О связях бесконечных систем линейных алгебраических уравнений с некоторыми математическими структурами. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

О СВЯЗЯХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕКОТОРЫМИ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ СТРУКТУРАМИ. I

Ф, М. Федоров

1. Введение. Пусть задана последовательность вещественных чисел

ао, ®1, ®2,..., Яр,.... (1)

О структуре этой последовательности пока не говорим. При определенных условиях на последовательности (1) можно построить аналитическую функцию

/(ж) = ао — а1Ж + агж2 — • • • + ( —1 )раржр + • • • = —1 )раржр (2)

р=0

и ее

обратную функцию

*ж) = /ж (2'>

и, кроме того, можно поставить задачу определения нулей функции /ж

/ж) = Е РарЖР = 0. (3)

р

Очевидно, если для всех р > п имеем ар = 0 для некоторого п, то вместо (2) получим многочлен п-й степени, а вместо (3) — алгебраи-п

переменных у = 1/ж, получим следующее алгебраическое уравнение п

а0у" — ^у"-1 + • • • + ( —1)пап = 0. (3')

© 2006 Федоров Ф. М.

В этом случае можно построить конечно-разностное (возвратное, рекуррентное) уравнение

«оК-и - ахУп+г-х + а2Уп+1-2-----Н (-1)папУг = 0, (4)

для которого уравнение (3') является характеристическим.

Из последовательности (1) можно составить следующую однородную бесконечную систему линейных алгебраических уравнений в гауссовой форме [1]:

+ ахХх + о^хъ + + а^х^ + .. . = О,

а$хх + + + азХ4 + .. . = О,

+ + «2Х4 + . . . = 0, (5)

аохз + а1х4 + . . . = О,

На основании последовательности (1) можно построить последовательность

р- 1

а],з+р = Уа.^ ^ О = 0,1,2,... ), (6)

к=0

причем последовательность а^ строим следующим образом: сначала положим «о = ах д, а для последующих коэффициентов можно взять

ак = ак+1,к+1 /ак,к, к > 0. Заметим, что для унификации обозначений

-

в (6) можно положить П а^+к = 1 и ао = 1, поэтому, не нарушая

к

а

Наряду с бесконечной системой (5) рассмотрим бесконечную систему

ао,охо + а0дхх+ а0,2хг + а0,зхз + а0дX + .. . = о, а1 дхх + ^,2хг + ^,зхз + ^дх4 + ... = 0,

аг,2^2 + ^,зх + ^дх± + ... = 0, (7)

а , х а , х . . . ,

с коэффициентами вида (6).

Исходя из последовательности (1) можно построить другую последовательность

«1 = «1,

«и = «1

(-1)

р-1

Р=2 П «и-к к=1

р

п = 2, оо,

(8)

п

«1 1 О

«2 Я1 1

«3 «2 «1

О ...

А0 = 1, ^1=«!, А2 =

«1 1 «2 0,\

А =

, Аи —

Я2

«и-1 «и

1

Яи-2 «и-!

1

«и-3 Я'и-2

О

0

1

«1

(9)

В данной работе исследуем некоторые связи между этими математическими структурами, а также укажем связь этих структур с дифференциальными и интегральными уравнениями.

2. Решение алгебраических и реккуррентных уравнений. Метод Бернулли. Разложение обратной функции в степенной

ряд. Последовательность У = <^(г) (г = 0,1,2,...), члены которой удовлетворяют конечно-разностному уравнению (4), называется решением этого уравнения. Для построения решения У достаточно задать п его начальных значений У), V,..., Уи^; остальные члены Уи, Уи,+1 шаг за шагом можно определить из уравнения (4).

Теоретическим обоснованием метода Бернулли служит следующая теорема [2].

Теорема 1. Пусть алгебраическое уравнение (3') имеет единственный наибольший по модулю корень у\. Тогда отношение двух последовательных членов У4+1 п У решения конечно-разностного уравнения (4) стремится, вообще говоря, к пределу, равному у\, т. е.

У+1

1ш1 —— = уг.

г—У,-

Обобщение метода Бернулли изложено в работах [3,4], основная идея которого высказана в [1]. Для уравнения (2) прямое применение метода Бернулли не проходит, поэтому в [3,4] предложено его обобщение.

В указанных работах [3,4] последовательность определителей (9) названа характеристической последовательностью уравнения (3) и получены достаточные условия сходимости последовательности (8).

УСЛОВИЕ 1. Пусть степенной ряд (2) абсолютно сходится в |х| < г > 0, где г — радиус сходимости ряда (2), и пусть существует ближайшая к пулю точка х та вещественной оси такая, что |хо | ^ г и /(хо) = 0, т. е. удовлетворяется уравнение (3), причем полагаем, что в области х ^ |хо | функция /(х) не имеет других (комплексных) нулей.

