Неоднородные гауссовы бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

НЕОДНОРОДНЫЕ ГАУССОВЫ БЕСКОНЕЧНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (БСЛАУ)

Ф, М. Федоров

Пусть задана неоднородная БСЛАУ в гауссовой форме [1]:

а,ох + адх + а,2х + а0,зх + а0,4х4 + .. . = Ъ0,

а1 ,1 х + ^ ,2 х + ^ ,3 х + ^ ,4+ . . . = Ъ\,

а,2х + а,зх + ^,4х + ... = Ъ2, (1)

а ,з хз + а дх4 + .. . = Ъ3, ............... ,

где азз ф 0 для люб ого ].

В краткой записи неоднородная гауссова система (1) запишется

так:

хз+Р = Ъз, .7 = 0,1,2,.... (2)

Р=0

При решении бесконечных систем методом редукции в широком смысле [1] бесконечная система (1) (или (2)) урезается до конечной, так чтобы число неизвестных было на единицу больше, чем число уравнений. Поэтому рассмотрим урезанную систему (1) (или (2)), т. е. конечную систему из п первых уравнений с п+1 неизвестными: х$,х\,... ,хп. Для таких конечных систем в [1,2] приведены следующие результаты.

Теорема 1. Пусть задана следующая конечная СЛАУ:

п—з

X О>З,З+РХЗ+Р = Ъз, а^ Ф 0, 3 = 0, п — 1. (3)

Р

© 2012 Федоров Ф. М.

Тогда неизвестные xi выражаются через xg следующим образом:

, (-l)i+1Bn , (-1)<х0 . Xi = Bn-i + —--h —-, i=l, n, (4)

П Sn—i^-p П Sn—i^-p p=l p= 1

где

= = j = (5)

an-j,n-j p_-^ an—j,n—j an —1 ,n — 1

7 п— 7+1 , \ ^ I / 0>п— 7,п— 7+р ^п—1,п • тт-

а ■ -Р-1 ' ^ = 'П'

(6)

х0 — произвольное вещественное число.

Очевидно, рекуррентное соотношение (5) можно переписать в виде

, и-у-1 , и-1

Оо V л — Р ^ О0

R — J _ \ aj,n-p Л _ _ \ " д

aj,j aj,j aj,j a j,j

j,j p j,j j,j p j j,j

bn-

Bi= 1 , j = 0,n-2,

an— ,n—

Если предположить, что существует предел lim Bn—j = B(j) и

n—Ю

возможен предельный переход в выражении (7), то для каждого j имеет место равенство

т ОО

Bü) = Е —

Л - - ' /7- -

aj,j p j a j,j

aj,j

О

Y^aj,pB(p) = bj. (8)

pj

Сравнивая выражение (8) с (2), убеждаемся, что = Б(^'), т. е. Б^) является частным решением неоднородной бесконечной системы (2),

т. е. (1). Покажем, что В(у) действительно является частным решением (1). Если для решения системы (1) применить метод редукции в узком смысле, как это сделано в [1], то получим

г • — B ■

(9)

где Bn-j определяется выражением (5).

Если допустить, что существует предел lim Bn-j = B(j), то из (9)

n—

следует, что lim aj = lim Bn-j = B(j), т. e. B(j) является решением

n—n—

Bj

j

силу ее неоднородности хотя бы один свободный член bj не равен 0. Таким образом, доказана

Лемма. Если существует предел lim Bn-j = B(j) н не все B(j)

равны 0, то В(]) является частным решением системы (1) = 0, оо).

Используя коэффициенты и свободные члены системы (1), введем обозначения:

b'j+p = Ъз+Р , р = 0,1,...; a'n j = a'j j = 1, 0 < j < n - 1.

aj+p,j+p aj,j

(10)

Из коэффициентов (10) составим следующий определитель B'n-j порядка n — j:

B'n-j -

' bj bj bj.. ■ b'n-2 b'n-l

aj ,j 1 0 0 0

aj ,j aj ,j 1 0 0

aj+k,j aj+k,j+l a'j+k,j+2 ■ 0 0

an-2 ,j an-2 ,j+l an-2 ,j+2 ■ 1 0

an-l,j an-l ,j+l an-l ,j+2 ■ ■ «4-1,n-2 1

(П)

где B' = bn_!.

Из определителя (11), исключая первую строку, составим бесконечную матрицу А(]):

(а>3

т =

а

'3+1,3 '3+2,3

а

1

3+2,3+1

а3+к,3 а3+к,3+1 а3+к,3+2

ап- ,3 ап- ,3 ап- ,3

ап- ,3 ап- ,3 ап- ,3

ап,3 ап,3 ап,3

.

а

'п-1 ,п-2

а

п,п—2

(12)

Допускаем, что бесконечная матрица Апорождает бесконечный определитель |А(^') Из главных миноров определителя |А(^') | составим определители Ап(^ п-го порядка, при этом полагаем, что А И) = 1 (п= 1,2,3,...):

АОО = 1, = , МЦ) =

Мз) =

Ап{з) =

3 ,3 3 ,3

а

1

3 ,3

3 ,3 3 ,3 3 ,3

а

3 ,3 /

а3 ,3 а3 ,3

0

1

а

3 ,3

3 ,3 а3 ,3

(13)

3 п- ,3 а3 п,3

а

3 п- ,3 а3 п,3

а

3 п- ,3 а3 п,3

а

3 п- ,3 п-а3 п,3 п-

а

3 п,3 п-

А ( 1Ь-

Пусть ряд V (— 1)^ — сходится для любого 7, при этом он

~ аз+р,з+р

р=О

одновременно не равен нулю для всех Таким образом, выполняются условия

уАЛз)Ъз+Р <00; , „. ,.....

