К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

К ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. I

Ф, М. Федоров

Однородной бесконечной системой линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) с бесконечным множеством неизвестных называется система уравнений:

ао ,о х + а> д х + ... = О,

«1 ,о хо + ^ д Ж1 + ... = 0, (1) .......................;

где — известные коэффициенты, хь — неизвестные. Система численных значений величин щ, х±,... называется решением системы (1), если после подстановки этих значений в левую часть равенств (1) мы получим сходящиеся ряды и все эти равенства будут удовлетворены [1,2].

В дальнейшем в своих исследованиях будем придерживаться этой трактовки бесконечных систем и их решений. Уместно отметить, что в свое время были серьезные дискуссии вокруг этих понятий, в частности, в работах Б. М. Кояловича [3] и Р. О. Кузьмина [4].

В предлагаемой работе сделана попытка построения теории для некоторого класса, скажем, периодических бесконечных систем уравнений, в основном с алгебраической точки зрения. В ранних исследованиях по построению некоторых теорий для регулярных, вполне регулярных и мажорантных систем более широко применялись методы математического и функционального анализа, теории функций, в част© 2008 Федоров Ф. М.

ности, теории аналитических функций [1-9], чем чисто алгебраические подходы, что вполне объяснимо, потому что дело имеем с рядами.

Хорошо известно, что построение алгебраической теории конечных систем основано на приведении однородных систем к треугольному виДУВ соответствии с этим мы изучаем однородные БСЛАУ, приведенные в так называемую гауссову форму.

Если квадратная матрица порядка п > 1 углового минора определителя бесконечной системы линейных алгебраических уравнений имеет верхнюю треугольную форму, причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е. а^^ ф 0, у = 0,1,2,..., то говорим, что такая БСЛАУ задана в гауссовой форме [10].

Вопросы приведения системы (1) к гауссовой форме остаются открытыми, но заметим, что применение граничного метода к решению краевых задач математической физики приводит чаще всего к этому виду бесконечной системы или ему близкому [11].

Пусть заданы следующие однородные БСЛАУ в гауссовой форме [10,11]:

аоЖо + а!Ж1 + а2#2 + + + ... = 0, аох + а]Х2 + агхз + азХ4 + ... = 0,

аоХ2 + а\щ + а?Х4 + ... = 0 (2)

0)Хз + ахх± + ... = 0,

..........................................;

и система (1) в гауссовой форме со специальными коэффициентами:

р—

а],з+р = а^+к ^а^^ф 0 (у,р = 0, 1, 2,...), (3)

к=0

причем величины а^+к строятся по определенному алгоритму из чисел аг,у,у, на что обратим внимание ниже.

В краткой записи эти системы соответственно имеют вид

арХз+р = 0, у = 0,1,2,..., (4)

р

и

^ ] а'3,3+рх3+р — 0; 3 — 0, 1, 2,...

(5)

р=0

Сначала решаем систему (2) (то же, что и (4)) методом редукции, предложенным в работе [11]. В соответствии с этим систему (4) урезаем до конечной системы

где хП есть п-е приближение решения х¿, при этом число уравнений все время становится на единицу меньше, чем число неизвестных при п

п

альное решение.

Заметим, что именно это обстоятельство: при какой закономерности изменения числа неизвестных и уравнений получена бесконечная система (1), и привело к яростной дискуссии между некоторыми авторами, в том числе между Б. М. Кояловичем [3] и О. Р. Кузьминым [4]. Результатом этой дискуссии стало введение понятий нормальной бесконечной системы, когда число уравнений становится равным числу

п

На самом деле при вышеуказанной трактовке, приведенной в начале статьи, бесконечных систем нет необходимости такого их разделения. Вероятнее всего, такое разделение присуще методу решения бесконечных систем, в частности, методу редукции, что отчетливо будет видно ниже.

