CC BY
53УДК 512.6:519.61
АЛГОРИТМЫ РЕАЛИЗАЦИИ РЕШЕНИЙ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ф, М, Федоров, Н, Н, Павлов, О, Ф, Иванова
Пусть задана неоднородная бесконечная система линейных алгебраических уравнений
' дХ\+ ^Х2 + • • • + а±,пХп + • • • = ¡1,
а2 ,1 X + ^ ,2 X + • • • + а>2 пХ2 + • • • = ¡2,
• •'•........'.............•'.............., (1)
впДXI + Яп^Х2 +----Ь ап,пХп + • • • = ¡п,
где аг^к — известные коэффициенты, ¡1 — свободные члены и Хк — неизвестные.
Очевидно, что основной матрицей системы (1) является бесконечная матрица
Л =
/ а! д а\ ,2 а2 1 Я2 2
ап, 1 ап,2 ••
а, а,
(2)
•••
Введем некоторые специальные бесконечные матрицы, необходимые для дальнейшего изложения.
Определение 1. Если матрица Л = (а^) бесконечной системы (1) линейных алгебраических уравнений имеет элементы аг ^ = 0 для всех г > причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е.
© 2013 Федоров Ф. М., Павлов Н. Н., Иванова О. Ф.
аз,з Ф 0' 3 = 0,1,2,..., то говорим, что такая бесконечная система линейных алгебраических уравнений (1) задана в гауссовой форме.
Определение 2. Если бесконечная матрица А = (о^-) имеет элементы 04,2 = 0> ' < 3> причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е. а^ Ф 0' 3 = 0,1,2,..., то такую бесконечную матрицу называем треугольной.
Таким образом, если все элементы, расположенные под главной диагональю бесконечной матрицы А = (о^-) (о^- ф О, 3 = 1,2,...), равны нулю, то такую матрицу называем гауссовой. Если все элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую А
Введем некоторые обозначения для конечных определителей, составленных из элементов данной бесконечной матрицы А = (о^к):
Определитель (3) называется минором р-го порядка матрицы А, если 1 ^ ¿1 < ¿2 < • • • < ¿р ^ т и 1 ^ к\ < < • • • < кр ^ п. Миноры (3), у которых ¿1=^1, ¿2 = ..., ¿р = кр, называются главными.
В обозначениях (3) определитель квадратной матрицы |А = (о^к) |П запишется так:
Пусть дана матрица А = (о^к)^ бесконечного ранга. Введем следующие обозначения для последовательных главных миноров этой матрицы:
Переведем систему (1) в гауссову форму, для этого используем результаты работы [1].
ог\,к\ ог\ ,к'2
(3)
оЪр,кг огр,к2
Теорема 1. Всякую матрицу Л = (аг,к)^ бесконечного ранга, у которой последовательность главных миноров отлична от нуля, т. е. Вкф О (к = 1,2, • • •, ж), можно представить в виде произведения треугольной матрицы В па гауссову матрицу С:
О ••• \
Л ВС
(Ьх д О Ьг д Ь2,2
ЬпД Ьп,2 ••
с, с , • • • с ,п • ••
0 с , • • • с ,п •
0 •• • сп,п
• •••
при этом
^ ,1С1,1 = В, Ь2 ,2 С2 ,2 = Л ... к к
-02
■ • • , Ьп,псп,п
Вп
Б,
п
Ь],к = ь
А(12...к\ ' ~ Ск,к- л /12 ... к\
2 ... к) 2 ... к/
= к, к + 1, • • •, ж к = 1,2, • • •, Ж •
ВС ВС
Л
Л
1 2 ... к— к\ 1 2 ... з'/
(4)
(5)
Ьгк —
к-1
аг,к Ьг,з к 3=1_
Ск,к
г-
аг,к ^^ Ьг3 с3,к
сг,к —
3=1
г ^ к, г = 1,2, • • •, ж, к = 1,2, • • •, ж, (6)
г ^ к, г = 1,2, • • •, ж, к = 1, 2, • • •, ж^ (7)
Ьг,г г , , • • • ж
В
Таким образом, для однозначного определения коэффициентов Ьг,к и сг,к полагаем, что Ьг,г = 1, г = 1,2, •••. В этом случае появляется возможность преобразования формул следствия 1 для удобства вычислений по ним. А именно, в формулах (6), (7) сделаем преобразование
с целью оставить только одно неравенство, при необходимости меняя индексы. Из формул (6), (7) ясно, что при г = 1 или k = 1 суммы в формулах исчезают, в чем можно убедиться непосредственным вычислением. Следовательно,
7 «¿Д ■ ^ ,
С1,г = а 1,г, Ьц = -, г > 1,
Ci ,1
, , aiS — bi,l C1 ,2 . . „
С2Л = 0,2,i ~ 02ЛСц, bi 2 = -, « > 2,
C,
2
2 ai,3 — bi,j Cj,3
c3,i = a3,i — h,3 =---1 i 3.
