CC BY
52
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.917
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиев, А.Б.Назимов, М.К.Собиров* О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СДВИГОМ РЕШЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Вологодский государственный технический университет, Россия, Институт экономики и демографии АН Республики Таджикистан
В работе исследуется периодическая краевая задача для систем линейных дифференциальных уравнений с помощью регуляризации сдвигом.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения - периодическая краевая задача - регуляризация сдвигом - спектр оператора.
Регуляризация сдвигом, используемая в данной статье, является конкретной реализацией метода регуляризации А.Н.Тихонова [1]. Отдельные случаи регуляризации сдвигом использовались М.М.Лаврентьевым [2] при решении задачи Коши для уравнения Пуассона, В.Н.Фадеевой [3] при решении плохо обусловленных систем с положительной симметрической матрицей, Н.А.Сидоровым и В.А.Треногиным [4] при нахождении точки ветвления нелинейных уравнений, И.К.Лифановым [5] при численном решении сингулярного интегрального уравнения Гильберта. Теоретическое обоснование регуляризации сдвигом для систем линейных алгебраических уравнений и абстрактных операторных уравнений и её приложение в исследовании сингулярных интегральных уравнений Гильберта нейтрального типа приведены в [6,7].
В данной работе исследуется периодическая краевая задача для систем линейных дифференциальных уравнений с помощью регуляризации сдвигом.
1. Рассмотрим периодическую краевую задачу для систем линейных дифференциальных уравнений
аX
— + Ах = / ,0 < I < 2ж, (1)
а
х (0) = х(2ж), (2)
где А - квадратная матрица порядка п с комплексными элементами а^,
к, ] = 1,2,..., п; / = (,..., _/и) е С[0,2 ж\ - пространство непрерывных комплекснозначных вектор-функций.
Общее решение уравнения (1) имеет вид
Адрес для корреспонденции: Мухамадиев Эргашбой, Назимов Акбар Багодурович. 160035, Россия, Вологодская область, г. Вологда, ул. Ленина, 15, Вологодский государственный технический университет. E-mail: emuhamadiev@rambler.ru; n.akbar54@mail.ru; Собиров Масъуджон Камолович. 734024, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айнй, 44, Институт экономики и демографии АН РТ. E-mail: adolat1@mail.ru
х (Г) = е +1 е~А(г^/ (^)ds, 0 < I < 2л,
0
где х0 - произвольный постоянный вектор. Это решение удовлетворяет условию (2) тогда и только тогда, когда вектор х0 удовлетворяет условию
2л
( Е - е-2лА ) х0 = | еА('-2л) / ( ^ ) ds,
0
где Е - единичная матрица порядка п. Таким образом, краевая задача (1)-(2) для каждой функции / е С [0,2л] имеет единственное решение тогда и только тогда, когда единица не является собственным значением матрицы е_2лА . Заметим, что единица не является собственным значением матри-
-2лА • Г77
цы е тогда и только тогда, когда мнимые числа вида Ш, т е ^ не являются точками спектра ст(А) матрицы А, то есть
а( А) р|{/т: т е й} = 0. (3)
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 1. Для однозначной разрешимости краевой задачи (1), (2) для всех / е С [0,2л] необходимо и достаточно выполнение условия (3).
Однозначная разрешимость краевой задачи (1)-(2) для всех вектор-функций f (?) из пространства С[0,2л] эквивалентна однозначной разрешимости этой задачи в достаточно узкой части пространства С[0,2л]. Действительно, с этой целью для каждого числа 8 е[ 0, л] и постоянного вектора И е С" рассмотрим множество кусочно-линейных вектор-функций
N8 ={ fs{t ) = ч(г, 8) И : И е С"},
где скалярная функция г/( / ,8) определяется равенством
10, если 0 <t <2л-28, ^ , )_'[8-|2л-8-^, если 2л-28< t < 2л.
Определим линейный оператор
2л
Af = |еА(*-2л) f (^)ds; А : С" [0,2л] ^ С.
Лемма 1. Для любых чисел 8 е (0, л), удовлетворяющих условию 8||А||е28"А < 1, справедливо
равенство АЫ3 = С".
0
Теорема 2. Условие (3) имеет место тогда и только тогда, когда краевая задача (1), (2) однозначно разрешима для всех / е ^, где 8 е (0, ж) удовлетворяет условию 8|| Л||е28"Л < 1.
Заметим, что утверждение теоремы 2 остается справедливым, если условие «для всех / е ^ » заменить на «только / ,8)к : к = 1,2,„.,и}, где постоянные векторык,к2,•••,к
образуют базис в С"».
