Непрерывная зависимость от параметров решений краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.6, 517.922

НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПАРАМЕТРОВ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

© Трещёв В.С.

Ключевые слова: накрывающие отображения; метрические пространства; дифференциальное уравнение неявного вида с отклоняющимся аргументом; краевая задача. Получены условия непрерывной зависимости от параметров решений апериодической краевой задачи для системы дифференциальных уравнений неявного вида с отклоняющимся аргументом. Метод основан на утверждениях о векторных накрывающих отображениях.

Используются следующие обозначения для пространств определенных на [a, b] вещественных функций: Ь^ - банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций с нормой ||х||Ьто = vrai sup |х(£)|; AC- банахово пространство таких абсолютно непрерыв-

t£[a,b]

ных функций, что x € Ь^, с нормой ЦхЦло^ = Ц%Ць^ + |х(а)|; C - пространство непрерывных функций, ЦхЦа = max |x(i)|. Стандартно, обозначим, Bn - декартово произведение

t&[a,b]

множеств B х ... x B.

В работах [1] - [3] предложен метод исследования неявных дифференциальных уравнений, основанный на утверждениях о накрывающих отображениях. В [1], [2] найдены условия существования решения задачи Коши и их непрерывной зависимости от параметров, в [3] для таких уравнений исследованы краевые задачи. Использованные в этих работах идеи и подходы применимы и к функционально-дифференциальным уравнениям неявного вида. Здесь аналогичными методами получены условия разрешимости апериодической краевой задачи для дифференциального уравнения неявного вида с отклоняющимся аргументом.

Пусть X,Y метрические пространства с метриками рх, Py соответственно. Приведем результаты работ [1], [3], [4], существенно используемые в работе.

Определение 1 [4]. Отображение F : X — Y называется а -накрывающим, а > 0, если для любых хо € X, y € Y существует х € X, удовлетворяющий уравнению F(х) = y и оценке

рх (х,хо ) < - Py (y, F (хо)). (1)

а

Определение 2 [1]. Отображение F : X — Y называется условно а -накрывающим, а > 0, если для любых u € X, y € F (X) существует х € X, удовлетворяющий уравнению F(х) = y и оценке (1).

Пусть для любого j = 1,n заданы метрические пространства (Xj, pXj ), (Yj, ), точки yj € Yj, и определены отображения Ф,, : Xi х ПП=1 Xj — Yi, i = 1,n. Рассмотрим систему уравнений

ФДх^хьх2,... ,хп) = yi, (2)

относительно неизвестного х = (х1,х2,..., хп) € ПП=1 Xj.

rn=i Xj, Y=пп

62

Положим X = ПП=1 Xj, Y = ПП=1 Yj, определим отображение Y : XxX — Y равенством

Т(и,х) =(Фт(щ,х)) и запишем систему (1) в виде уравнения

Т(х,х) = у.

Пусть далее заданы числа ат > 0, вц > 0, г,] = 1,п. Определим матрицы А = diag(аi)nxn, В = (в^)пхп, С = А—1В = (а—1в^)пхп.

Обозначим д(С) - спектральный радиус матрицы С.

Теорема 1 [3]. Пусть метрические пространства X^, ] = 1,п, являются полными и для всех г = 1,п выполнены следующие условия: для любого х € X отображение Фт(-,х) : Xi ^ Ут является условно ат -накрывающим и ут € Ф,,^,,^); при любых ] = 1,п, для всех щ € Xх1 € XI, ..., € Xj-l, Xj+l € Xj+l, ..., хп € Xn отображение

, xl, . . . , х V — I , ', xj + l , ... , хп

) : Xj ^ У является вц -липшицевым; для любой последовательности {ик} С X из того, 'что ик ^ и, Т(ик,и) ^ у, следует Т(и,и) = у.

Тогда, если д(С) < 1, то система уравнений (2) разрешима и, кроме того, для любого е > 0 можно так определить монотонную норму | ■ | в пространстве Мп, что при задании метрики в X формулой

рхп (х,и) =\рХ-1 (х1,щ),рХ2 (х2 ,и2), . . . , рХп (хп,Щп)\, V х,Щ € X

для произвольного и0 = (и°,и2,,... ,ип) € X существует решение х = С € X системы (2), удовлетворяющее оценке

рх(С, и0) < ( * + е) \ ( ру1(У1, Ф1 (и>0)),..., РУп (уп, фп(и°п,и0) ) \. (3)

V1 — д(С) / 1 V а1 ап / 1

Теперь сформулируем условия, обеспечивающие непрерывную зависимость от параметров решений апериодической краевой задачи для системы дифференциальных уравнений неявного вида с отклоняющимся аргументом.

