К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

К ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. II

Ф, М. Федоров

Статья является продолжением работы [1]. Прежде чем доказать теорему 6, отметим некоторые результаты, предшествующие теореме 6, но не включенные в [1], поэтому сохраним прежние нумерации предложений и формул.

Замечание 4. Надо помнить, что при построении метода редукции для однородных гауссовых систем вида (2) число неизвестных всегда остается на одно больше, чем число уравнений. В противном случае, т. е. когда число неизвестных равно числу уравнений, методом редукции, как было замечено выше [1], получим только тривиальное решение.

В связи с замечанием 4 можно ввести разные понятия метода редукции для решения бесконечных систем алгебраических уравнений.

Определение 4. Если при построении метода редукции для решения бесконечных систем алгебраических уравнений количество неизвестных и количество уравнений остаются одинаковыми в усеченной системе, то говорим, что метод редукции понимается в узком смысле, а если количество неизвестных остается больше, чем количество уравнений, то говорим, что метод редукции понимается в широком смысле.

Здесь и выше, например в теореме 5 из [1], метод редукции для однородных гауссовых систем понимается в широком смысле, если это специально не оговорено.

© 2008 Федоров Ф. М.

Таким образом, если к однородной гауссовой системе (2) применим метод редукции в узком смысле, то получим только тривиальное решение, а если к этой же системе применим метод редукции в широком смысле, то при выполнении условия А получим нетривиальное решение, причем бесконечно много решений и все они строго нетривиальны.

Здесь уместно вернуться к дискуссии, упомянутой выше [1], между Б. М. Кояловичем [2] и Р. О. Кузьминым [3]. Бесконечная система (1) в современном понимании является актуальной бесконечной системой, т. е. заданной одновременно или завершенной независимо от построения этих систем. В то же время многие авторы в прошлом, в том числе и Б. М. Коялович и Р. О. Кузьмин, систему (1) понимали как потенциальную бесконечную систему, т. е. полученную исходя из построения этих систем. Ответ на вопрос, при каком законе изменения числа неизвестных и уравнений получена бесконечная система

(1), и привел к яростной дискуссии между этими авторами. Выше [1] мы уже указали, что результатом этой дискуссии стало введение понятий нормальной бесконечной системы, когда число уравнений остается равным числу неизвестных при возрастании количества неизвестных и уравнений, и анормальной — в противном случае. Б. М. Коялович придерживался понятия нормальных систем, и, как он сам отмечал [2], все его результаты относятся к нормальным системам, а Р. О. Кузьмин [3], придерживаясь анормальных систем, критиковал Б. М. Кояловича за то, что его результаты неверны. Оказалось, что оба в чем-то правы и в чем-то неправы. На самом деле не система (1) является нормальной или анормальной, а дело заключается в методе решения бесконечных систем, а именно в методе редукции, в каком случае он применяется: в узком или в широком. К каким результатам приходим при этом, мы уже упомянули выше.

Следствие 5. Для любых фундаментальных решений системы

(2) независимо от выполнения условия А справедливо соотношение

XI = -яхн+1, г > 0,

(33)

где xi — компоненты фундаментального решения гауссовой системы (2), S — нуль характеристики f(x) (12) системы (2).

Таким образом, различным фундаментальным решениям соответствуют разные нули характеристики (12).

Замечание 5. Все фундаментальные решения гауссовой системы (2) являются строго нетривиальными и линейно независимыми. Действительно, из предположения линейной зависимости двух фундаментальных решений следует равенство нулей характеристики, соответствующей этим решениям, чего, очевидно, быть не может. Следовательно, все фундаментальные решения (20) образуют фундаментальную систему решений БСЛАУ (2).

После этих замечаний доказательство теоремы (6) становится очевидным.

Замечание 6. Если предел s последовательности sn, т. е. а = lim sn = —,

п^ж Xg

где xo — нуль характеристики f(x) по условию А, равен нулю, то xq = ж, следовательно, то условию А характеристика f(x) является, во-первых, аналитической функцией во всей области, во-вторых, не имеет нулей в этой же области. Если же s = ж, то xg = 0, т. е. нуль

fx

(12) характеристики f (x) коэффициент a0 равен 0, что невозможно по построению бесконечной системы (2).

fx

стоянной функцией, в противном случае нельзя построить бесконечную систему (2).

На основании замечаний 6 и 7 в дальнейшем полагаем, не нарушая общности, что ao = 1 и aj0 ф 0 хотя бы для одного jo-

Теорема 7. Бесконечная система (2) имеет только тривиальное решение тогда и только тогда, когда характеристика /(х) системы (2) не имеет нулей.