2. Пусть / е С[0,2ж] - произвольная функция и
/ (* )=Е fkeгkt (4)
к=-да
- её ряд Фурье, а
2ж
1 = ^ 11 (5) е С", к е Ъ. 2ж 0
Как известно (см. [8]), последовательность частичных сумм
т
^ (*) = £ /кегк
к=-т
при т ^да сходится в среднем к функции / (/) , то есть
2ж
1|/ (<)" ^т С)|2 * = 0.
т^да 1 1
т^да
0
В частности, любое решение х (I), 0 < I < 2ж (не обязательно удовлетворяющие условию (2)) уравнения (1) с данной правой частью / (/) имеет ряд Фурье
да
х (1 )=Х хке'к'' (5)
к=-да
где
2ж
— 1х (5) е^Ж, к е Ъ
' 7Г * 4 '
хк =— |х ( 5 к 2ж 0
- коэффициенты Фурье функции х (/). Нас интересуют дополнительные требования на коэффициенты Фурье решения х (/), обеспечивающие выполнение краевого условия (2). Справедлива следующая
Теорема 3. Следующие условия эквивалентны: а) решение х (V) уравнения (1) с данной правой частью (4) удовлетворяет условию (2); б) ряд Фурье (5) решения х) равномерно сходится; в) коэффициенты Фурье хк решения х (V) удовлетворяют системе
(¡кБ + Л) хк = /к, к е Ъ.
3. В приведённых в п. 2 утверждениях одним из условий является выполнение соотношения (3). Рассмотрим теперь случай, когда хотя бы одно из чисел вида ¡т , т е Ъ принадлежит спектру и (Л) матрицы Л , то есть
а(Л) т: т е Ъ}^0.
Рассмотрим параметрическое семейство краевых задач
(х
— + Лх + аБх = / (?), 0 < ? < 2ж, (6)
(?
x
(0) = x(2 л), (7)
где В - квадратная матрица порядка п с комплексными элементами Ъ^, к, j = 1,2,..., n;
а е С - малый параметр.
В [6] приведены определения регуляризации сдвигом систем линейных алгебраических и абстрактных операторных уравнений. Следуя [6], сформулируем соответствующее определение для краевой задачи (1)-(2). Будем говорить, что семейство краевых задач (6)-(7) является регуляризацией сдвигом краевой задачи (1)-(2), если:
а) краевая задача (6)-(7) однозначно разрешима для всех f е С[0,2л] при достаточно малых
\а\ > 0;
б) в случае разрешимости краевой задачи (1)-(2), решение xa (t) задачи (6)-(7) равномерно сходится при а ^ 0 к некоторому решению x(t) краевой задачи (1)-(2):
lim IIх - xll г п = 0.
а^0\\ а 11с[0,2л]
Заметим, что если имеет место условие (3), то спектр сг(A + аВ) матрицы A + аВ также будет удовлетворять аналогичному условию для достаточно малых |а| > 0 и семейство краевых задач
является регуляризацией сдвигом краевой задачи (1)-(2). А именно, справедливы следующие утверждения.
Лемма 2. Пусть имеет место условие (3) и
M = max j||(m£ + A) 1 : m е zj.
Тогда для любой матрицы В и произвольного числа а, удовлетворяющих неравенствам
0 <\а\М\Щ < 1,
выполняется условие
а(А + аВ) П {т: т е й} = 0.
Теорема 4. Для того чтобы для произвольной матрицы В семейство краевых задач (6)-(7) являлось регуляризацией сдвигом краевой задачи (1)-(2), необходимо и достаточно выполнение условия (3).
Пусть выполнено условие (3). Тогда для решения ха краевой задачи (6)-(7) справедливо соотношение
||х -х„|| <М \а\,
II а °11с[0,2л] 11 I'
где М1 > 0 - постоянное число, не зависящее от а, а х0 - некоторое решение задачи (1)-(2).
4. В качестве примера рассмотрим задачи (1)-(2) и (6)-(7) для матриц А, В второго порядка и
вида:
"0 0" "0 1" "1 1" "1 0"
А = , 1) В = , 2) В = , 3) В =
1 0 0 0 0 0 0 1
Изучим предельные свойства решений семейства краевых задач (6)-(7) при а ^ 0. Краевая задача
I х1 = /1 (г), [х2 + х1 = /2 (г),
X (0) = х1 (2л), х2 (0) = х2 (2л) является разрешимой тогда и только тогда, когда среднее значение функции / равно нулю:
2л
— Г /1 (5) ^ = 0.