Пусть при любом натуральном т заданы измеримая функция Нт : [а, Ь] ^ Мпхп, измеримая существенно ограниченная функция ут : [а, Ь] ^ Мп, измеримая по Борелю ограниченная функция фт : (—ж, а)[](Ь, ж) ^ Мп, и функция ¡т : [а, Ь] х Мп х М ^ Мп, удовлетворяющая условиям Каратеодори (т. е. измеримая по первому и непрерывная по второму аргументу). Пусть далее для любого г > 0 найдется такое число Мт, что при любых х^ € Мп, удовлетворяющих оценке х + |-ш| < г, и при почти всех £ € [а,Ь] имеет место неравенство Цm(t,x,w)| < Мт. Далее, пусть для любого г = 1,п заданы числа Ат,Вт, Ат. Рассмотрим при каждом т = 1, 2,... следующую краевую задачу:

ит^Ытт (£)),.. .,хп{нт(£)),х т(£)) = ут(£), £ € [а,Ь]; хт(в) = если § € [а, Ь], (4)

Атхт(а) + Втхт(Ь) = Ат, г =Хп.

Для любых г,] = 1,п определим множества

Ет = (Щ )—1[а,Ь] = {£ € [а, Ь] : Щ (£) € [а,Ь]}, являющиеся, очевидно, измеримыми, и числа

Нт = { ьеЕр

угывифт(£) — а), если Ет = 0,

Ч]

т

Чj

0, если Ет = 0.

Определим оператор Shm : C — Ьс

(Shmх)(г) = {

хЩ(t)), если t € Em, <pm(hm (t)), если t /Em,

и запишем систему (4) в следующем виде

/

(•) ( •)

fm( t, Shm (х1(а) + f х\ (s)ds)(t), ...,Shmn (хп(а) + f хп(8)йз)(t), хг(1)) = ym(t),

aa

t € [a, b], (5)

b _

(Am + Вт)хг(а) + Bmf Xi(s)ds = Am, i = 1,n.

a

Решением полученной системы естественно считать абсолютно непрерывную функцию х € АСжп, каждая компонента которой имеет существенно ограниченную производную.

Пусть для некоторой функции и0 € АС^п, при m — ж имеют место соотношения

(•) (•) vrai sup fr^Sh^ (и1(а)+ i U°°(s)ds)(t),..., Shm K(a)+ i и°п^Щ^),и0(^) - yTW — 0,

t&[a,b] v J J '

aa

(6)

Amu0(a) + Bmu0(b) - Am — 0, i = 1,n. (7)

Теорема 2. Пусть для всех i = 1,n и при любом натуральном m выполнены следующие условия: АГ + Bim = 0; существует такое аm > 0, что при почти всех t € [a, b] и любом х € Мп отображение fr(t, х, ■) : R — R является условно аГ -накрывающим и имеет место включение ym(t) € fr(t,х, R) ; для любого j = 1,n существует такое вт ^ 0, что при почти всех t € Em и любых w € R, (х1,... ^j-1^j+1,... ,хп) € R"-1 отображение fr(t, х1,..., Xj-1, ■, Xj+1,..., хп, w) : R — R является ftm -липшицевым. Пусть далее спра-

j—1, ] Oj + 1, . . . J ^п? Ш/ • ' SIVJISIV^H l/^Sl Hij

ведливы соотношения (6), (7); при m — ж выполнено: АГ — Ai, Bim — Bi, Hr — Hij, а.Г — аi, em — Pij, i,j = 1,n, и матрица

C=

C11 C12 , C21 C22

C11 = (а—1^ С12 = (а—1 Мп^ (8)

С21 =diag{|Ai + Bi — ^BiKb - сл)]пхп, C22 = (0)п*п,

имеет спектральный радиус g(C) < 1.

Тогда, начиная с некоторого номера, при каждом m существует такое решение im = ((T, im,..., (m ) € ACСп краевой задачи (3), что

vrai sup Hin(t) — и0(Щ — 0 при m — ж.

t£[a,b]

Доказательство. Определим при m = 1, 2,... отображения Фг1 : Ьс х Ьсп х Rn — Ьс, ФГ : R х Ьсп х Rn — R соотношениями

(фТ( Ui,Vi,...,Vn,

Vn,Vn+l, ■ ■ ■,V2n)) (t)

(■)

fr(t,Shm (vn+l + j Vl(s)ds)(t),...,Shm (v2n + j vn(s)ds)(t),ui

(t))

b

4>T(ui+n, vi,...,Vn, Vn+l, ■■■, V2n)= (AT + BT)ul+n + B™ j Vi (s)ds, i = 1,n

Запишем краевую задачу (4) в виде системы операторных уравнений

фт(%i,xi,... ,xn,xi(a),... ,xn(a)) = yT, _

4>T(xi(a),xi,... ,Xn,xi(a), ■ ■ ■,Xn(a)) = AT, i = l,n■

(9)

относительно неизвестных х € Ь^п и х(а) € Мп. К исследованию полученной системы (9) применим теорему 1.