р=0

а3+Р,3+Р

и хотя бы для одного j

ж

Е

p=0

{_1)РМЬ±р Ф о,

aj+p,j+p

(14)

где Ap(j) — определители (13) порядка р.

Теорема 2. При выполнении условий (14) неоднородная гауссова система (1) имеет частное решение х3 вида

х = у{_1ГМЬ±р

p

aj+p,3+p

j = 0,1,..

(15)

где Ap(j) — определители (13) порядка р.

Доказательство. В [3] показано, что величина Bn-j-, вычисляемая рекуррентным соотношением (8), равна определителю (11), т. е. B„_j = B',-. Следовательно, если существует предел lim B„_j =

3 n—w

B(j), то B(j) = lim B'n-j = В'(j), т. е. он должен быть равным бес-

n—

конечному определителю, если он существует:

B' j

' b3

a3 ,3 a '3 ,3

aj+k,j

b'j+l

a

3 ,3

b3+2

0

1

a

j+k,j+l aj+k,j+2

n- ,3 /

n- ,3 an- ,3

n- ,3 an- ,3

a

n- ,3

Ы

n-0 0

Ы

a

n- ,n-

n-0 0

(16)

Таким образом, надо показать, что бесконечный определитель (16) существует. Для этого по определению бесконечных определителей [4] вычисляем по индукции главные миноры | определителя (16).

Находим первые миноры:

1вд| = ь;. = 1 =

а п п а п

3,3

\В2Ш = 1 ' — ~

%3,3+1 Р3+1 а3,3 аз+1,з+1

= АоН)-*- - а,= ]Г(-1)^(,)-^. (17)

а3,3 а3+1,3+! р=0 а3+р,3+р

Пусть соотношение (17) верно для п, докажем, что оно верно и для п + 1. Действительно, разлагая минор (у) | то (п + 1)-му столбцу

п

р=0 а3+р,3+р

получим

\в'п+1 Ш = (~1)1+"+1бз+" +1 • 1ВД)1 =

а3+п,3+п р=0 а3+р,3+р

что и требовалось доказать.

Таким образом, при выполнении условия (14) имеем

Ит \В'М)\ = ВЦ) = ¿(-1 ГЛрт+р, ./ 0.1..... (18)

Согласно лемме теорема 2 доказана.

Из теоремы 2 вытекает важное для приложений

Следствие 1. Если бесконечная неоднородная гауссова система (1) имеет единственное решение, то этим решением будет выражение (15).

Следствие 2. Если не выполняются условия (14), т. е.

р а3 р,3 р

£(-1 )*М&±£ = 00

для всех у пли

р а3 р,3 р

хотя бы для одного у, то система (1) несовместна.

Действительно, в первом случае левая часть всех уравнений системы (1) равна нулю, а правая Ь3 те равна 0 хотя бы для одного противоречие. Во втором случае нарушается само определение бесконечной системы, так как ряд ^'-го уравнения системы (1) будет расходящимся.

Для примера рассмотрим хорошо изученную неоднородную периодическую систему, причем ее простейший вид — гауссову систему с разностными индексами [1]:

^ ^ архз+р — Ь, р=0

ао = 1, Ь > 0.

Частное решение системы (19) найдено [1] и имеет вид

£ арЬр р

(19)

(20)

Используя теорему 2, найдем решение (20). В данном случае последовательность определителей (13) будет характеристической последовательностью [1] гауссовой системы (19) и не зависит от индекса ]■.

а 1 а 1 0

А0 = 1, Ах = аь А , А = а а 1

а а а а а

Ап —

а а

1

а

(21)

ап-1 ап—2 а„_з ... 1 ап ап—1 а„-2 ... а Заменяя элементы ап определителей Ап па ( —1)"а„, составим последовательность определителей Ап:

А0 = 1, Аг = -аь А2 =

А

-а\ 1 а —а 1

—а 1 0

а —а 1

—а а —а

Ап

—а а

1

—а

( —1)п—1 а„-1 ( —1)п—2а„—2 ( —1)п—За„—3 ( —1)па„ ( —1)п—1а„— ( —1 )п—2а„—2

О

0

1

а

(22)

Легко убедиться, что Ап = ( —1 )пАп и ( —1 )пАп = Ап.

<х>

Если степенной ряд /(ж) = £ ( —1)рархр абсолютно сходится в

р

области |ж| ^ г > 0 и не имеет в ней нулей, то, как показано в [1], функция ущ разлагается в указанной области в степенной ряд:

/(ж)

— АрхР,

(23)

р

Ар

Расписывая решение (15) в случае системы (19) и учитывая соотношения между определителями Ар и Ар, а также выражение (23), получим

^ = = * Е3^ = уТ^у

рр

где Ар и Ар — определители (21) и (22) соответственно и

7(х) = ]Г(-1)рарЪр.

р

Учитывая ар = ( —1)рар, имеем

/(*) = ]Г(-1 )рарЪр = ^(-1Г(-1)рарЬр = ]ГарЬр.

рр

Таким образом, получили соотношение (20). Из следствия 2 следует, что в случаях

р

арЬр = ж или арЬр = 0 рр

7 • • • •

разностная гауссова система (19) несовместна.

Действительно, в первом случае получим тривиальное решение приведенной системы (19), что противоречит неоднородности системы. Во втором случае ряды в левой части уравнений системы (19) расходятся.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

2. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

3. Федоров Ф. М. К теории гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 209^217.

4. Каган В. Ф. Основания теории определителей. Киев: Гос. изд-во Украины, 1922.

г. Якутск

18 ноября 2011 г.