Об алгоритме Гаусса для бесконечных систем алгебраических уравнений (БСЛАУ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

ОБ АЛГОРИТМЕ ГАУССА ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (БСЛАУ)

Ф, М. Федоров

В работах автора [1-3] введены и исследованы некоторые виды гауссовых БСЛАУ. В них по аналогии с конечными системами с верхней треугольной матрицей дается определение гауссовой бесконечной системы.

Определение 1. Если матрица А(а^) бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

имеет элементы а^- = 0 для всех г > причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е. а^^ ф 0, г = 1, 2,..., то говорим, что такая бесконечная система линейных алгебраических уравнений (1) задана в гауссовой форме. Таким образом, если все элементы, расположенные под главной диагональю бесконечной матрицы А(а^-) (а^- ф О, .7 = 1,2,...), равны нулю, то такую матрицу называем гауссовой матрицей. А если все элементы, расположенные над главной диагональю,

А

матрицей.

В [3] найдены необходимые и достаточные условия существования нетривиального решения однородной гауссовой бесконечной системы, при выполнении которых указанные решения имеют простой замкнутый вид. Теория некоторых конкретных гауссовых бесконечных систем изложена в монографии автора [1]. © 2012 Федоров Ф. М.

(1)

¿=1

Вместе с тем в научной литературе вопросы приведения общих бесконечных систем к системам в гауссовой форме не рассматривались. В данной статье покажем возможность применения метода исключения Гаусса для преобразования бесконечных систем в гауссову форму.

Используем теорию метода Гаусса для конечных систем, изложенную в монографии Ф. Р. Гантмахера [4]. В соответствии с этим введем некоторые обозначения для определителей, составленных из элементов данной конечной матрицы А(а,<к)'-

А ¿^■■■¿р ■ ■ .кр

аг\,к\ аг'2,к\

аг\

аг2 ,к2

11р ,кг аЪр,к'2

агг,кр а«2,кр

а,- к

(2)

Определитель (2) называется минором р-го порядка матрицы А, если 1 ^ ¿1 < ¿2 < • • • < ¿р ^ ш и 1 ^ к\ < < • • • < кр ^ п. Прямоугольная (ш х п)-матрица А(а,,к) имеет С^СПр миноров р-го порядка

ЧН ■ ■ ■¿р \ I 1 ^ Ч < ¿2 < • • • < ¿р ^ ш

А

; р ^ ш/п^

(2')

к\к2 ■ ■ ■кр } V 1 < к\ < < • • • < кр ^ п

Миноры (2'), у которых ¿1 = к\, ¿2 = к2, ■ ■ ■ = кр, называются главными.

В обозначениях (2) определитель квадратной матрицы 1А(а,,к)Щ запишется так:

|А| А

■■■п

■■■п

Пусть дана матрица А(а,,к)П ранга г. Введем следующие обозначения для последовательных главных миноров этой матрицы:

Вк= А

■■■к ■■■к

к= l,2,■■■,n■

Известно [4], что всякая квадратная матрица разлагается на треугольные матрицы.

Теорема 1. Всякую матрицу А(а,,к)П ранга г, у которой первые г последовательных главных миноров отличны от пуля, т. е. Бк ф О,

к = 1,2,... ,т, можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы В на верхнюю треугольную матрицу С:

. С1 ,„ '

/Ь д .. с, с,

А = ВС = &2,1 &2,2 . : 0) 0 с,

\Ьп,1 ЬиЛ . \ о 0

02 ■

(3)

При этом

К ПК ^ А

»1дс1д = -ь>1, »2,2с2,2 = 7^-, • • • , 0г,гсг,г = -• (4)

Первым г диагональным элементам матриц В и С можно дать произвольные значения, удовлетворяющие условиям (4).