Возьмем достаточно малое положительное е. В силу условия ат -накрываемости отображения ¡™(Ь, х, ■) : М — М, согласно ( [3], теорема 3), отображение ■ ■ ■ уп+1, ■ ■ ■, у2п) Ь^ — Ь^ будет а™ -накрывающим. Следовательно, при всех т, больших некоторого значения т0, это отображение будет (аг — е) -накрывающим. Далее, для произвольного ] = 1,п и любых Vj€ Ь^ выполнено

(§T(Ui,Vi, ■ ■ ■ ,Vj ,■■ ■,Vn,Vn+i, ■ ■ ■,V2n)-&T(Ui,Vi, ■ ■ ■ ,VVj ,■■ ■,Vn,Vn+i, ■ ■ ■ , V2n)^J

<

< вТvrai SUP

t&Em

(Sh^J Vj(s)ds) (t) - (s^JVj(s)ds) (t)

<

< в™IV — Ъ(I) — а) = в™Н™IV — ц■

Таким образом, отображение Фгт(иг, VI, ■ ■ ■, Vj-l, ^п, vn+l, ■ ■ ■, v2n) : Ь— Ьудовлетворяет условию Липшица с константой в^Нц + е при всех т, больших некоторого т\■ Аналогично, отображение ^(щ, VI, ■■■^п, Vn+l, ■ ■ ■, Vj-l, ■, Vj+l, ■■■, V2n) : М

—у Ьос является (вц + е) -липшицевым при достаточно больших т, для всех ] = п + 1, 2п■

Также легко проверяется, что при всех т, начиная с некоторого номера, функционал ф™ по первому аргументу фrja(■,Vl, ■ ■ ■ vn+l, ■ ■ ■, v2n) : М — М является (Аг + В^ — е) -накрывающим; не зависит от остальных аргументов, кроме VI, и по этому аргументу функционал ф™(иг+п, VI, ■ ■ ■, V—, ■^г+и ■ ■ ■, vn, vn+l, ■ ■ ■, v2n) : Ь^ — М удовлетворяет условию Липшица с константой ВгКЪ — а) + е■ Определим матрицу

С£ =

i Gii Gi2\ y^i G22J

где

G11=

G21 =

fPij Hij + e \

V ai - e )r

G12=

( Pij + e \ V ai - e )n

\Bi\(b - a) + e

G22 = (0)r

Аг + В^ — е ) пхп

Так как д(С) < 1, то согласно теореме [6] о непрерывной зависимости собственных чисел от элементов матрицы можно было первоначально так выбрать е > 0, что

L

ОО

Итак, согласно теореме 1 при достаточно больших т система (9) разрешима. Существует такая монотонная норма | • | в Мп, что для каждого натурального т, начиная с некоторого номера, существует решение £т € АС^п краевой задачи (4), удовлетворяющее неравенству

< h-т^тт + £

)1(

1 (ym,zm) \a? - a?! \&m - A°1

то VУи 1 *"n ) \ 1 1 \ 'n\

1 - q(G£) J 'V а? - е an - е ' \A? + B?\ - е'"' ' \An + Bn\ - £<

где

г? = Ф? № ,Щ,..., иП, щ(а),..., иП(а)). Вследствие этой оценки и соотношений (6), (7) получаем £т ^ и0. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В., Аваков Е.Р., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.

2. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.

3. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-456.

4. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. №2. С. 151-155.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

6. Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963. 214 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 14-01-97504).

Поступила в редакцию 20 января 2015 г.

Treshchev V.S.

CONTINUOUS DEPENDENCE ON PARAMETERS OF SOLUTIONS TO BOUNDARY-VALUE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DEVIATING ARGUMENT

Conditions of continuous dependence on parameters of solutions of an a-periodic boundary-value problem for a system of implicit differential equations with deviating argument are received. The method is based on statements about vector covering mappings.

Key words: covering mappings; metrical spaces; implicit differential equation with deviating argument; boundary-value problem.

Трещёв Валентин Сергеевич, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]

Treshchev Valentin Sergeyevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Postgraduate student of Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]