О крамеровости гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

О КРАМЕРОВОСТИ ГАУССОВЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (БСЛАУ)

Ф, М. Федоров

Если конечная линейная система уравнений имеет единственное решение и это решение выражается формулами Крамера, то такие системы называются крамеровыми [1]. Другими словами, в таких системах число неизвестных совпадает с числом уравнений и определитель системы не равен нулю. Аналогичное понятие можно вводить также и для бесконечных систем, т. е. бесконечная система называется крамеро-вой, если она имеет единственное решение и это решение записывается с помощью формулы Крамера.

Пусть задана следующая неоднородная БСЛАУ в гауссовой форме

[2]:

а ,о х + а д х + а ,2 х + а ,з х + а д х + ■ ■ ■ = Ь, а1 ,1 х + а1,2 х + а\ ,з х + а1 д х + ■ ■ ■ = Ь\,

а ,2 х + а ,з х + а д х + ■ ■ ■ = Ь2, (1) а,зх + адх н— = Ь3,

где а^- ф 0 для люб ого ].

Не нарушая общности, полагаем, что в системе (1) все диагональные элементы равны единице, т. е. а^- = 1 для люб ого у.

С учетом предположения относительно коэффициентов а^- гаус-

© 2012 Федоров Ф. М.

сова бесконечная матрица А системы (1) имеет вид

А =

а, а, а, а , . . . а0 ,п

0 1 а, а, а , . . . а1 ,п

0 0 1 а, а2 ,4 . . ^ ,п

0 0 0 0 .. . ап —1,

0 0 0 0 .. .

.

(2)

Очевидно, что бесконечный определитель А, порождаемый матрицей А

А

телей А„(3) п-го порядка, при этом полагая, что Ао(3) = 1 (п = 1,2,3,...):

= А1(з) = а.,.+1, А2(3) =

а.,Я

А3(з) =

а..+1 а..+2 1 а.+ 1,.+2

1 О

аз,з+2 аз,з+3 а.+1.+2 а.+1,.+з

1 а.+2.+3

А^ 3) =

аз,з+1 1 О

О

о

а..+2 1 О

о

1 аз,з+п

а^+1Л-п-1 а.+ 1,Я-п

а.+2.+п-1 а.+2.+п

а.+п —2 ,.+п-1 а.+п —2

1 а.+п-1

(3)

3

]Г(-1)рАр(з>.+р < ¿ = 0,1,....

р=0

(4)

3

ется условие

]Т(-1)рАр(з).р ^ 0, (5)

р

хотя бы для одного ¿. Здесь Ар(¿) — определители (3) порядка р.

...,

В работе автора [3] показано, что на самом деле ряд в (4) является частным решением неоднородной системы (1):

ж

хз = 52(-1 )РАР(Э)ЬЗ+Р < ¿ = 0,1,.... (6)

р=0

В матрице А заменяем к-й (к = 1, 2,3 ...) столбец столбцом свободных членов (Ьо, ...) и рассмотрим ее определитель

к

1 а0,1 а0,2 ,к- -2 Ьо «0 ,к а0 ,п_1

0 1 «1,2 ,к- -2 Ь1 ,к а1 ,п_1

0 0 1 «2 ,к- -2 Ьз «2 ,к а2 ,п_1

0 0 0 1 Ьк_ 2 «к—,к «к_2 ,п_

0 0 0 0 Ьк_ 1 «к—,к «к_1 ,п_

0 0 0 0 Ьк 1 «к,п_ 1

Предполагая, что бесконечный определитель (7) существует, формально вычислим Д^ с помощью разложения определителя по к-му столбцу (такое разложение бесконечного определителя (7) возможно ввиду допущения об определителе (7) из [4,5]), т. е. по столбцу свободных членов Ьу

ж

д№ = ]ГЬ4-А<_1 ,к_1, (8)

¿=1

где A¿_l,к_1 = ( —1У+kM¿¡k — алгебраическое дополнение элемента b¿_l, Ы^к (г = 1,2,3,..., к = 1,2,3,...) — минор, получающийся из Д(к) вычеркиванием г-й строки и к-го столбца.

