т,^. <
7
< вцугы вир( [ Я*(М*),*)М«) -«/(*)| *)<7Г%11% -^11
(■е[0Л1 Ч./ у
Таким образом, отображение Фt’i..... Vj-I. Vj+]. i’d): 1-ос —■r 1-ос является лиишицепым с константой flij ' 7t“ /%.
( 'опасно [3. теорема 1], для доказательства утверждения остается заметить, что матрица ((«Пі)_ІДу)лхп - это матрица (7, которых определяется ргшопетшш (6). и ее спектральный радиус ^(С) < 1.
С .1 о д с т и и о. При выполнении условий доказанной теоремы, уравнение (1) имеет. 7 - периодическое решение.
И заключение отметим, что идеи применения накрывающих отображений к исследованию неявных дифференциальных уравнений и условия разрешимое ні и корректности задачи Коши были предложены в работах [1] [8], результаты о разрешимости апериодических краевых задач для таких уравнений получены в [3].[9],[10]; периодическая красная задача исследовалась в [11].
ЛИТЕРАТУРА
1. Аябалпв И.В.. Максимов В.П., Рагматуллит Л.Ф. Ввсдоттие в теорию фупкгінопалт.тто-лиффсрсшіиаль-ных уравнении. М.: Паука. 1991. 280 с.
2. Арутюнов А. В. Накрывающие отображения в .метрических пространствах, и неподвижные точки // Доклады Академии паук. 2007. Т. 11 <». \"2. С. 151-155.
.4. Жуковский И.О., ІІлужтжмт- Н.А. ІІакрьівающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной Дифференциальные уравнения. 201-3. Т. 49. .\*t 4. С. 4-39-456.
I. Арутюнов А.В.. Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. .V* о. С. 61-3-6-34.
5. Арутюнов Л.В.. Жуковский Е.С.. Жуковский С.Е. О корректности диффереппиачышх уралиоиий. тте разрептеппых отпоситольпо производной ’/ Дифферсппиалт.пые уравпепия. 2011. Т. 17. X* 11. С. 1523-1537.
6. Arutyurum A. V.. УЛтк/тнШ U.S. Zhuktivskii S.К. < Covering mappings and \vell-pose<liicss of nonlinear Volterra. gathers Nonlinear Analysis: Theory. Methods and Applications. 75. 2012. P. 1026—1044.
7. Andyunov A.V., Zhukovskiy S.R. Existence of local solutions in constrained dynamic systems ,'/ Applicable Analysis. 2011. V. 90. No. 6. P. 889 898.
8. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными ограничениями Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. .V* 11. С. 1561-1570.
9. Жукощ-.кий /■.'.С.. ІІлуж.іткова 1C.Л. Об одном методе исследования разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений . Вестник Тамбовского университета, (.'ер. Кстественные и технические науки. Тамбов. 2040. Т. 15. Вып. 6. С. 4673-1674.
10. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в проблеме корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, нерачрешеннмх относительно производной .'/ Вестник Тамбовского университета, ('ер. Кстественные и технические науки. Тамбов. 2011. Г. 16. Выи. 1. (!. 1082-1085.
II. Жуюмскнй И.О., Плужлиииюа її.Л. О периодической краевой задали; для дифференциального уравнения. не разрешенного относительно производной 7 Известия Института математики и информатики Уд Г У. Ижевск, 2012. Вып. 1 (39). С. 52-53.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в рамках гос-ладатптя .Министерства образования и ттауки РФ № 2014/285 (проект № 2476).
Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.
Zhukovskiy E.S., Pasechnikov I.I.
ON PERIODIC SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH AUTOCONTROLLABLE ARGUMENT DEVIATION
The existence conditions lor periodic solutions of a different ial equation with argument deviation depending on the value of the required function are derived. Equations as such describe some special control systems as well as the dynamics of mass points in gravitat ional, magnetic, and electric fields. The problem of studying periodic solutions is reduced t.o the problem of solvability of the periodic boundary-valuc problem lor the corresponding differential equation which can be resolved by means of the known fixed point principles.
Key words: differential equation with autocontrollable argument deviation; periodic solutions; boundary-value problem.
Жукоиекнй Кшеиий Семенович, ТамГнжскии государственный упниерст'ет имени Г.Р. Держаинпа, i. Тамбов. Российская Федерации. доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии, e-mail: zukovskysSmail.ru
Zhukovsky Kvgenv Semenovich, Tambov Stale University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian federation, Doctor of Physics and .Mathematics, Professor of Algebra and Geometry Department, e-mail: ziikovskvsSfmail.ru
Пасечников Иван Иванович, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических паук, профессор кафедры общей физики, е-mail: pasechnikov ivanfimail.ru
Pasechnikov Ivan Ivanovich. Tambov State University named after C.R. Derzhavin, Tambov, Russian federation, Doelor of Technical, Professor of General Physics Department, e-mail: pasechnikov _i vanSmail .r u