Доказательство теоремы очевидным образом следует из теорем 4 и 6.

Следствие 6. При выполнении условия А бесконечная система (2) имеет только тривиальное решение тогда и только тогда, когда в = О, где в — предел последовательности (8) [1].

Теперь перейдем к рассмотрению более общей бесконечной системы, чем система (2).

Пусть задана следующая однородная БСЛАУ в гауссовой форме: а0,0 Хо + «о д X + а0,2 X + «о ,3 X + а0,4 Х4 + ... = О «1 ,о X + «1 ,1X + «1 ,2 X + «1 ,з X + ... = О

«2 ,о X + «2 д X + «2 ,2 X + ... (34)

аз ,о X + «з д X + ... = О

В краткой записи система (34) запишется так:

aз,з+pXj+P = 0, 3 = 0,1,2,..., (35)

р=0

причем полагаем, что коэффициенты а,зз+р имеют специальный вид:

р-1

а],з+р = «з+к ^а^^ф 0 3,р = 0,1,2,...). (36)

к=0

Заметим, что для унификации обозначений в (36) можно положить

-

П аз+к = 1-к

Величины аз+к строим по определенному алгоритму из чисел а33 таким образом: сначала положим «о = ахд, а для последующих коэффициентов можно взять ак = ак+1}к+1 /ак,к, к > 0. Исходя из структур-

ры чисел заключаем, что «3,3 П а^к = «з+р,з+р. Действительно, из

к

построения аз можно записать

з— з—

а^ = а0 / ак,к) = азз.

к=0 к=1

Тем самым имеем следующую цепочку равенств:

з+р— з— З+р-1 р—

а3+р,3+р = П ак = П П ак = а3,3 П аз+к.

к=0 к=0 к=з к=0

Таким образом, подстановка последнего соотношения в (36) дает

= , „.,..........(37)

аз р,з р

Определение 5. Периодической БСЛАУ будем называть бесконечную систему (34) с коэффициентами, удовлетворяющими соотношению (37).

Теорема 8. Решения систем (2) и (34) изоморфны.

Доказательство Напомним, что краткая запись системы (2) имеет вид

У^ а,рХз+р = 0, з = 0,1, 2,.... (38)

р

Пусть х[ — любое решение системы (38). Поскольку коэффициенты в системе (34) по предположению не равны нулю, то можно построить функцию

Х

Уг= (39)

аг,г

Покажем, что числа уг являются решениями системы (35), коль скоро числа х'г будут решениями системы (38).

Подставляя уг в (35) и учитывая, что а^р ф 0, и соотношения (37)-(39), получим

/ ^

%3,3+РХз+р _

^ - ■■ ^ а., -

р р з р з р р

X аз,з+рУз+Р = X °+Р = X аРх'з+Р = ^ = 0,1, 2,...,

и тем самым показали, что числа уг являются решениями системы (35).

Пусть числа уг составляют любое решение системы (35). Тогда исходя из функции (39) обратное отображение возьмем в виде ^ = аг,г уг. Поступая абсолютно аналогично тому, как делали выше, но беря систему (38) вместо системы (35), убеждаемся, что числа ^ являются решениями системы (38).

Следствие 7. Бесконечная система (38) входит в класс периодических систем со структурой (37).

Замечание 8. В правомерности следствия (7) можно убедиться непосредственно, не используя теорему 8, полагая, что аг,г = 1.

Теорема 9. Решения периодических систем с равной характеристикой /(X) (12) изоморфны друг к другу, т. е., иными словами, существует автоморфизм между решениями этих систем.

Доказательство. Возьмем две любые периодические системы с одной и той же характеристикой /(X). Пусть эти системы имеют вид

Е-з

р

оо

аз,з+рXi+P ~ где «зз+р — араз+рз+р, 3 _ 0Д^,..., (40)

^ ^ а1.1+рxj+p ~ 0^ где — араз+рз+р, 3 _ 0Д^,..., (41)

р

ар

рактеристики /(X) систем (40) и (41).

Пусть x'i — любое решение системы (40). Составим функцию

Как и в доказательстве теоремы 8, убеждаемся, что числа XI образуют решение системы (41). Пусть X'[ — любое решение системы (41). Составим обратное отображение

а"

, _ „ хг / хг ■

аг,г

аи

X =

X'.