Теорема 2. При выполнении условия 1 обратная функция <р(х) (2') в области х < |хо | разлагается в абсолютно сходящийся степенной ряд

К ряда (10) равен |х01, т. е. К = |х01.

УСЛОВИЕ 2. Пусть последовательность {ар} такая, что Ап ф 0 для любого натурального п.

Следующая теорема дает условия сходимости последовательности (8) и законности предельного перехода в нем.

Теорема 3. Пусть коэффициенты аг удовлетворяют условиям 1, 2 |х |

/(х) в области х ^ |хо |. Тогда существует предел последовательности (8), верно равенство

(10)

Ап

N = 1—г, где Ит Зп = в, |х0 |

и возможен предельный переход под знаком суммы в выражении (8), т. е. имеет место равенство

* = + J— р• (ii)

р=2

В соответствии с уравнением (2) конечно-разностное уравнение (4) запишем в виде

n

Vn = X) (_J) PapVn-p (12)

p=i

с начальным значением ^ = ао = 1. В отличие от уравнения (4), где n ИМеет фиксированное значение, в уравнении (12) n нарастает шаг за шагом.

Теорема 4. Характеристическая последовательность (9) является решением конечно-разностного уравнения (12), т. е. V = A.

Утверждение теоремы легко доказывается разложением определителя An в (9) по первым строкам.

В работах [3,4] показано, что sn = Aj4rti. Следовательно, на основании теорем 3 и 4 получаем

1- Vn ^ (_1)р— ар

iim sn = hm —-= iim —-= s = ai + > -——-, (13)

n^TO n^TO An-1 n^TO Vn 1 ' sp 1

p=2

т. e. 1/s является единственным наименьшим по модулю корнем уравнения (2).

Замечание 1. Таким образом, для уравнения (3) имеем аналогичный теореме 1 результат. Последнее является основанием называть предложенный способ решения уравнения (3) обобщенным методом Бернулли.

Для конечного уравнения (3') обобщение метода Бернулли осуществляется следующим образом. В данном случае вид определите-

n

уравнения (3'), т. е. Л^ = ЛДп), при этом для г ^ п они остаются теми же, что ив (9), а для г > п записываются так:

Лг{ п) =

а 1 .. . 0

а а .. . 0

ап ап-1 ап- . . . 0

0 ап ап- . . . 0

0 0 .. .а 1

0 0 .. .а а

(14)

Заметим, что на пересечении у-й строки и у — п+ 1-го столбца определителя (14) стоит элемент ап, где п ^ у ^ г.

Как показано в работе [3], характеристическая последовательность (9) с учетом (14) удовлетворяет конечно-разностному уравнению (4), а последовательность (8) имеет вид

8г = а

™ (—ур-ор

р-1

Р=2 П 8-к к=1

г>п

р-

81 = а

—

ар

р-1

Р=2 П 8^к к

г ^ п, = а!, г = 2, то.

Тем самым завершается обобщение метода Бернулли.

3. Решение бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.

Теорема 5. Решения систем (5) н (7) с коэффициентами а..+р вида (6) эквивалентны в том смысле, что исходя из решения системы (5) можно построить решение системы (7), и наоборот.

Доказательство. Сначала построим решение системы (7), зная решение ж.+р системы (5). Заметим, что краткие записи систем (5) и (7) соответственно имеют вид

Е

р

арх.+р — ^ у — О? 1 ... 1

(15)

ж

ЕазЗ+р Х+р = О, =0,1,2,.... (16)

р=0

Поскольку по условию (6) а^- и аз- те равны нулю для любого то

р-1 _

деля и умножая выражение под знаком суммы в (15) на а^- ^ а^^, в

й=0

силу (6) получаем

ж

Е ЗГ *з+р = о, ¿ = 0,1,2,..., (17)

Р=° а3,3 П «з+й й=0

Р-1 _

но а^ П = аз+рз-+р. Действительно, из построения аз- можно

й=0

записать ]] а^ «о П (ай+1,й+1 /ай,й) = а^-. Следовательно, имеем следующую цепочку равенств:

¿+р-1 з+р-1 р-1

«З+РЗ+Р = П ай = П ай П ай = а3,3 П а3+й. й=0 й=0 к=0

Таким образом, обозначая х,+р = и подставляя ее в (17), убеждаемся в удовлетворении системы (16), если только является решением системы (15). Аналогичным образом можно удовлетвориться в справедливости обратного утверждения, при этом решением системы (15) будет = аз+р,з+ресли только является решением

системы (16), что и требовалось доказать.