- 1 Ci,3
j
Обобщая по индукции, получим
n—1
П —1 ai,n bi,j Cj,n
Сn,i — Q>n,i ^ ^ bi,n — , i П. (8)
- Cn,n
j
При i = n из формул (8) заключаем, что bn,n = 1 для любого n. Кроме того, заменяя индексы в первой формуле следующим образом: n = i, i = k, а во второй — i = i, n = k, получим соответствующие формулы следствия 1.
Бесконечную систему (1) запишем кратко:
^ ] aj,ixj — fj, j — 1,2,..., (9)
i
с бесконечной матрицей (2) A = (ai jкоторую преобразованием Гаусса переводим в систему с гауссовой формой:
Cj,j+pxj+p = bj, j = 1,2,..., (10)
p=0
или в матричной форме:
СХ = В,
где С — гауссова бесконечная матрица, X, В — столбцы неизвестных х^+р и свободных членов Ь^ системы (10) соответственно. Теперь необходимо вычислить свободные члены Ь^ системы (10) при применении преобразования Гаусса к системе (9). Поскольку матрица В треугольная, в [2] показано, что она имеет единственную двустороннюю обратную матрицу В-1. Следовательно, исходя из (9) и теоремы 1 справедливы соотношения АХ = ВСХ = Г и В-1 ВСХ = В-1 Г, откуда СХ = В-1 Г, где Г — столбец свободных членов системы (9).
Чтобы вычислить правую часть последнего матричного соотношения,
В- Г
вое неизвестное У, рассмотрим бесконечную систему ВУ = Г с треугольной матрицей В и решим ее рекуррентно: у\ = У2 = /2 — ^ ,1 У\
и так далее, по индукции получаем yn = fn - J2 bn,kVk, n = 1,2,...
где Ь„,й — коэффициенты треугольной матрицы В.
В [3] получены условия совместности неоднородных гауссовых систем вида (10), при этом существенно использован метод редукции в узком и широком смыслах [4,5]. Для решения гауссовой системы (10) изучены урезанные системы и получены их решения, например, методом редукции в узком смысле:
Если предположить, что существует предел lim Bn-j = B(j) и
n—
j
имеет место равенство
n-
k
xj — Bn-j i j — 1, 2,..., vJ:
(П)
где
(13)
Поскольку с3,3 ф 0, отсюда следует соотношение
^с3,РВ(Р) = Ь3 ■
р=3
(14)
Сравнивая выражение (14) с (10), убеждаемся, что х^ = В(3), т. е. В^) является частным решением неоднородной бесконечной системы (10).
Определение 3. Частное решение х^ = Щз) неоднородной гауссовой системы (10) будет называться строго частным решением системы (10).
Замечание 1. Очевидно, что строго частное решение В(3) является единственным таким решением гауссовой системы (10). Кроме того, если не существует строго частного решения, то неоднородная гауссова система (10) несовместна, т. е. система (10) вообще не имеет решений. Выпишем условия несовместности гауссовой системы (10). Для этого, используя коэффициенты и свободные члены системы (10), введем обозначения:
= 21
с,
Ь>3+р ~
Ь3+р
— , с'
3,3
= 1, 1 < 3 < п. (15)
С3+Р,3+Р с3,3
Из коэффициентов (15) составим бесконечную матрицу А(3):
А(з) =
с3 ,3 с с3 ,3 1 с С3+2,3+1 0 1
Сс с С3+к,3+1 С3+к,3+2
Си—2 3 Си-1,3 С . и,3 Си — 1,3+1 Си — 1,3+1 С Си—2,3+2 (С Си—1,3+2 С Си,3
\
С
и—1 ,и—2
с
"и,и—2
с
и,и — 1
(16)
А3
определитель |А(3) |. Из главных миноров определителя |А(3)1 составим определители Аи(3) п-го порядка, при этом полагая, что
А0(з) = 1, А3 = с3+1,3, Мз) =
с3 ,3
с3 ,3 с3 ,3
МЛ =
с3+1,3 1
с' с
С3+1,3 С3+2,3+1
3+3,3 С3+3,3+1 3+3,3+2
О
С'
с.