Задание первых г диагональных элементов матриц В и С определяет однозначно элементы первых г столбцов матрицы В и первых г С

А /12 ...к -1 ^ \ А /12 ...к — 1 к

ЪЭ'к = Ък'к /12...АЛ ' СМ = СМ ./12 ...АЛ ' (5) ^12...^ А^12...к 2 —■ к, к ""Ь" 1, . .., п, к — 1, 2, .. ., г.

В случае г < п (|А| = 0) в последних п — г столбцах матри-В

п— г С

п — г С

п — г В

Следствие 1. Если диагональные элементы матрицы В равны 1 и первые г диагональных элементов сдд матрицы С равны

,..., дДг1, а последние п — г заполнены нулями, то получим метод исключения Гаусса.

Некоторые сведения о бесконечных матрицах приведены в [4-6], а основные понятия о них можно найти в монографии Кука [7]. Например, в этой работе для бесконечных матриц введены понятия умножения матриц, верхних и нижних треугольных матриц, а также определение обратной матрицы. Операция умножения матриц вводится так

же, как и для конечных матриц, но с оговоркой о сходимости соответствующих рядов.

Напомним, что понятия верхних и нижних треугольных матриц (конечных) в случае бесконечных матриц выше заменены соответственно понятиями гауссовых и треугольных матриц. Более подробно об этом можно найти в работе автора [2].

В случае бесконечных матриц также справедливы следующие предложения для конечных матриц [7].

Предложение 1. Произведение двух треугольных матриц является треугольной матрицей.

Предложение 2. Произведение трех треугольных матриц ассоциативно.

Определение 2. Если АВ = /, то В называется правосторонней обратной для А, а А — левосторонней обратной для В, где I — единичная бесконечная матрица.

В соответствии с определением 2 правосторонняя обратная матрица для А является решением X линейного матричного уравнения АХ = I.

Бесконечную систему (1) с гауссовой матрицей можно записать в

виде

р

аз,з+рхз+р ~ , 3 — ■■■, (1 )

или в матричной форме:

АХ = Г, (1")

где А — гауссова бесконечная матрица, X Г — бесконечные столбцы неизвестных и свободных членов системы соответственно.

Для систем (1) с треугольной матрицей доказана следующая

Теорема 2 [7]. Бесконечная система (1) с треугольной матрицей имеет единственную правостороннюю обратную матрицу, которая бу-

дет треугольной матрицей, и все ее элементы, лежащие на главной диагонали, равны а— ■

Из доказательства теоремы 2 вытекает

а,,, ¿

матрица системы (1) с треугольной матрицей не имеет правосторонней обратной матрицы.

Поскольку систему (1) в общем случае также можно записать в матричной форме (1")) имеет место

Следствие 3. У бесконечной системы (1) с треугольной матрицей существует единственное решение, которое имеет вид X = А-Г, где А- — правосторонняя обратная матрица.

Также в [7] приведены следующие замечания.

А

а,,, ¿

ную правостороннюю обратную матрицу X. Тогда X является также

А

А

Однако очень важно

Замечание 2. Ниоткуда не следует, что X является единственной

А

Пусть задана бесконечная матрица А(а,^)^ с бесконечным опре-

А

аналогично тому, как это делается для конечных матриц. Предпо-А

бесконечный определитель, не равный нулю. Как правило, такие матрицы существуют, например, нормальная матрица имеет бесконечный ранг, если даже ее определитель равен нулю [5], бесконечная ганкелева матрица имеет конечный ранг только при выполнении определенных условий [4]. Пусть главные миноры данной бесконечной матрицы не

равны нулю, т. е. ф О, к = 1,..., то. Тогда, исходя из коэффициентов а1,к данной матрицы Л, по формулам (4) и (5) можем найти числа Ъз,]~, с^- и составить из них бесконечные треугольную матрицу В и гауссову матрицу С соответственно. При этом в формулах (4), (5) ] = к, к + 1,..., к = 1, 2,.... Покажем, что умножение матрицы В С Л ВС Л В