Пусть теперь коэффициенты а^ здесь и в дальнейшем удовлетворяют условиям 1 и 2. При этих предположениях получаем следующую теорему.

Теорема 6. Решением бесконечной системы (5) является выражение

= , * > 0> (18)

где — вещественный корень уравнения (11) или, иначе, ^ — нуль функции (2), ахо — произвольное вещественное число.

Доказательство очевидным образом следует из уравнения (11), умно-

(-1Р+1 х0 ■ ^ п женного на 1——— > У ^ 0.

Заметим, что аналогичный результат получен в работе [5] методом

редукции.

Следствие 1. Последовательные неизвестные системы (5) связаны друг с другом следующим образом:

X, = — 8Х,+ 1 ИЛИ Х,+1 =--X,. (19)

8

8

ности между соседними неизвестными в системе (5).

Пусть коэффициенты а..+р системы (7) выражаются соотношением (6), тогда имеет место

Теорема 7. Решением бесконечной системы (7) является выражение

х< = г > 0, (20)

аг,г 8

где 8, хо те же, что и в теореме 6.

Доказательство легко следует из теорем 5 и 6 с учетом соотно-

¿-1

шения П ак = а,,,. к

Аналогичный результат также получен в работе [5] методом редукции.

Следствие 2. Последовательные неизвестные системы (7) связаны друг с другом следующим образом:

х, = —а, 8X^1. (21)

Замечание 2. Если уравнение (11) имеет несколько различных вещественных корней, то столько же независимых ненулевых решений имеют системы (5) и (7).

4. Связь с граничными задачами математической физики, а также с собственными значениями и собственными функциями краевых задач. В настоящее время для решения линейных задач математической физики бесконечная система линейных алгебраических уравнений может быть применена двояко. Например, классический метод Фурье в наиболее общем виде состоит из двух этапов: сначала методом разделения переменных решение исходной задачи сводится к нахождению собственных функций и собственных значений соответствующей краевой задачи для ОДУ, а затем на втором этапе, разложением искомой и заданной начальной функций в ряд Фурье определяется искомое решение. Неизвестные коэффициенты ряда Фурье фактически находятся из решения соответствующей бесконечной системы, только в данном случае в силу ортонормированности и полноты системы собственных функций решение бесконечной системы упрощается, в общем случае коэффициенты разложения по полной системе функций, не обязательно ортогональных, определяются из решения бесконечной системы [6]. Задача первого этапа решается методами решения краевых задач для ОДУ, что не всегда легко реализуется. Вместе с тем, как показано в монографии [1], граничный метод непосредственно дает частное решение исходной задачи, в том числе собственные функции. Кратко, суть метода состоит в следующем. Частное решение исходной задачи ищется в виде формального степенного ряда типа (2), в данном случае коэффициенты разложения Ь, зависят от другой переменной задачи, например от времени Ь, = Ь,(Неизвестные коэффициенты разложения Ь, находим из заданных граничных условий задачи и бесконечных условий, вытекающих из этих заданных граничных условий при предположении об удовлетворении (в предельном смысле) в граничных точках исходного диффренциального уравнения, т. е. в конечном счете из решения бесконечной системы уравнений. Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующую задачу:

дТ ~дЬ

д2Т

(22)

= 0 < х < 1,

дх

с граничными условиями

дТ \

А^х - = 0' (23)

дТ \

в' дХ - в'Т) = 0, где А, А, в,#=«»й, (24)

а также с начальным условием

Т(х,0) = ^). (25)

Перепишем граничные условия (23), (24) в виде

дТ

дх) -, (26)

ж=0

дТ

д^] =В' (Т)Ж=1 , гдеВ = А/Д, В' = в'/в'. (27)

Сначала решаем задачу (22), (26) и (27) граничным методом и в соответствии с ним ищем решение в виде степенного ряда типа (2):

ж

Т(:М) = ЕЬ<( ¿У. (28)

¿=о

Дифференцируя последовательно ] раз условия (26) и (27) по £ и используя каждый раз основное уравнение (22), получим дополнительные условия в виде

( д23+1 Т \ ( д23 Т \

( д23+1 Т \ ( д23 Т \ _

С учетом равенства

дХ " ^ р! Ьз+р1^

из условий (29), (30), обозначая Ь3(¿) через Ь3-, находим бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Ь3-:

(2.? + 1)Ь2 з+1 = ВЬгд, (31)

-к-= В г^ + щ , у = о, те.

