К теории бесконечных систем линейных алебраических уравнений. III Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

К ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Ill

Ф, М. Федоров

Статья является продолжением работ [1,2]. Сохраним прежние нумерации предложений и формул.

Замечание 12. Вопрос определения частного решения для более общих случаев свободных членов bj неоднородной периодической системы (49) остается открытым.

Замечание 13. Очевидно, в силу изоморфизма решений систем (2) и (35) функция /(ж) (12) является характеристикой также и для периодической системы (35).

Рассмотрим пример решения неоднородной периодической бесконечной системы.

Пример 2. Пусть задана следующая неоднородная периодическая гауссова система:

= i = 0, оо, 6 = const > 0. (69)

p=0 ^

Проверим периодичность системы (69). Поскольку коэффициенты данной системы имеют вид a.j,j+P = , то ajj = (2j + 1)!, следовательно, числа 5j, входящие в формулу (36), останутся такими же, как

p-1 _

и для примера 1. Поэтому произведение П a,j+k равно

k=о

П(2, + 2к + 2)(2, + 2к + 3) =

© 2008 Федоров Ф. М.

Таким образом, справедливо соотношение

№ + 2р+1)\ _ №+1)\& + 2р+ 1)!

аз,з+р ~

(2р)! (2р)!(2? + 1)! р— р-1 (2з + 1)! П(2з + 2к + 2)(2з + 2к + Ъ) = ара^Ц а^к,

р

у 1 ' к=0 к=0 где

1 ТТ- (2.7 + 2^+1)1

Яр = Ш-' = + 1\а*+к= (2,?+ 1)1 '

тем самым показана периодичность системы (69).

Очевидно, Ъ>+р = Ъ°Ьр, т. е. для свободных членов системы (69) выполняется соотношение (50). Учитывая, что Ър = Ър, рассмотрим ряд

сю 00 ур

рр

Следовательно, имеем

В* = —!-

арЪр

р

сЬ(л/Ъ)'

Согласно теореме 13 частным решением системы (69) служит выражение

Ъ'В* Ъ

ж» = —— = -=-, г = 0,1,.... (70)

ам (2г +1)!сЬ(лД)

Проверим является ли выражение (70) решением системы (69). Подставляя (70) в систему (69), получим

^ (2р)\(2з + 2р+ 1)! сЬ(а/Ь) ^ (2р)! сЬ(^Ь)

т. е. действительно выражение (70) служит решением системы (69).

В соответствии с теоремой 18 метод редукции в его узком понимании для бесконечной системы (69) сходится к решению (70).

Согласно общей теории линейных уравнений для нахождения общего решения неоднородной системы (69) необходимо найти общее решение однородной системы, ассоциированной с системой (69), т. е. системы (69) с нулевыми правыми частями.

В силу теорем 10 и 11 необходимо найти нули характеристики периодической системы (69).

Составим характеристику /(ж) системы (69)

ОО ^

f{x) = ]T(-lf о^ = ]T(-lf (71)

p=0 p=0 ^

Найдем нули ^ характеристики (71), т. е. решаем уравнение f(l/s) = = cos(l/v/7) = 0.

Отсюда заключаем, что s = sk = 4/n2(2k + I)2, к = 0, ±1, ±2,....

В силу теоремы 10 любое фундаментальное решение приведенной системы (69) будет иметь следующий вид:

х\ = - ^ + l)!22i^ ' = 0,1,2,..., к = 0,1, 2,3,.... (72)

Тогда на основании теоремы 11 и формул (70) и (72) общее решение неоднородной системы (69) запишется так:

^ (2г + 1)!22г (2i + 1)! ch(y/b)' ^

где Ck — произвольные постоянные. Случай M = ж требует дополнительного исследования.

Относительно рассмотренного примера 2 сделаем следующее существенное замечание.

Замечание 14. Существующими методами исследования бесконечных систем невозможно решить систему примера 2, хотя бы потому, что

2^\ai>i+p\ = -/2З1-= 0° Y? = 0,1,2,...,

кроме того, свободные члены Ъ^ = Ь могут быть не ограничены в совокупности, скажем, при Ъ > 1.