Минор М^й можем представить в виде

1 а,. а0 ,¿ — 1 ао ао ,¿+1 а0 ,к—2 ао ,к

0 1 ^ ,¿—1 а1 а1 ,¿+1 а1 ,к—2 а1 ,к

0 0 . 1 а2 а2 ,¿+1 а2 ,к—2 а2 ,к

-1,11 О О

а®-2 ,г

аг — ,г

О

о

,¿+1 ,¿+1

а®—2 ,к —2

— ,к —2

а®+1,к—2 ,к

а®+2,к—2 а®+2,к

ак— ,к ак— ,к 1

• (9)

а

Очевидно, что в бесконечном определителе, полученном вычеркиванием первой строки в определителе (9), элементы первого столбца будут равны нулю (если к > 1) и потому М\,к = 0, следовательно, первый член в разложении (8) равен нулю, т. е. 6оАо,к—1 = 6о( —1)кМ,к = 0. Вычеркивая вторую строку в (9), а затем разлагая полученный опре-

А ,к—

6 ( —1)к+1 М ,к = 0. Продолжая аналогичное рассуждение до г = к — 1, получим, что члены разложения (8) от г = 1 до г = к — 1 все равны нулю.

Пусть теперь г = к, т. е. в (8) исключаем к-ю строку. Тогда соответствующий член в разложении (8) выглядит так: 6к—Ак—,к—1 =

6к— ( —1)к+к Мк,к = Ьк—1 • 1 = 6к—1 • А0(к).

Пусть г > к, тогда определитель (9) имеет вид

1 «0,1 «0 ,к-2 «0 ,к «0,1-1 «0 ,г «0 ,¿+1 •

0 1 «1 ,к-2 «1 ,к «1 ,1-1 «1 ,¿+1 •

0 0 «2 ,к-2 «2 ,к а ,г-1 «2 а2 ,¿+1 •

0 0 «к-3 ,к-2 «к-3 ,к «к-3,1-1 «к-3 ,г ак-3 ,¿+1 •

0 0 1 «к-2 ,к О-к-2,1-1 О-к-2 ,г ак-2 ,¿+1 •

0 0 0 Як-1 ,к «к-1,1-1 «к-1 ,г «к-1,¿+1 •

0 0 0 1 ак,г-1 «к,г ак^+1 •

0 0 0 0 О-г-2,1-1 «¿-2 ,г «■¿-2 ,¿+1 •

0 0 0 0 0 1 «¿,¿+1 •

0 0 0 0 0 0 1 •

• (Ю)

Вычислим минор Ы^к исходя из (10). Сначала разложим определитель (10) по первому столбцу, затем разложим полученный после первого разложения минор по первому столбцу, продолжая таким образом к раз, окончательно получим М^ = 1 • 1 • .. ■ • 1 М(г, к), где минор

_ к

Ы(г, к) имеет вид

- ,к «к-1 ,к+1 «к-1 ,¿-1 «к-^ ак-1 ,¿+1 «к-,¿+2

1 ак,к+1 ак^+1 ак^+2

0 1 ак+М-1 <к+М

0 0 «¿-3 ,¿-1 a¿-3 ,¿+1 «¿-3 ,¿+2

0 0 <«¿-2 ,¿-1 <¿-2 ^ <¿-2 ,¿+1 «¿-2 ,¿+2

0 0 0 1 <¿,¿+1 «¿,¿+2

0 0 0 0 1 «¿+1 ,¿+2

0 0 0 0 0 1

Минор М(г, к) разделим на четыре блока:

ак— ,к ак— ,к ак—11 ак —1 ,¿ ак —1 ,¿+1 •

1 ак,к ak,¿ —1 ak,¿ аМ+1 •

0 1 ак+м—1 ак+:м ак+:М+1 •

0 0 ^—2 ,¿—1 a¿—,¿ 2 ,¿+1 •

0 0 0 1

0 0 0 0 1 •

0 0 0 0 0 •

Тогда

А

А В С В г—к

М(г,к) =

|А| =

ак— ,к 1 О

ак —1 ,к+1 ак— ,к 1

ак —1 ,¿—2

аМ—2 ак+М—2

ак —1 .¿ —1

аМ —1 ак+М —1

Ог—3 ,¿—2 1

3 .¿ —1

О о о о

В — бесконечная матрица с конечной (г — к)-й строкой и

ак —1 ^ ак —1 ,¿+1 ак —1 ,¿+2 ак^ ак^+1 ак^+2 |В| _ ак+:м ак+:м+1 ^+1^+2

-2^

-2^+1

-2^+2

(12)

(13)

(14)

С г—к В

бесконечная треугольная матрица с единичными диагональными элементами и

|В|

1

0 1

0 0

0 0

1 ^+2^+3

О 1

Нетрудно видеть, что определитель |A| на самом деле является определителем вида (3). Действительно, введя в (13), т. е. в |A|, обозначение j = k — 1, убеждаемся, что |A| = |Aj_k(j)|.