Решая урезанную систему (6), как и в работе [11], получим

п

(6)

р

(7)

где

(8)

Если предположить, что х™ стремится к решению Xi при возрастании n, то для получения решения бесконечной системы (4) достаточно исследовать предел lim sn-i, т. е. предел выражения (8).

n—

Можно заметить, что по структуре гауссовой системы (6) за индекс г в выражении (7) можно принять и индекс j.

Таким образом, не нарушая общности, в последовательности (8) индекс n — г можно заменить на n при стремлении n к бесконечности, поскольку индекс г всегда остается меньше чем n, причем фиксированным. Следовательно, выражение (8) перепишем в виде

-1 )р-1

sn = a±

—

р-1

Р=2 П Sn-k k=l

p

в! = a1; a0 = 1,

(9)

и исследуем его сходимость в зависимости от коэффициентов ар.

Сходимость последовательности (9) впервые изучена в работе автора [11] и более подробно исследована в совместной работе [12]. В настоящей статье изложение строится с иных позиций, чем в работе [12], кроме того, даны новые доказательства некоторых теорем.

Так же, как и в работах [11,12], из коэффициентов системы (2) строим последовательность определителей:

a 1 a 1 0

A = 1, Ai = ai, a2 = , A3 = a a 1

a ai a a ai

An -

a a

1

a

an-l an-2 an-3

an an-l an-2

0 0

1

a

(10)

(11)

Доказательство. Сперва полагаем, что Ап ф О для любого натурального п. Нетрудно видеть, что для начальных п тождество (11) выполняется. Действительно, при п = 1 имеем

А! Ах

31 = а1 = Т = й

п

а2 а? — а? А^

5 ____ _ч_ _ _

«1 «1 А1'

Пусть для т ^ п — 1 тождество (11) выполняется, тогда верно соотношение

Ап-1 Ап-1 Ап-2 ■ ■ ■ Ап-к+1

~ = йг,.-

к-1

Ап-к Ап-2Ап-3 ■ ■ ■ Ап-к .

г=\

11 Яп-г ■

С учетом последнего выражения последовательность (9) перепишем следующим образом:

Яп = а + У^

(-1)р 1арАп—р _ Р=1

р=2

£( —1)арАп-Т

Ап-1 Ап-1

Как показано в работах [11,12], сумма в числителе есть не что иное,

Ап

_ Ап Яп —

Ап-1

Ап п п Ак

к < по, то и япо = 0, при этом обе последовательности в правых и левых частях тождества (11) обрываются, т. е. ив этом случае

Ап

Ап0 -1

ПО =0

что и требовалось доказать.

Из теоремы 1 вытекает важное

=

Следствие 1. Для сходимости последовательности (9) необходимо, чтобы последовательность {ap} была такая, что An ф 0 для любого натурального n.

В дальнейшем всюду будем считать, что это необходимое условие выполняется. Кроме того, введем основное условие сходимости последовательности sn в зависимости от коэффициентов {ap} системы (4). Условие А. 1. Пусть степенной ряд

ж

£(-1) papxp = f{x) (12)

p

абсолютно сходится в \x\ ^ r, r > 0, где r — радиус сходимости ряда

x

оси такая, что \щ \ ^ r н f(xg) = 0, т. е.

ж

£-1 )papxp0 = 0. (13)

p

При этом полагаем, что в области \x\ ^ \щ \ функция f(x) не имеет других (в том числе комплексных) нулей. 2. Выполняется условие

1. An-\-mAn —1 An-\-m — lAn r, -t

lim -----= 0, m = 1, 2,....

An+m-l An-1

An

fx

cmuKoü БСЛАУ вида (2).

Теорема 2. При выполнении и. 1 условия А функция l/f(x) в области \x\ < x \ разлагается в абсолютно сходящийся степенной ряд

ж

n

^ Anx , (14)

fx

n

где An — определители (10) и радиус сходимости R ряда (14) равен \x0\, т. е. R = \x0\.

Доказательство теоремы приведено в [11,12].