Далее исследуем периодические бесконечные системы, характеристика которых является многочленом (полиномом) ш-й степени.

В данном случае рассматриваемая однородная периодическая система будет иметь вид

где коэффициенты а^+р удовлетворяют условиям периодичности (37), т. е. а^+р = ара2+р^+р. Следовательно, характеристика /(ж) данной

ш

Как видим, каждое уравнение системы (74) содержит только конечное число неизвестных, а характеристика системы /(ж) является конечной суммой и именно эти обстоятельства обуславливают отдельное расссмотрение систем такого вида.

ар

довательность определителей А„(ш) подобно последовательности (10), при этом при п ^ ш последовательность будет такая же, как и (10), а при п > ш имеем последовательность определителей п-го порядка:

т

аэ,э+рхэ+р = = 0, оо, то > 1,

р

(74)

т

(75)

р

а

аа

0 1

о о о о

о о о о

(76)

о о о о

о о

а

аа

Кроме того, можно составить последовательность (9), которая для

характеристики (75) будет выгледеть следующим образом:

ах + р_1 -—, если п ^ то,

р=2 п

«п(т) = <

< 11Р-1

а1 + р_1 -—, если п > то,

Р=2 п

где = а1, ао = 1.

В дальнейшем нас будет интересовать поведение последовательности в„(ш) при п ^ < поэтому достаточно рассмотреть второе соотношение в последнем выражении:

После такого уточнения последовательностей в„( ш) и определителей А„(ш) вышеизложенная теория периодических систем остается в силе и для систем (74). Вместе с тем можно указать некоторые результаты, присущие только системам типа (74).

Теорема 19. Периодическая однородная бесконечная система (74) всегда имеет хотя бы одно фундаментальное решение, а в общем случае ш

Доказательство теоремы очевидным образом следует из того, что при ш характеристика (75) имеет хотя бы один нуль, а в общем ш

с замечанием 5 система (74) имеет соответствующие фундаментальные решения.

Пусть однородная система (74) является приведенной для некоторой неоднородной бесконечной системы.

Замечание 15. Для таких неоднородных бесконечных систем все вышеприведенные результаты касательно неоднородных систем остаются верными.

(77)

Р=2 П *п-*(ш)

Замечание 16. Неоднородная бесконечная система, для которой система (74) является приведенной, не может иметь единственного решения.

В силу конечности суммы в разложении характеристики /(ж) (75) в степенной ряд для исследования сходимости метода редукции в его широком понимании для системы (74) можно не использовать условие А, которое необходимым образом используется, когда характеристика /(ж) является рядом.

Прежде всего преобразуем характеристику (75) следующим образом:

/(ж) = (-1 )тат^Г{~1Г+Рар*Р = ("1 Гатф)

п am

p=0

m

— ( 1) "'п/ ^ ^ (IpX p

где ap = (-1)pam-p/am-

Очевидно, нули функций /(ж) и ^(ж) совпадают. Если черточки над коэффициетами в разложении функции <^(ж) опустить, то будем иметь

m

у (ж) = ap жm-p = ^ж^ ^ж™-1 + ••• + am—ж + ат, ao = 1. (78) p

Ясно, что в случае ряда такое преобразование неосуществимо. При выполнении условия А, как показано выше, процесс (77) сходится для коэффициентов многочлена (75), если его рассмотреть как ряд. Для коэффициентов многочлена (78) сходимость процесса (77) изучена в работе автора [3], поэтому приведем только основные результаты без доказательств. Доказательства аналогичны доказательствам соответствующих утверждений работы [3], но с учетом того, что в определителях (76) под коэффициетами aj подразумеваются коэффициеты

(-1 )Ч.

Из последовательности (Ап( ш)} можно составить последовательность

- I \ Ап(т)

«п(т) = --—. (79)

Ап-1 (ш)

Теорема 20. Пусть характеристика (75) (то же, что и (78)) имеет только вещественные корни, причем наибольший по модулю корень единственный. Тогда последовательность (79) сходится и справедливо равенство Ит 5„ = Л,-0, где |Л,0 | = тах |Л,|, . пробегает все корни.

п—,

Следствие 13. Если последовательность (79) расходится, то характеристика (75) имеет либо комплексные корнп, либо несколько вещественных корней, имеющих максимальные модули.