2л О
При этом общее решение краевой задачи (8)-(9) определяется формулами
г
х ( г ) = с 0 /1 ( 5 ) ,
0
г г
х2 (г) = с - гс0 +1(5 - г) / (5)^ +1/ (5)^,
0 0
где с - произвольная постоянная, а постоянная с0 определяется формулой
(8) (9)
(10)
С о =-
0 2ж
^ 2 ж ^ 2 ж
— | ^ (5)+ — | /2 (5)¿8.
Соответствующее параметрическое семейство краевых задач, порождённое матрицей В, в случае 1) имеет единственное решение
х. = -
1,а
2ж 1
Л1(2ж+(-5)
¿е ¿2 (2Ж«)
(Л2-¿1 )(е ¿12ж-1) (¿2-¿1 )(е ^ ж-1)
/1 ( 5 ) +
+
2ж \
— е ¿1(2 ж+г)
— е ¿( 2ж+1 -)
(¿2-¿1)(е ¿12Ж-1) (¿2-¿1)(
¿, 2ж Л
е 2 -11
/2 ( 5 ) +
¿1- 5 }-Хе ¿2 ('- 5)
\-1-
0 ¿2 "¿1
■/ (5) ^
^2 (
¿1 ('"5 ) _ /у ¿2 ('-5 )'
/ ¿¿Ае¿1е
¿2 "¿1
'/2 ( 5 ) ^
X, = -
2,а
2ж \
¿( 2ж+г -
? 1 V
¿( 2ж+Г -
? 2 V
(¿2-¿1)(е ¿2ж-1) (¿2-¿1)(е ¿22ж-1)
/1 ( 5 ) ^ +
+
2ж \
¿е ¿1(2ж+t)
¿е ¿2 (2 ^)
(¿2-¿1)(е¿2 Ж -1) (¿2-¿1)(
¿2 е 2 -11
/2 ( 5 ) ё +
1е ¿1 ) - е ¿2 )
-!
0 ¿2 "¿1
'¿е ¿1 ('" * ) ^ е Л2 ('" /1 (5)^ " \-^-/2 (5),
¿2 "¿1
где
¿1=-у[а , ¿2=у[а , а а: 0<|а|<р0, р0>0 - некоторое число. При а ^0 имеем
х1 ^ х1, х2 ^ х2, где х1 (/), х2 ^) определяются равенствами (11) с постоянной
С = -2
■у 2 ж ^ 2 ж ^ 2 ж ^ 2 ж
- \ 5/1 (5 ) ^ + — \ 5 2/1 (5 ) ^ - - \ /2 (5 ) ^ + — \ 5/2 (5 ) ^ .
Соответствующее параметрическое семейство краевых задач, порождённое матрицей В, в случае 2) также имеет единственное решение
2
х=
1,а \
¿ е ¿1 (2 ж+(^)
¿2 е
¿(2 ж+г -
(¿2-¿1)(е¿2 ж -1) (¿2-¿1)(е¿22 ж -1)
/1 ( 5 ) +
0
0
0
0
0
+
2л
I
— е 2(2 л+г )
Л1Л2 е 2( 2л+г -)
(2 -2)(е^1) (^2 -2)(е22л-1)
/2 (5) -
'гЛе 2>-2 е 2 е-5) ил ( е 21 ^)" е 2 ^)) -¡~-—I2-/1 ( ^ ) а^ -Ц—;-1 /2 ( 5 ) а5
Я2
Л2
2л
Х 2,а =
2 (2л+г -
? 1 \
?Л2( 2л+( -
(2-2 )(е 22л-1) (2-2 )(е 22л-1)
/1 ( 5 ) а5 -
2л
2 е 2 (2 л+г -5)
2 22 ( 2 л+1 - 5 )
(2-21)(е 22 л-1) (22-21)( е 22 л-1)
/2 ( 5 ) а 5 +
2 ) - е 22 )
-!
0 22 "Л
г Л е2 -2 е2^
/ (^) а^+р—^-/2 (^) а^,
0
22 -Л1
где 2 = -(а + л/а2 + 4а )/2, Л2=-(а-^[а^+4а )/2. При а ^ 0 имеем х1а ^ х1,
х
2,а
^ х2 , где х1 (г), х2 (/) определяются равенствами (11) с постоянной
^ 2л | 2л / ^ \ 2л
С = -1 | 5/1 (5)а5 + — | 52/ (5)а5 -[ - +
2 4л
л 2л
| /2 (5 ) + — | Э/2 (5 ) а$ .
