CC BY
19УДК 512.6:519.61
О РЕШЕНИИ НЕОДНОРОДНЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ф, М, Федоров, Т, Л, Осипова
Неоднородной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) с бесконечным множеством неизвестных называется система уравнений:
Ъ ,1 Х\+ Ъ ,2ж2 + ... = /1,
где а^ — известные коэффициенты, / — свободные члены, не все равные нулю, и х^ — неизвестные. Система численных значений величин X, х2,... называется решением системы (1), если после подстановки этих значений в левую часть равенств (1) мы получим сходящиеся ряды и все эти равенства будут удовлетворены.
В работе авторов [1] рассмотрена однородная БСЛАУ, т. е. когда = 0 при в сех ¿=1,2,..., ив пей же дан самый краткий обзор работ по теории БСЛАУ. В настоящей статье идеи работы [1] обобщаются на случай неоднородных БСЛАУ, причем / имеют определенный вид.
Так же, как ив [1], методом Гаусса, используя математическую индукцию, систему (1) можно свести к ступенчатому виду:
г=3
Далее предполагаем, что аф 0, т. е. определитель усеченной системы (2) любого порядка п не равен нулю. Рассмотрим усеченную
© 2008 Федоров Ф. М., Осипова Т. Л.
Ь,1XI + Ъ2,2Х2 + . . . = /2,
(1)
(2)
систему вида (2), при этом число уравнений равно п — 1, а число неизвестных — п, т. е. систему с одним свободным неизвестным.
Теорема 1 [2]. Пусть задана следующая СЛАУ:
п
= Ьз, а^ф 0, ] = 1,п — 1. (3)
г=3
Тогда неизвестные хг выражаются через хп следующим образом:
— Вп—г^~ ( —1) хп ^ | £р
г = 1, п — 1,
(4)
р
где
•'п-з
з-1
—
р
°п—з,п—р
Вр, В = Ьп 1 , ¿ = 2,п — 1, (5)
ап — 1,п — 1
£, _ ап—з,п—3+^ ^^ ( 1 )Р+ ап—з,п—3+р
а.
п—з,п—3
Р—1
2 ап—3,п—^^ П — к к=1
(6)
г, ап—1 ,п . к-т
¿1 =-, 3 = ^,п — 1.
ап —1 ,п — 1
Доказательство. Подставляя (4) в левую часть (3), получим
п
п—3 — 1
^ ^ а3гхг — азгВп—г+ ( —1 )П3 азз хп ^ | £к
к
п—3—р
п—3 ( — Уа3,3+Р П £к
а33+1 + у^ _к=1
п—3—
3,3
П £к
к
Из формулы (6) легко видеть, что второе слагаемое в правой части последнего выражения равно нулю. Таким образом,
п п—
^ ^ а3гхг — ^ ^ а3гВп—г.
п—3,п—3
X
Используя выражение (5), распишем сумму:
О 3—1 \ п—
Оо X ^ Поп— р
Еп В — П -3 _ ^ а3,п-р В , П В
П3гВп—г — П33 I / ^ Вр I "т" / ^ Вп—г
г=з \ р=1 / г=з+1
п—о— п—1
— О3 ^ ^ Пу.п рВр ^ ^ ^ Пзг Вп—г — Оз ?
р=1 ¿=3+1
так как
п—1 п—з—1
^ ^ П3% Вп—г — ^ ^ Пз,п—рВр? г=3+1 р=1
т. е. убедились в справедливости (4).
Следствие 1. В системе (3) соседние неизвестные связаны друг с другом следующим образом:
Хг — Вп—г + Бп—гВп—г — 1 — Бп—гХг+1, 1 ,П — 1. (7)
Действительно,
п—г—1
Хг — Вп—г Бп—г( 1) ' Хп ^ | Бр — Вп—г Бп—г{Вп—г —1 Хг+1).
р
Замечание 1. Очевидно, если О3- = 0, то и В3 = 0, следовательно, получаем соответствующую теорему для однородной СЛАУ, которая приведена в работах [1,2]. Таким образом, формула (6) соответствует однородной системе, ассоциированной с неоднородной системой (3).
Замечание 2. Систему (3) можно рассмотреть двояко: во-первых,| как самостоятельную конечную систему, во-вторых, как урезанную от бесконечной системы (2). В последнем случае, естественно, вместо хг подразумеваем их приближенные значения Хг и для простоты, предполагая, что хг = Ит Хг, опускаем верхний знак. Разумеется, такие
п—
системы существуют, например регулярные системы, для которых получена соответствующая теорема [3]. В этих терминах выражение (7) примет вид
Хг = 1Ш1 Вп—г + 1Ш1 (Бп—¿ВП—г —1) - ( 1ш1 Бп—г)Хг+1, ¿=1, Ю. (8)
Таким образом, исследование разрешимости бесконечной системы (2) сводится к изучению сходимости соответственно последовательностей (5) и (6), которые можно переписать в виде
Ь п—3—1 ь
Вп—3 = 3 — Е ^^Вр, = , (9)
п ■ - П. ■ ■ П... л -- -1
а3,3 а3,3 ап—1 ,п — 1
п— 3
°п—3 —
£ ( — а3,3+р д1= ап — 1 ,п ]= (1())
а3,3 р=9 Р— а ап — 1 ,п — 1
" а3,3 11 ап—3 — к к
Систему (3) можно преобразовать следующим образом:
п—3
^ ^ — Ь3, ^ — 1, гп 1, ац ф 0.