Следствие 2. Существует предел последовательности |s„|, причем ^

lim |s„| = |*| = г—г.

п — ж lxQ I

Доказательство. Так как An являются коэффициентами степенного ряда (14) с радиусом сходимости R, то по признаку Даламбера имеем

An+i _ ~ R'

Но по теоремам 1 и 2 имеет место соотношение

lim |sn+i| ^

n—

отсюда получаем то, что требуется доказать.

С учетом теоремы Коши — Адамара непосредственно из теоремы 2 вытекает

Следствие 3. Справедливо соотношение

lim |sn+i |= lim

lim y/\An \ = \xq |.

n—

Теорема 3. Пусть коэффициенты (ц удовлетворяют условию А. Тогда существует предел последовательности (9), верно равенство

s = —, где lim s„ = s,

Щ n—ж

и возможен предельный переход под знаком суммы в выражении (9), т. е. имеет место

р=2

Заметим, что в случае обрыва ряда (12), т. е. для многочлена, сходимость последовательности (9) подробно изучена в работе [13].

Доказательство. В силу п. 2 условия А заключаем, что lsri+m - Sn I ^ 0 прИ П

для любых т, т. е. существует предел lim sn = s. Если теперь пред-

n—

положить, что в выражении (9) допустим предельный переход, то, очевидно, получим выражение (15). Последнее доказывает, что ^ является нулем характеристической функции f(x) (12).

Значит, по следствию 2 и п. 1 условия А заключаем, что

A 1

lim sn = lim " = s = —. (16)

n—ж n—ж An-1 XQ

Теперь предполагаем, что s = В этом случае, очевидно, выпол-

XQ

няется соотношение (15). Докажем предельный переход. На основании (15) для некоторого N справедливо

1 + £ = 0, (17)

p=l p=N+l

где последнее слагаемое стремится к нулю при N ^ж. Разделив вы-

sn sn

= ° (1»

p=1 П SN-к к=0

Сложив (17) и (18) и переходя к пределу N ^ж в полученном выражении, находим

lim + lim (Ziü + J_f

J-ЮГ> s s sp- N —\ Q ЛГ Q ЛГ ' '

p

N—ж \ S S^ Sp— N—ж l SN SN ^ p—

pp

П SN-к'

к

Отсюда имеем

lim Um уШъ. (19)

Sp- N p

N—ж^ N—ж^ Р-1

Р=2 Р=2 П SN-к

к=1

Переходя в выражении (9) к пределу, с учетом (19) получим (15), что и требовалось доказать.

Теорема 4. Выражение

a..= (Zl£fo ¿ = 0,1,2,..., (20)

si

служит решением системы (2), где ^ является нулем характеристики f(x) (12) или, что то же,

= №

p=0

x

Доказательство. Если предположить, что lim xn = xi, то, ре-

n—

шая рекуррентное уравнение (7), получим (20). Подставляя (20) в систему (4), убеждаемся в выполнении каждого уравнения бесконечной системы (4), коль скоро удовлетворяется уравнение (21), что и требовалось доказать.

Следствие 4. При выполнении условия А метод редукции для гауссовой системы (2) сходится.

Замечание 1. Как видно из (20), компоненты полученного методом редукции решения гауссовой системы (2) либо все без исключения не равны нулю, либо все они равны нулю.

Замечание 2. Гауссова система (2) будет иметь столько различных решений вида (20), сколько имеет корней уравнение (21), причем все эти решения линейно независимы.

Определение 2. Если все компоненты некоторого решения БСЛАУ не равны нулю, то будем говорить, что данная система имеет строго нетривиальное решение.

Метод редукции для неоднородных гауссовых систем, в частности, для системы (3) с правыми частями bi, которые не все равны нулю, подробно рассмотрен в работе [14]. Основная идея метода также предложена в [11].