0
Таким образом, в случаях 1) и 2) при а ^ 0 существуют пределы решений возмущённых краевых задач, которые определяются матрицей В . Однако не всегда из однозначной разрешимости возмущённой краевой задачи вытекает существование пределов её решений. Например, в случае 3) единственным решением возмущённой краевой задачи является
2л а( 5-г)
- е ( )
х1,а = | 4^7 /1 (5) а* +| е а(-О/ ( 5 ) а5 ,
А е 1 А
а J а2л 0 е
2л а(5-г)
е к '
2 л а( 5-г)
е
2л а(5-г)
е
хо = -
2,а
е е е
2л I -- / (5) а5 + I ---(5 - 2л) / (5) а^ + Г I ---/ (5)а5 +
О (е а2 л _1) | еа2л- Г }1У} | е а2л-1 '
2 л а( я-г)
, е у '
+ I /2 (5)а5 +1(5 - г)еа((5)а5 +1еа((5)а5.
Л е 1 л л
При а ^ 0 существует предел у первой координаты при выполнения условия (10), а у второй координаты предел не существует. Этот пример показывает, что пункт б) в определении регуляризации сдвигом является самостоятельным условием и не зависит от пункта а).
0
0
0
= 0. Тогда параметриче-
5. Приведём два утверждения, первое из которых является необходимым условием того, что семейство краевых задач (6), (7) является регуляризацией сдвигом для краевой задачи (1), (2), а второе - достаточное условие.
Теорема 5. Пусть параметрическое семейство краевых задач (6), (7) является регуляризацией сдвигом для задачи (1), (2). Тогда: 1) существует р0 > 0 такое, что при а: 0 <|а|<р0:
det (imE + A + aB 0 ; 2) для всех mEl подпространства R (imE + A) и B ker (imE + A) удовлетворяют условию R (imE + A) П B ker (imE + A) = |0|, где R (D ) и ker (D) - соответственно образ и ядро матрицы-оператора D : С" ^ Сп .
Теорема 6. Пусть семейство матриц {imE + A + aBj для всех а: 0<|а|<р0, р0 >0 -
некоторое число и целых чисел m: im A) является обратимым, и обратные матрицы
(imE + A + aB) 1 удовлетворяют условию lim|а|2 (imE + A + aB) 1 ское семейство краевых задач (6)-(7) является регуляризацией сдвигом для краевой задачи (1)-(2).
Поступило 08.04.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1979, 288 с.
2. Лаврентьев М.М. - ДАН СССР, 1955, т. 102, № 2, с. 205-206.
3. Фадеева В.Н. - ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, № 5, с. 907-911.
4. Сидоров Н А., Треногин В.А. - Сиб. мат. ж., 1976, т. 17, № 2, с. 402-413.
5. Лифанов И.К. - ДАН СССР, 1980, т. 255, № 5, с. 1046-1050.
6. Назимов А. Б., Мухамадиев Э. М., Морозов В. В., Муллоджанов М. Метод регуляризации сдвигом. Теория и приложения. - Вологда: ВоГТУ, 2012, 368 с.
7. Назимов А.Б., Муллоджанов М. - ДАН РТ, 2009, т. 52, № 9, с. 674 - 680.
8. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968, 496 с.
Э.М.Мух,амадиев, А.Б.Нозимов, М.К.Собиров* ОИДИ РЕГУЛЯРИЗАТСИЯИ ЛАГЖИШИ ^АЛЛИ МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ДАВРЙ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ХАТТЙ
Донишго^и давлатии техникии Вологда (Россия), *Институти ицтисодиёт ва демографияи Академияи илмхои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола масъалаи канории даврй барои системаи муодилах,ои дифференсиалии хаттй тавассути регуляризатсияи лагжиш тадкик шудааст.
Калима^ои калиди: муодилауои дифференсиалй - масъалаи канории даврй - регуляризатсияи лагжиш - спектри оператор.
E.M.Mukhamadiev, A.B.Nazimov, M.K.Sobirov* ABOUT THE REGULARIZATION BY THE SHIFT OF THE SOLUTION OF PERIODIC BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR THE SISTEMS OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION
The Vologda State technical University (Russia), Institute of Economy and Demography, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Before the work is investigated periodic boundary-value problem for the systems of linear differential equations with the aid of the regularization by shift.
Key words: differential equations - periodic boundary-value problem - regularization by shift - spectrum of operator.