р
Предположим теперь , что коэффициенты ац+р и Ь3- в системе (11)
соответственно имеют вид
р— р—
а3,3+р = ара33 „ . _ . а
к=0 к=0 33
Ь^ = сЬ3-, Ь^р = сЬ3 Ьр. (13)
—
Для унификации обозначений будем считать, что ао = 1, П а^к = 1
к
и Ьо = 1; тогда можно принять р ^ 0.
Теорема 2. Если коэффициенты системы (11) иредставимы в виде (12), (13), то решение системы (11) имеет вид
с ^ ( —1) Ьг—3 ( Вп—г+3<т- \ ( —1) гхр
П а^к, П а*+к = ,р > 1, (12)
с ^ ^ —1Г ■ Ьг—3 Вп—г+3 ЬВ
хг~ —¿^ - ^-_ + Ь1Вп—г+3 — 1
аг,г 1-1 "с \ап—г+3 / гт а а
11 ап—г+к П аг — кап—г+к
кк
(14)
где
п—3 — 1
Вп—3 = 1 — арЪрВп—3—р, В = 1, (15)
р
п—з
Бп—з = —1 + Е р—^--' ^1 = —ь.?' = 1,п - 2. (16)
р=2 П Бп—з—к к=1
Доказательство. Сначала получим соотношения (15) и (16). Выражение (9) можно преобразовать следующим образом:
п—з — 1
Р _ з
вп—з -
Далее,
р=1 3
= з Вп—з. (17)
—3,3
п-з- п-
Вп—^ 1- Е 1- £ з^Е.
ьз ьз
р=1 и р=з+1
^п—р
п —1 ь п—з —1 ь
_ 1 _ V""1 —з,рьр е — 1 _ —з,з+рьз+р е
^ ь — Еп—р _ ^ ь — Еп—з—р.
р=з+1 ьз —р,р р=1 ьз «з+рз+р
Заметим, что при выполнении второго условия в (12) имеет место равенство = —р —з+рз+р. С учетом последнего и (13) получим выражение (14). Справедливость формулы (16) показана в работе [1]. Здесь отметим только, что выполнение второго условия в (12) необязательно. Кроме того,
Бп—з = —з Бп—з. (1®)
Докажем справедливость представления (14). Учитывая соотношения (17) и (18), из (7) получим
Х - ь<—1 Е .и А. Е 1 Х
Х — _ Еп—¿+1 ^ Еп—г -15 хг — 1.
—¿—1 ,¿ — 1 —¿ — 1 Бп—¿+1 —¿^ — ¿ — 1Б п—¿+1
Отсюда, постепенно понижая индекс при х, с учетом соотношения
= 1 (19)
—з ,з
приходим к (14). Заметим, что, в необходимых случаях меняя индексы суммирования, выражение (14) можно переписать в виде
—
с ¿Д (-1)¿—к+!Ък(Еп—к-^ъ \ , (-!)¿Хо
^Еп—к—Л + ; " , (20)
/,•11 1 1 X IV к X I ' - л
— • • ' ¿ — к — 1\Я, ¿ — 1
Мк=0 п Бп—¿+ЛБп—к 7 П—к Бп—к
1=1 к=0
что и требовалось доказать.
Теперь перейдем к бекопечпым системам. Полагая, что пределы последовательностей (15) и (16), не зависящие от индекса j, существуют при n ^ го, введем для них обозначения lim Bn-j = B*,
n—
lim Sn-j = S*. Тогда соответственно из соотношений (15) и (16) по-
n—
лучим
<о в* = , ь Е (-S£ap= (21)
I] apbp p=o
p
Следовательно, переходя к пределу в выражении (20), имеем
ai'i *=о VS S J s**-1 П ak
(22)
k
Учитывая соотношение Ь\Ьк = выражение (22) можно упростить
дальше, поскольку сумма в (22) имеет вид
4 1 k( bkB* , hbkв*\_ b0B* Uk bkB*
-k
El( i) ^ s*i-k ^ s**-*-1 j S*i ^ ^^ ^ S
i-1
k
- E(-dk - (-)bB=+(-D ^ b*.
Окончательно получим
<-!,«cBU 1 MbV Л-!^. (23)
S ** ' V > 4 ' i-1
S J S*-1 n ak
k
Для проверки правомерности выражения (23) подставляем его в
систему (2). При этом ряд К, содержащий хо, примет следующий вид:
¿-
, ^ (-1)'«¿—з —з,зП —к
- ¿Х к з
К = Ъз-= ^ Е-¿—1-
¿=з Б**-1 П —к ¿=з Б**-1 П —к кк
_ —з,зх0 ^ (-1)з—1 —з,зх0 ^ (-1 )р+1 — р _
_ з-1 / -> _ з— ' у б*р— ~ .