ВС

ются, т. е. эти ряды сходятся, тем самым операция умножения данных бесконечных матриц осуществима. Иными словами, существует матрица Л(а^), равная произведению ВС. Обозначим через В„, Сп, Лп квадратные матрицы п-го порядка, соответствующие главным минорам п-го порядка матриц В, С и их произведения А(а^). Полагая диагональные элементы матрицы В произвольными и проводя вычисления по формулам (4) и (5), имеем

( Ъ д Ь д А

Л

£>1

Ь1ЛА(

0 0

1) Ъ 2 2 0

Ъ,

\

ь1,1

'1

ь1,1 1 2 1 2

ь2,2

12 3

\

12 3

ь3,3°2

(6)

Непосредственными вычислениями убеждаемся, что две первые строки Л

а ,1

= А = Л

— ^ 1, ах 2

Л

— а1,2, «1 ,з

Л

— «1 ,з, .. .;

^2 1

Л

Л

— 02 1, Й2 2 —

Л

А

Ат

= «2 2,

Л

«2 ,3 =

Л

Л

Ат

= о2 ,з, —

Ясно, что для первых значений п имеет место А1 = А1, А2 = А2. Индуктивно полагая, что А„_ 1 = Ап-1, покажем, что Ап = Ап. Для этого воспользуемся теоремой 1. Пусть в ней ранг г матрицы А равен ее порядку п. Из структуры треугольной матрицы В следует, что ВпСп = Ап, но по построению матриц В и С и по теореме 1 имеем ВпСп = А„. Следовательно, Ап = Ап, и по индукции заключаем справедливость соотношения ВС = А. Таким образом, доказана

Теорема 3. Всякую матрицу А(а^)^ бесконечного ранга, у которой главные миноры отличны от нуля, т. е. ф 0, к = 1,2,...,

В

гауссову матрицу С:

А = ВС

/Ь д О ^2 1 2

'пД ьп,2 ..

... ..

...

/С1Д С1,2 . . ^ ,п . .

0 С2 ,2 . . С2 ,п .

0 .. . Сп,п .

. ..

При этом

О

&1ДС1Д — &2,2С2,2 — 7^-, • • • , Ьп,пСп,п — л

О О„_1

(7)

А

1 2 ... к - 1 ^ . . . к к

А

А

... к

12 ... к-1 к 1 2 ... к - 1 ^

А

... к

,

. . . к . . . к

^ = к, к + 1, .. ., го; к = 1, 2, ..., го.

ВС

вольные значения, удовлетворяющие условиям (7).

Следующее утверждение важно для фактического вычисления эле-ВС

Следствие 4. Элементы столбцов матрицы B и строк матрицы С связаны с элементами матрицы A рекуррентными соотношениями:

k-i j=l

bi,k =-, ' ' /•'• г = 1, 2,..., oo, к = 1,2,..., то,

Ck,k

i-1

ai,k 6i,jcj,k j

Ci к = -;-, ' ' /•'• г = 1, 2, .. ., oo, /г = 1, 2, .. ., oo.

bi,i

Следствие 5. Если диагональные элементы i = 1,2,..., то, B

B

замечанию 1 она имеет единственную двустороннюю обратную матрицу B-1. Следовательно, исходя из (1") справедливы соотношения: AX = BCX = F и B-1 BCX = B-1F, откуда СХ = B-1F и, кроме

С

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

2. Федоров Ф. М. Замечания о гауссовых бесконечных системах линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 202-208.

3. Федоров Ф. М. К теории гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 209-217.

4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

5. Каган В. Ф. Основания теории определителей. Киев: Гос. изд-во Украины, 1922.

6. Riesz F. Les systèmes d'équations linéaires â une infinité d'inconnues. Paris: Gauthier-Villars, 1913.

7. Kvk P. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. M.: Физ-матгиз, 1960.

г. Якутск

18 ноября 2011 г.