Следствие 14. Если для некоторого фиксированного п = щ определитель АПо (ш) равен 0, то характеристика (75) имеет либо комплексные корпи, либо несколько вещественных корней, имеющих максимальные модули.

Теорема 21. Пусть характеристика (75) имеет комплексные корнп. Тогда последовательность (79)

1) сходится, если тахр, < тах |Лк | = |Лко причем Лко являет-

, к

ся единственным вещественным корнем, имеющим максимальный модуль,

2) расходится, если тахр, > тах|Лк| = |Лко |, где р, — модуль

, к

.7-го комплексного корня, Лк — вещественные корнп, индексы . и к пробегают соответственно комплексные н вещественные корнп.

Следствие 15. Если характеристика (75) имеет только комплес-ные корни, то последовательность (79) расходится.

Теорема 22. Последовательность (79) можно преобразовать к вп-

ДУ

Ап( ш) т

«п(т) = ---—- = в„(т) = - > -

Д.. т (<т \ < ^

К ! Р=2 П *п-к(ш)

к

если п > ш;

- / ч Ап{т) \ -

«п(т) = ---—- = в„(то) = - у ■

А.. I т I г ^

А„_1 (ш) ^Р-1

" и 7 р=2 П вп-к(ш)

к=1

если ^ ш, ГДе = —01 •

Теорема 23. Для периодической системы (74) с характеристикой (75) при выполнении условий теорем 20 и 21 метод редукции в его широком понимании сходится.

Доказательство теоремы очевидным образом следует из теорем 22, 20 и 21.

Следствие 16. Если характеристика (75) имеет только комплес-ные корни, то метод редукции в его широком понимании не сходится.

В заключение рассмотрим сначала примеры применения последо-

ш

т. е. для решения полиномиального уравнения второй степени, а затем несколько примеров решения периодических систем типа (74) с полиномиальной характеристикой (75).

Пример 3. Пусть задан следующий полином второй степени (ш = 2):

/(ж) = 2 - 7ж + 3ж2 = 2 - ^х2^ . (80)

Найти минимальный и максимальный по модулю нуль функции /(ж). Решение. В данном случае процесс (77) будет иметь вид

йп = --—, в! = а\. (81)

«п-1

/ж

В этом случае ао = 1, = 7/2, ^ = 3/2 и

7 3 7

вп = 7Т---, *1 = -. (82)

2в

п-1

Р

Вычисления по алгоритму (82) убеждают нас, что lim sn = 3. На

n—

основании теоремы 3 число щ = 1/s = 1/3 является минимальным по модулю нулем функции /(ж). Легко убедиться в том, что число 1/3 действительно является нулем функции /(ж).

Теперь функцию /(ж) будем рассматривать как многочлен, заданный в виде

9 ( 9 7

/(ж) = Зж" — 7ж + 2 = 3 Ii" — — ж + Тогда имеем ао = 1, ai = 7/3, = 2/3 и

7 2 7 /оо\

-, «1 = 0- (83)

3 3sn-i з

Вычисления по алгоритму (83) убеждают пас, что lim sn = 2. На ос-

n—

новании теорем 22 и 20 число s = 2 является максимальным по модулю /ж /ж

/ж

Данный пример показывает, что процесс (81) может быть исполь-/ж

/ж

/ж

ются в прямом порядке, а во втором случае — в обратном порядке, но в обоих случаях с учетом приведения первого коэффициента к еди-а

сительно метода редукции в его широком понимании, когда он применяется для решения периодической бесконечной системы, имеющей характеристику-многочлен. Если в алгоритме (81) коэффициенты раз/ж

ствующий метод редукции можно называть прямой редукцией, а если в обратном порядке, то — обратной редукцией. Очевидно, в случае, /ж

зуется только прямая редукция.

Покажем принципиальную возможность получения точного значения нуля многочлена /(ж) с помощью алгоритма (81) на основе решения следующего примера.

Пример 4. Пусть задан многочлен /(ж) = ж2 — ж — 1. Найти максимальный по модулю нуль функции /(ж).