Для конечных определителей А, разбитых на четыре блока вида

(12), где A и D — квадратные матрицы, имеется следующий результат из [6]. Пусть |A| ф 0, тогда верно равенство

A=|A||D — CA-1 B| . (15)

Отсюда с учетом того, что матрица C нулевая, а матрица D верхняя треугольная с единичными диагональными элементами, получим

|A|

Используя соотношения (13) и (15), вычислим бесконечный минор

(13) M(i, к} при k > 1 . Согласно определению бесконечных определителей рассматриваем главные миноры Мп(г, к) минора М(г, к), при этом полагаем k < i ^ n. Тогда очевидно, что матрица D квадратная, следовательно, верно равенство (15). Поэтому в силу (16) имеем M„(i, k) = |Aj_k(j)|. Рассматривая минор порядка n + 1, убеждаемся, что он также равен определителю |Aj_k(j)|, т. е. данный минор не

n

lim Мп(г,к) = |A^k(j)\ = M(i,k).

n—

Таким образом, член 6j_i Aj_i ,k_i в разложении (8) при i > k будет иметь вид

ъ<_i>ti-i,fc-i = bi-i(-i)i+kMi<k = h: 1,1 • I •■■■• \JJ(;./■•)

k

= (—1) i+4_i |Ai_^ k — 1)|. (17)

Учитывая соотношение (17) и то, что все алгебраические дополнения Aj_i ,k_i щи 1 ^ i ^ k — 1 равны нулю, разложение (8) запишем так:

Ä(k)=E—) Aj_k( k — 1), k>l .

i=k

Введя в последнем выражении последовательно обозначения р = г — к, к — 1 = з, получим

= ]Г( —1)РЬ^рАрИ), к > 1 • (18)

р=0

к

зом:

Ъ a0 ,1 a, a0 ,i- -2 a0 ,i-l a ,i a ,i

Ъ 1 a, ai ,i- -2 al ,i-l a ,i a ,i

Ъ 0 i a2 ,i- -2 al ,i-l a ,i a ,i

bi-2 0 0 1 ai-2 ,i-l ai-2 ,i ai-2 ,i+l

bi-1 0 0 0 1 ai-l ,i ai-l ,i+l

bi 0 0 0 0 1 ai,i

bi+1 0 0 0 0 0 1

(19)

Разлагая определитель (19) по первому столбцу, имеем Ъо • 1 = bo |Ао(0)| для первого элемента и -biagд = ( —1)Ъо|Ai(0)| для второго элемента. Таким образом, два первых члена разложений (8) и (4) совпадают.

При i > 2 исключаем го (18) первый столбец и i-ю (i > 2) строку, тогда получим минор М^д, равный определителю (12) при k = 1, т. е.

Mi д = М(г, 1):

a, a, a0 ,i-l a ,i a0 ,i+l •

1 a, al ,i-l a ,i al ,i+l •

0 1 a2 ,i-l a ,i a2 ,i+l •

0 0 ai-2 ,i-l ai-2 ,i ai-2,i+l •

0 0 0 1 ai,i+l •

0 0 0 0 1 •

0 0 0 0 0 •

Следовательно, верны вышеуказанные рассуждения относительно вычисления определителя (12), поэтому общий член разложения (8)

равен Ьг-\А—\= ( —1)г+1 Ь4_1 |Аг_1(0)|. Подставляя последнее выражение в (8), получим

^ оо

Д(1) = Е(-)<+1 Ь— 1А—т = ^—1УЬ0+р Ар(0), ¿=1 р=0

к

Учитывая, что бесконечный определитель А, порождаемый матри-А

(6), получим

_ Д№

Х3 ~ ""д",

следовательно, решение (6) гауссовой системы (1) выражается формулой Крамера.

Таким образом, доказана

Теорема. Если гауссова система (1) имеет единственное решение, то она крамерова.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

2. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

3. Федоров Ф. М. Неоднородные гауссовы бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 123-131.

4. Каган В. Ф. Основания теории определителей. Киев: Гос. изд-во Украины, 1922.

5. Федоров Ф. М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011.

6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

г. Якутск

5 ноября 2011 г.