3 ,3
:3+2,3
АЛ Л) =
с;
3+2,3+1
1
С3
'3+П-1,3 С3+п-1 ,3+1 С3+п 1,3+2
С3
С'
3+",3
С3+П,3 + 1
С3+п,3+2
С3+п-1,3+п-2 С3+п,3+п-2
С3+",3+"-1
(17)
Можно показать, что определители Ар(¿) порядкар вычисляются рекуррентно:
р-1
АрМ = Е (-)р--к С3+р,3+к А^Л, АоЛ) = 1. (18) к=0 оо А ,
Пусть ряд У" ( —1)р р 3+р сходится для любого 7, при этом он
р=О
одновременно не равен нулю для всех Таким образом, выполняются условия
р=0
03+р
С3+Р,3+Р
и хотя бы для одного Л имеет место условие
ЛрЦ)Ьз+р
< <*>, ¿ = 1,2,....
В-1)р
р=0
С3+Р,3+Р
,
(19)
(20)
где Ар(Л) вычисляются по формуле (18).
Пусть неоднородная гауссова система (10) совместна. Найдем ее строго частное решение.
Теорема 2. При выполнении условий (19) и (20) неоднородная гауссова система (10) имеет строго частное решение х3- вида
-
р=0
,арц)ъз+р
С3+Р,3+Р
, ¿ = 1,2,...,
(21)
где Ар{определяются соотношением (18).
.....
По результатам теорем 1 и 2 составлена программа на ПК, реализующая решение неоднородных бесконечных систем. Для проверки предлагаемых алгоритмов и работы программы на ПК рассмотрим гауссову систему.
Пусть задана неоднородная периодическая гауссова система
XI ^ ^ 1^'хз+Р = Ъ =
p=0
№ ^ ' ' (22)
j = 1, оо, 3 = 1,2,..., b = const > 0.
В работах [4,5] получены частные решения гауссовой системы (22) в аналитическом виде:
bi
Xi =-i = 1,2,.... (23)
(2i + 1)! сЬ(а/Ь) ^ ;
Были проведены расчеты по формулам (21) и (23). При вычислении каждого Xj по (21) расчет заканчивается, когда разница между двумя вычислениями становилась по абсолютной величине меньше заданного е = 10_6: |xP+1 — xp | < е. Совпадение результатов до шести знаков после точки происходит уже при p = 14. Здесь необходимо заметить, что для задачи (22) формула (23) следует из формулы (21), как доказано в [3]. Проверка преобразования Гаусса осуществляется решением конечных систем, поскольку формула (21) верна и для конечных систем, но в этом случае верхний индекс суммы в (21) будет равен n — j. Для простоты рассмотрим следующую конечную систему четвертого порядка:
—2 x + 2x2 — 3 x + 4x4 = 1, 2xi + 2x2 + 6x3 — 7x4 = 4,
— x — x — x x ,
— x — x — x x — ,
для которой набор чисел x = —1, ^2 = 1/2, x = 2, x4 = 1 является решением.
Вычисления по разработанной программе дают те же числа. Таким образом, формула (21) в сочетании с преобразованием Гаусса дает
единственное решение, если таковое существует, системы любого порядка вплоть до бесконечного.
Замечание 2. Как показано в [6], формула (21) фактически является расписанной формулой Крамера гауссовых систем любого порядка вплоть до бесконечного.
ЛИТЕРАТУРА
1. Федоров Ф. М. Об алгоритме Гаусса для бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 133-140.
2. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М.: Физ-матгиз, 1960.
3. Федоров Ф. М. Неоднородные гауссовы бесконечные системы линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 1. С. 124-132.
4. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.
5. Федоров Ф. М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011.
6. Федоров Ф. М. О крамеровости гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, вып. 2. С. 162-170.
г. Якутск
5 ноября 2012 г.