Решение. Если положить Ао = А = 1, то последовательность определителей Ап будет хорошо известной последовательностью Фибоначчи:

Ап = Ап-1 + Ап-, (84)

т. е. Ап = Ап(2) = где — числа Фибоначчи.

Последовательно подставляя соотношение (84) в себя, можно показать, что [4]

[(п-1)/2] [(п-2)/2]

Ап = сп-1-ка + Е сп^-к к=0 к=0

Где — целая часть г и Ск — биномиальные коэффициенты. Поскольку известно [5], что

[»/2] _ _

^ С%_кхк = 2-п~1(1 + 4ж)-1/2[(1 + а/ГТ4ж)п+1 - (1 - а/ТТ4ж)п+1],

к

то

_ (1 + У5)" - (1 - У5)" (1 + VI)"-1 - (1 - VI)"-1 2™ а/5 2й"1 Л/5

Следовательно,

Ап _ (1 + V5 У

Ап-1 2(1 + V5)"-1

1 _ Л-У^У . __

У1 + У5У ^ 1+V5 (1 + У5)"

1 _ fl^vl)™-1 + _2__2(1-У5)"~2

V1 + V57 1 + V5 (1 + V5)"-1

тогда lim s„ = таким образом, по теореме 20 получим точное

n—

значение максимального по модулю нуля функции /(ж).

Для численного решения (81) дает

ап = Н--—, si = 1.

Sn-l

Как нетрудно видеть, последнее выражение представляет собой цепную дробь, a sn является подходящей дробью [6].

Уместно заметить, что данный пример рассмотрен в работе автора [3], но, к сожалению, там допущена описка, хотя она на окончательный результат не влияет.

Перейдем к примерам решения бесконечных периодических систем с полиномиальной характеристикой m-й степени. Сначала остановимся на самом простейшем примере, когда m = 1.

Пример 5. Пусть задана следующая неоднородная периодическая гауссова система:

1

^2aj,j+Pxj+P = V> i = 0, 00, (85)

p=0

где a,j,j+p = apaj+p,j+p, ao = 1, ai = a, a2 = a = • • • = 0, a = const, b = const.

Решение. Поскольку для свободных членов bj системы (85) выполняется соотношение (50), то на основании теоремы 13 частное решение неоднородной системы (85) имеет вид

ь®В 1 , , , п

Xi = -, где В =--1 + ab ^ 0.

aj,j 1 + ab

Чтобы найти общее решение системы (85), необходимо определить фундаментальные решения приведенной системы, если они существуют. Для этого найдем нуль характеристики /(ж) = l + ax системы (85). Отсюда определим единственный нуль жо функции /(ж): жо = —1 /a, и на основании теоремы 3 имеем s = —a. По теореме 10 единственное фундаментальное решение запишется так: = (—)i/aijjai, таким образом, в соответствии с теоремой 11 общее решение периодической системы (85) можно выписать в виде ( — 1)® b®

Xi = -+---- Vaj i ф 0, 1 + ab ф 0, г = 1, 2 .... (86)

a®,® a® aj,j(l + ab)

где С — произвольная константа.

Подставляя выражение (86) в левую часть системы (85), легко убедиться, что оно действительно является искомым решением системы.

Очевидно, метод редукции в его широком понимании сходится для системы (85).

Рассмотрим примеры, когда характеристика периодической системы является многочленом второй степени, т. е. т = 2.

Пример 6. Пусть задана периодическая однородная бесконечная система, характеристика которой есть функция /(ж) примера 3. Найти общее решение данной системы.

Решение. Здесь исходная система имеет вид

2

лз,з+рхз+р = °> 3 = 0Г°°, (87)

р=0

где

ОЗз+р = ОрО^р^р VajJj ф 0, ар = 2, ^ = 7, ^^ = 3, аз = 04 = • • • = 0.

Исходя из примера 3, заключаем, что нулями характеристики /(ж) = 2 — 7ж + Зж2 являются числа 1/3 и 2, тогда соответственно величина в будет иметь два значения: в = 3 и в = 1/2. Следовательно, на основании теоремы 10 будем иметь два фундаментальных решения:

_ (~1)^ж0 _ _ (~1)»ж0 хг — , У г — „г '

Если допустить, что коэффициенты аз,з в совокупности ограничены, то первое фундаментальное решение будет неограниченным, а второе — ограниченным.