П —к ¿=з Б*3 П —к р=°
кк
Обозначим первый ряд через I, второй ряд — через 1. Тогда получим
¿—1 з+р—1
(-1)¿+1 —¿—з —з,з П —ксЕ* (-1)з+р+1 —р—з,зП —ксЕ*
I _ _к!1_— V"1 к=з
¿=з l¿,¿S * р=0 —з+р,з+рБ *
Но с учетом второго соотношения в выражении (12) имеет место равенство
зр-—з,з —к
-^-= 1. (24)
—з р,з р
Тогда
(-1)з сЕ* ^ (-1) р+1 —р_
1 б*з+1 Б*р~г
р
Вычислив второй ряд, согласно (24) получим
1 = = сЕ* Ъз^^ —рьр = сЪз = ьз,
рр
т. е.
У^ —¿з Х¿ = I + 1 + К = ьз, 3 = 1,2,...,
¿з
что и требовалось доказать.
Таким образом, эти рассуждения показывают, что исследование сходимости последовательности (15) не обязательно, лишь бы сходился
œ _
ряд Y1 ар ЬрИ сумма его не была бы равна нулю. Тогда при выполнении р=0
соотношений (21) выражение (23) является решением системы (2).
Замечание 3. Условия сходимости последовательности (16), т. е. условия разрешимости уравнения Ь) в выражении (21), изучена в работе [4].
Перейдем к рассмотрению конкретного примера. Пусть задана следующая бесконечная неоднородная СЛАУ:
х0 + Х\+Х2 + ■ ■ ■ + Xn + ■ ■ ■ = evt,
1-2xi + 3 ■ 4Х2 -I-----h (2n - 1)2nxn -I----= —evt,
a
.................................................. (25)
/V\n—1
(2n -2) lxn—1+ 3 ■ 4 ■б ...2nxn + ■ ■ ■ = (^-J evt,
Очевидно, система (25) уже имеет ступенчатый вид. Для того чтобы применить теорему 1 или 2, необходимо урезать бесконечную систему до конечной системы.
Результат урезания системы (25) можно записать в виде
g Оj ^ = 'j, j = (26)
при этом необходимо помнить, что под Xi подразумевается Xi. Очевидно, система (26) имеет вид системы (3), и, следовательно, справедливы утверждения теоремы 1 и ее следствия.
Заметим, что систему (26) можно преобразовать к виду (11), при этом коэффициенты системы принимают вид соответственно (12) и (13):
р—
aj,i+p= -^т1Ц№ + 2к+1)(у + 2к + 2),
^ к=0
т. е.
1 Р— а (2j + 2р)!
аР= (2^; ajj = { J) ' 11 а*+к= (2j! (27)
bj+p -
а)'
а I
= cbjbp.
(28)
Следовательно, для дальнейшего решения можно использовать теорему 2. Полагая, что для коэффициентов (21), (22) пределы последовательностей (15) и (16) при n ^ ж существуют: lim Bn = B* и
n—
lim Sn = S*, сначала находим эти пределы, исходя из (15) и (16).
n—
Имеем
1-Е
p
1
(2p)!
B* B*
1 = Е
1
s * = ^ + Е-
p-
-
2! ^ (2p)!(S*)p-:
или
Е
(2p)!
p
-p
B*, (29)
1
t (2p)!VS^
= cos
VS*
.
Отсюда соответственно получим 1
B*
S*
(30)
4
сЪу/%' ~ к = 0,1,2'.... (31)
Как отмечено выше, исходя только из коэффициентов (27) и (28), можно составить выражения (29) и (30), если только сходятся соответствующие ряды. Тем самым приходим к формулам (31).
Заметим, что с учетом (27), (28) и (31) из выражений (17) и (18), переходя к пределу при п то, можно получить
Bn j
v\ j
chyäj W
Sn j
4(2j + l)(2j + 2)
n2(2k+ l)2
Решением же системы (25) согласно (23) с учетом (31) будет
x fc) = (-1) ^
(2i)!ch (-1) 'xo
п(2к + 1)
п(2к+ 1)
к — 0Л,2,..., i — 1, 2, 3,....
(32)
2
2 (¿ —1)
и I А)
' (2г)! " [ 2 ] '
Х
Подставляя (32) в бесконечную систему (25), убеждаемся, как и выше, что все уравнения системы удовлетворяются. Таким образом, вектор (32) является аналитическим решением системы (25).
ЛИТЕРАТУРА
1. Федоров Ф. М., Осипова Т. Л. О решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 894)7.
2. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.
3. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехтеориздат, 1952.
4. Федоров Ф. М., Абрамова М. Е. О решении алгебраических уравнений бесконечной степени обобщенным методом Бернуллп // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 80-88.
г. Якутск
19 октября 2004 г■