аг,г

Тогда, как и в доказательстве теоремы 8. убеждаемся, что числа х'г образуют решение системы (40), что и требовалось доказать.

Следствие 8. Свойства двух периодических систем различаются тогда и только тогда, когда различны их характеристики.

Теорема 10. Любое фундаментальное решение периодической системы (35) выражается соотношением

х, = г > 0, (42)

аг, г $

где ^ является некоторым нулем характернстикн /(х) системы (35).

Доказательство теоремы очевидным образом следует из изоморфизма систем (38) и (35). Отметим, что доказательство теоремы 10 можно получить и непосредственно, подставляя выражение (42) в систему (35).

Следствие 9. Для любых фундаментальных решений периодической системы (35) справедливо соотношение

хг = -загХг+1, г > 0, (43)

хг

(35), ^ — нуль характеристики /(ж) системы (35), а^ = а* — коэффициенты, входящие в выражение (36).

Действительно, выражение (42) перепишем, учитывая структуру

аг

—)г+1 х (-1)г+1 агХ0

хг = --т]- = -7x7 = 1, г > и,

аг, аг+1, г+1 вг+1

что и требовалось доказать.

В силу изоморфизма систем (38) и (35) легко доказать следующую основную теорему для периодических бесконечных систем, аналогичную теореме 6.

Теорема 11. Общим решением гауссовой системы (35) является линейная комбинация всех фундаментальных решений системы (35), т. е.

М (_Л\г

^ = » = 0,1,2,..., (44)

к=1 а^

где — нули характеристики /(ж) (12) системы (2), М — число всех этих нулей, Ск — произвольные константы.

Замечание 9. Число М может быть и бесконечным, но в этом случае потребуется необходимость исследования сходимости ряда (44).

Пример 1. Пусть задана следующая однородная периодическая гауссова система:

\ (2р + 1)! = 3 = (45)

Проверим периодичность системы (45). Поскольку коэффициенты данной системы имеют вид

_ (2] + 2р+ 1)! (2р +1)! '

то = (2] + 1)!, значит, числа авходящие в формулу (36), запишутся следующим образом:

_ (2] + 3)!

(2] + 1)!

= (2]+ 2) (2] + 3).

р-1 _

Поэтому произведение П а^к равно

к=0

П = П(23 + 2к + 2)(2з + 2к + 3) = к=0 к=0 ^ '' Таким образом, справедливо соотношение

(2] + 2р+1)! (2] + 1)!(2] + 2р+1)!

аз,з+р

(2р+1)! (2р+1)!(2] + 1)!

Р-1 Р-1

^+1)\{2] + 1)1 ПС2з + Ы + 2)№ + 2к + 3) = ара^Ц а^к,

^ Р '' к=0 к=0

1

где

р—

(9-^гм ТТ (2.7 + 2р+ 1)!

тем самым показана периодичность системы (45). Составим характеристику /(х) системы (45):

т = $>1)%** = Е^^т^-тг"- (46) р=0 р=0 ^ ^

Найдем нули ^ характеристики (46), т. е. решим уравнение

~ ~ 1 р=0 р=0

= Е(-1)Р(2р+1),5Р = 1/^5) = 0.

Отсюда заключаем, что в = вк = \/Пк2, к = 1, 2,3,.... В силу теоремы 10 любое фундаментальное решение бесконечной системы (45) будет иметь следующий вид:

= ¿ = 0,1,2,..., /= = 0,1,2,3,.... (47)

Тогда на основании теоремы 11 и формулы (47) общее решение системы (45) формально запишется так:

—.....

к=1

В силу изоморфизма систем (38) и (35) все утверждения относительно системы (2) [1] (то же, что и система (38)) остаются в силе и для периодической системы (35), в частности, имеет место

Теорема 12. Периодическая однородная бесконечная система (35) имеет только тривиальное решение тогда и только тогда, когда характеристика /(х) (12) [1] системы (35) не имеет нулей.

Следствие 10. При выполнении условия А периодическая однородная бесконечная система (35) имеет только тривиальное решение тогда и только тогда, когда s = 0, где s — предел последовательности (8) [1].

Перейдем к рассмотрению неоднородных периодических гауссовых систем:

то

J2ai'i+p xi+p = bj, j = 0,1,2,.... (49)

p=0

Поскольку система (49) является периодической, то коэффициенты системы ajj+p имеют вид (36).