На основании теоремы 11 искомое общее решение системы (87) будет

(_1ут (-1Г

Хг = С0--Ь Сг-

СС

Пример 7. Пусть задана периодическая однородная бесконечная

/ ж — ж ж

Найти общее решение данной системы.

Решение. Здесь исходная система также имеет вид (87), при этом ао = 13, а1 = 4, а? = 1, аз = ^ = • • • = 0. Нулями характеристики / ж — ж ж

числа 2 — 31 и 2 + Зь Тогда соответственно величина в будет иметь два значения: в = 1/(2 — 31 и в = 1/(2 + 31). Следовательно, на основании теоремы 10 будем иметь два сопряженно-комплексных фундаментальных решения:

_ ( — 1)к(2 — 31)к (1) _ (~1)к(2 + 31)к

Хк — ) Жд, — , К > и.

ак,к ак,к

ак,к

чены, то, очевидно, оба фундаментальные решения будут неограниченными. На основании теоремы 11 искомое общее решение системы примера 7 будет в виде

^ (-1)^2-31)й , ^ (~1)к(2 + 31)к

Хк — --Ь 01-,

ак,к ак,к

СС

Заметим, что, хотя коэффициенты линейной системы являются вещественными числами, решения системы могут быть комплексными, кроме того, на основании следствия 15 обратная редукция не сходится. После приведения первого коэффициента ао для характеристики /(ж)

а/

а/

получим в1 = 0,31, в2 = 0,06, вз = —1,02, в4 = 0,38, = 0,11, ве = —0,41, в7 = 0,49, = 0,15, вд = —0,2 и т. д. Эти вычисления убеждают нас, что прямая редукция тоже не сходится. Таким образом, метод редукции в его широком понимании для решения данной периодической системы не сходится.

Рассмотрим примеры, когда характеристика периодической системы является многочленом третьей степени, т. е. т = 3.

Пример 8. Пусть задана периодическая однородная бесконечная система, характеристика которой есть функция /(ж) = 3—3ж + ж2 — ж3. Найти общее решение данной системы.

Решение. Здесь исходная система имеет вид з

Е аз,з+рхз+р = °> 3 = 00> (88)

р=0

где ао = 3, ^ = 3, а2 = 1, аз = 1, ^ = = • • • = 0.

Нулями характеристики /(ж) = 3 —Зж+ж2 —ж3, очевидно, являются одно вещественное число, равное 1, и два сопряженных комплексных числа — а/31 и Тогда соответственно величина в будет иметь три значения: в = 1, в = — 1/а/31 и в = 1/а/31. Следовательно, на основании теоремы 10 будем иметь одно вещественное и два сопряженно-комплексных фундаментальных решения:

_ (-1)4. (1) _ (УЗ^жр, (2) _ (-1)*(У31)*хо

жк — , Жд — , Жд — , к и.

ак,к ак,к ак,к

На основании теоремы 11 искомое общее решение периодической системы (88) будет

ж к = Со~—■—Н С\——-—Ь С2

ак,к ак,к ак,к

где С, С и С — произвольные постоянные.

В данном случае процесс (77) будет иметь вид аа

«п = а\---—I--, п > 3, в! = ах, (89)

вп-1 вп-1 вп—2

в

После приведения первого коэффициента ао характеристики /(ж)

аа

/ а /

тов, убеждаемся, что процесс (89) сходится, следовательно, сходится и прямая редукция для данной системы. Вычисления по алгоритму (89)

для обратной редукции убеждают нас, что она не сходится. Это легко подтверждается и теоремой 21, так как | ± л/31| = а/3 > 1.

В заключение отметим, что многочисленные примеры применения бесконечных систем, в частности периодических, для решения прикладных задач математической физики отражены в работе автора [4], кроме того, необходимо подчеркнуть, что предложенная теория периодических бесконечных систем значительно обогащает общую теорию бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.

2. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 125-140.

3. Федоров Ф. М. О новом подходе изучения вещественных корней полномиального уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 105-113.

4. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

5. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

6. Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Физматлит, 1961.

г. Якутск

21 апреля 2008 г.