к=о ■ к= — 1 ''

(32)

Формально объединяя неизвестные Ьj в выражении (32) соответственно с четными и нечетными индексами в отдельные суммы, запишем (32) в виде

(олш'и ^ ^ I В'(2(Р + У') + 1)' (2(р + У) + 1 )• \ Ь

(2Р+1)!---| ^ ^^

^ 1 В'(2 (р + у + 1))! (2(Р + У + 1))! 1 Ь п

+ (2(Р+1))!---^ (33)

Подставляя (31) в (33), имеем

Г9"МВ'Ь д. ^ I В'(2 (Р+ :?))! (2(Р+ :?))! 1 ВЬ

(Ь)Ш + (2^1)!---

^ 1 В'(2 (Р + У + 1))! (2(р + у + 1))! 1 Ь _

Введя обозначение хл-+р = Ь2 (¿+р) (£), выражение (34) приводим к виду (16):

Е Л+рхР+Л = У = (35)

р=0

где

ВВ' В' - В 1

ал-р = (2.?' + 2р)!

(36)

_(2р+1)! (2р)! (2р — 1)!_ Здесь условно считаем, что 1/( — 1)! = 0.

Легко убедиться, что формула (36) имеет вид (6) В'В В' В

р-1

х П (2у + 2к+1)(2у + 2к + 2). (37) ^ _ ^

к=0 ^

Следовательно, на основании теоремы 7 решение системы (35) имеет вид (20), т. е.

(-1)^(t) _ (-1)^(t) (2г)!в*

*i(*)= , <_1 = Ьмф, (38)

где в определяется из уравнения (11), которое при предположении, что в ф 0, можно переписать в виде

/1 \ р

Е—)p+1 Ц ;) =0-

p=0

Отсюда, учитывая ap из (37), имеем

£<-i>p+1 \//\^

Введя обозначение Ь2¿+2Р+1 (t) = Уя-Р> аналогичным образом находим неизвестные Ь^(t) с нечетными индексами:

t} = (2» + 1)1;*_ = hm W' ( }

где s определяется также из уравнения (39), поскольку и в этом случае ap сохраняет свой вид (37).

Таким образом, учитывая (38) и (40), из (28) получим

= Ai(t)cosTL + A2(t)sin T- = Y (/р), (41)

Vs Vs Vvs/

где функция Y записана для фиксированного to, т. е. для t = to-

Подставляя (41) в условия (26) и (27), найдем A(t) и A2(t) и тем

st

t- 1 - до (42)

Покажем, что функция У(х/л/в) является собственной функцией краевой задачи для ОДУ, соответствующей краевой задаче (22), (26), (27), а числа в, определяемые уравнением (42), фактически дают собственные числа краевой задачи для ОДУ

Действительно, разделяя переменные, решение уравнения (22) сведем к решению ОДУ

X''(х) + ЛХ(х) = 0, (43)

где Л — собственные числа задачи, при этом краевые условия (26), (27) преобразуются к виду

X '(0) = ВХ(0), X '(1) = В'Х(1). (44)

Общее решение уравнения (43), очевидно, имеет вид

X = А сое %/Лх + А вш л/Лх, Л > 0, (45)

что вместе с краевыми условиями (44) дает для определения собствен-Л

УЛ=^(В — В'}.

^Л = ЛВВ' . (46)

Понятно, что при замене 1/в = Л выражения (41) и (42) совпадают соответственно с выражениями (45) и (46).

Отметим, что имеется принципиальная возможность для дальнейшего решения ограничиться, дальше не решая конкретно бесконечную систему уравнений, только выражением (39), которое получено исходя из вида (37).

Действительно, преобразуя уравнение (39), имеем

^<В'—В § ^ (£ Г+<;ВВ'+" § ^ (т )"' = ».

(47)

Пусть существует функция У(ж/л/$), которую формально можно построить из (47) заменой выражения 1/^ на ж/у7!:

Y

p=0

p=0

2p+l

= Ai СОS — + sin —

x

x

а соотношение (47) очевидно дает уравнение (42) для определения е.

Заметим, что аналогичная задача с применением метода редукции рассмотрена в работе [1].

1. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

2. Загускин В. Л. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. М.: Физматгиз, 1960.

3. Федоров Ф. М. О новом подходе изучения вещественных корней полиномиального уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 105-113.

4. Федоров Ф. М., Абрамова М. Е. О решении алгебраических уравнений бесконечной степени обобщенным методом Бернулли // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 80-88.

5. Федоров Ф. М., Осипова Т. Л. О решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 89-97.

6. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехтеориздат, 1952.

ЛИТЕРАТУРА

г. Якутск

18 мая 2006 г.