Очевидно, как для всякой линейной системы общее решение БСЛАУ

(49) состоит из суммы общего решения однородной системы (35) и частного решения неоднородной системы (49). Относительно поведения

bj

Попытаемся найти частное решение системы (49) при задании сво-bj

bj = cbj, где bj+p = bjbp, c = const, j = 0,1, 2,.... (50) Теорема 13. Периодическая система (49) со свободными членами

(50) всегда имеет частное решение, которое задается формулой

Xi = -, (51)

ai,i

где

В* = , (52)

apbp

p

если только ряд в (52) сходится и не равен нулю.

Доказательство. Действительно, подставляя (51), (52) в (49), с учетом (36) и (50) имеем

то 7 ^ т л* то „I I и*

^ ^ cbiB* ^ ^ cbj+pB* ^ ^ (ip(ij-^p>j-^pcbjbpB*

^= Е ч^^гт = Е ^^

i=j a%,% p=0 a]+p,j+p p=0 a]+p,j+p

= cbjB*^^ apbp = cbj = bj,

p

что и требовалось доказать.

Теперь попытаемся решить неоднородную гауссову систему в более общем виде (35) методом редукции в его широком смысле. Согласно этому методу бесконечную систему (35) урезаем до конечной так, чтобы число неизвестных было на единицу больше, чем число уравнений. Для таких конечных систем в работах [4, 5] получены следующие результаты.

Теорема 14. Пусть задана следующая конечная СЛАУ

п—з

X (1З,З+РхЗ+Р = Ъ31 азз Ф °> 3 = 0, п — 1. (53)

р=0

Тогда неизвестные хг выражаются через хп следующим образом:

п—г

х1 = Вп-1 + (-\)п-1хп\\_зр, г = 0, п — 1, (54)

р

где

з—

ап—з,п—з ап —1 ,п — 1

ВЬп-П \ л &п — 1,п — р 7-) 7-) ^п —1 • 7Т- /ГГ\

з = --— Вр, В1 = --, з = 2,п, (55)

р

вз =

Е-

, _ р—1 '

ап—з,п—з -р-т

ап—з,п—з Ц вз — к (55)

к=1 у '

«1 =-, 3 = 2, п.

ап — 1 ,п — 1

Следствие 11. В системе (53) соседние неизвестные связаны друг с другом следующим образом:

хн = Вп-1 + - г = 0, п - 1. (57)

Замечание 10. Очевидно, что если Ьз = 0, то и Вз = 0, следовательно, получаем соответствующую теорему для однородной СЛАУ. Таким образом, в этом случае формула (57) будет соответствовать однородной системе, ассоциированной с неоднородной системой (53).

п—з,п — з

Замечание 11. Систему (53) можно рассмотреть двояко: во-первых, как самостоятельную конечную систему, во-вторых, как урезанную от бесконечной системы (35).

В последнем случае, естественно, вместо хг подразумеваем их при-

^ п п

ближенные значения хг и для простоты, предполагая, что хг = IIт хг,

и—

опускаем верхний знак. В этих терминах выражение (57) примет вид

Xi = lim Bn-i+ lim (sn-iBn-i-г) - ( lim sn-i)xi+1, i = 0, oo. (58)

n—n—n—

Таким образом, исследование разрешимости бесконечной системы (35), точнее исследование сходимости метода редукции в широком понимании, сводится к изучению сходимости соответственно пределов (55) и (56), которые можно переписать в виде

b n-j — b = J2 ^^Вр> = (59)

aj,j aj,j an-l ,n-l

_ Чз+i

Ъп, — п -

n j ( 1 ^^ Qjj,j^-p an — 1 ,n

П-3- -^Е р-1 > = , = 0^2. (60)

03,3 р=2 рг ап-1 ,п — 1

0З,З Н 3п—] — к к=1

Пусть теперь гауссова система (53) является периодической, а свободные члены Ъу имеют вид (50).

Для унификации обозначений будем считать, что

—

®0 = ^ П ^З+к = 1, Ъ0 = 1.

к

Теорема 15. Если коэффициенты о,зз+р н свободные члены Ъз системы (53) соответственно иредставимы в виде (37) и (50), то решение конечной системы (53) имеет вид

с ^ (-1 У+Ч^з /Ьп_<+3- у у \ (-1)^0

0г,г т-г - V ьп—г+з / у-т _ _

11 Яп—г+к П 0г — к вп—г+к

кк

(61)

где

К-з = 1-Х арЪрЬп-з-р, Ь = 1, (62)

р=1

^ (-1 У+1ар __, ч

8п-з = + —-, = 01, 3 = о, п - 2. (63)

р=2 П Зи-з-Н к=1

Теорема 16. При выполнении условия А решение периодической БСЛАУ (49) со свободными членами (50) может быть получено методом редукции в его широком понимании и это решение задается формулой

-1 еБ* , , ^ -1 )Х

Ъ = —- - + (-!ГЧ +Н^' г = 0,1, 2,..., (64)

аг,г / $ аг,г

где Б* определяется выражением (52), если только ряд в (52) сходится и не равен нулю и1/« является минимальным по модулю нулем характеристики /(х) системы (49).

Доказательство теоремы 16 приведено в работе [5] и получено методом редукции с предельным переходом.

Таким образом, метод редукции в его широком понимании сходится к решению периодических БСЛАУ вида (49) с условиями, указанными в теореме 16.

Проанализируем решение (64) и для этого перепишем (64) в следующем виде:

+ , = 0>1>2>.... (65)

В силу условия (50) второй член в (65) совпадает с выражением (51), т. е. является частным решением неоднородной системы (49), а третий член в (65) по теореме 10 является фундаментальным решением приведенной системы, ассоциированной с системой (49). Как легко видеть из третьего члена в (65), первый член в (65) является частным значением фундаментального решения приведенной системы при

X = -еБ*. Резюмируя вышесказанное, заключаем, что выражение является решением неоднородной периодической бесконечной системы

(49) со свободными членами (50).

^ _

В дальнейшем изложении будем полагать, что ряд ^ арЬр сходит-

р

ся и не равен нулю.

Теорема 17. Метод редукции в его широком понимании сходится к решению (51) периодических БСЛАУ вида (49) тогда и только тогда, /х

Доказательство теоремы очевидным образом следует из теорем 12 и 16.

Следствие 12. При выполнении условия А метод редукции в его широком понимании сходится к решению (51) периодических БСЛАУ вида (49) тогда п только тогда, когда в = 0, где в — предел последовательности (8) [1].

Теорема 18. Метод редукции в его узком понимании сходится к решению (51) периодических БСЛАУ вида (49) со свободными членами

(50).

Доказательство. В соответствии с методом редукции в его узком понимании периодическую систему (49) урезаем до конечной системы с одинаковым числом неизвестных и уравнений п + 1, т. е. рассматриваем конечную систему вида

п-3

X Лз,з+Рхз+Р = Ъ31 азз Ф °> 3 = 0, п. (66)

р

Конечную гауссову систему (66) решаем по методу, предложенному в работах [4,5]. В соответствии с этим вводим следующие обозначения. Последнее уравнение системы (66) дает

хп = Вл, где Вл = ——.

а

п.п

Из предпоследнего уравнения системы (66) имеем

_ д _ ап-1,п д

Хп-1 — —---±>1-

оп — 1 ,п —1 оп—1 ,п — 1

Продолжая таким образом, получим аналогичное выражению (55) соотношение

Ъ п—З Ъ

= В1 = — > 1 = 0^=1. (67)

О з З О З З ^^п

р=1

jj p=l jj Отсюда, введя обозначение

Bn—j+i — ——Bn-j+i

и учитывая периодичность системы (49) и вид свободных членов (50), получим

п - bj h aj,j

где

n-j

bn—j+i = 1 — apbpbn+l-j—p- (68)

p=i

Исходя из выражений (52) и (68), заключаем, что

м

lim y^apbpiЬм+1— p — B*) = 0.

м

p

Следовательно, введя обозначение

ьм+1— p — В* = В'м+i—p,

имеем

M M M+m

apbpB M+1—p — apbpB M+m+1— p — apbpB M+ m+1— p

p p p

< е.

Отсюда для достаточно больших М очевидным образом следует, что \вм+1—р — В'м+т+ 1—р \ < е

или, что то же,

3*

lim Ъм+i—v — B*.

М^ж 1

Следовательно,

1- n bi z bi

lim x = - lim ом+1-р = -

п^ж ai,i М^ж ai,i

что и требовалось доказать.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.

2. Коялович В. М. Об основных понятиях теории бесконечных систем линейных уравнений // Уч. зап. пед. ин-та. Л., 1937. С. 83-99.

3. Кузьмин Р. О. Об одном классе бесконечных систем линейных уравнений // Изв. АН СССР. 1934. С. 515-546.

4. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

5. Федоров Ф. М., Осипова, Т. Л. О решении неоднородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып 1. С. 106-115.

г. Якутск

17 декабря 2007 г.