Рассмотрим систему (4) с правыми частями Ь¿. Метод редукции неоднородной системы приводит к решению следующей конечной неоднородной системы:

п—з

^,аРх!+Р = Ьз, ¿ = 0,1,2,...,п - 1. (22)

р=0

В этом случае, следуя работам [11,14], найдем рекуррентное уравнение

— ^п—г ""Ь Зп—гВп—г—\ % — 0, 71 1, (^3)

где

п—г — 1

Вп—г = Ьг — ^^ арБп—г—р, Б = Ьп—1, (24)

Р

а ап—г определяется формулой (8).

Теорема 5. При выполнении условия А метод редукции дает единственное с точностью до постоянного множителя решение гауссовой системы (2).

Доказательство. Пусть уг — любое решение гауссовой системы (2), полученное методом редукции, как указано выше. Тогда система (2) удовлетворяется и перепишем ее в виде

ж

аоУо + аш + а2у2 + а3У3 + +----Ь aNу^ = — ^ арУр = Ь£

р=£+1 ж

аоУ1 + а^2 + а2Уз + а3у4 -|-----Ь —У^ = — ^ ар—1 Ур =

р=£+1 ж

а>У2 + а1Уз + а2У4 -I-----Ь —2У^ = — ^ ар—2Ур =

р=£+1

0)Уз + аГУА -I-----Ъ —зУ^ = — ^ ар—У^ =

р=£+1

...................................................

Отметим, что поскольку yi удовлетворяет каждому уравнению системы (2), то lim bN = 0 независимо от j.

N^ж J

Как и при использовании метода редукции, систему (25) урезаем, оставляя N уравнений и связывая соседние компоненты, что всегда возможно по предположению. Тогда имеем аналогично (23) рекуррентное соотношение

Уг = BN-i + sN-iBN-i-i - sN-iyi+i, г = О, N-1, (26)

где

N-г-1

B

N-i

= bN - Е apB

apBN-i-p,

B, =b

N

N-1,

(27)

p

а согласно теореме 3 sN-it имеет предел, т. е.

lim йдг-г = s = —,

N ^ж Xq

где Xq — нуль характеристики (12), указанный в условии А.

Заметим, что в отличие от (23) в (26) стоят точные значения компонентов решения, а не приближенные, как в (23).

Исследуем выражение (27) и для этого введем определитель т-го порядка:

N

Bm -

bN bN-m bN bN-m bN. bN-m. bN bN-2 bN bN-1

a 1 0 0 0

a a 1 0 0

aj aj-l aj-2 0 0

am-2 am-3 am-A 1 0

am-l am-2 am-3 a\ 1

(28)

где В? = Ь% ^.

Найдем разложение определителя (28) по алгебраическим дополнениям А^г1 первого столбца, т. е.

j=i

(29)

где ао = Ь^_т, = ( —1у+1 МД. Следовательно, необходимо найти соответствующие миноры М Очевидно, первые миноры имеют вид М/д = 1, М|д = Найдем минор третьей строки:

ЬN ЬN_т+1 ЬN ЬN _т+2 ЬN _т+3 ЬN _2 Ь N _1

1 0 0 0 0

а а 1 0 0

а а а 0 0

а3_1 а3_2 а_з 0 0

ат_3 ат_А ат_5 1 0

ат_2 ат_3 ат_4 а 1

Разлагая этот определитель по второй строке, легко убеждаемся, что М%1 = —В. Найдем минор последней строки:

Ммл =

ЬN _т+1 ЬN _т+2 ЬN _т+3 ЬN _2 ЬN _

1 0 0 0 0

а 1 0 0 0

аз_1 а3_2 аз_3 0 0

ат_3 ат_А ат_5 1 0

Разлагаем этот определитель по второй строке, затем получаемое при этом алгебраическое дополнение разлагаем опять же по второй строке и, продолжая этот процесс, через т — 3 шага разложения найдем

М1г = (-1)

т_3

Ь14 ЬМ

= — )т_2 = (-1) твN.

Остальные миноры при 3 < j < m имеют вид

M» =

hN

bN -

-m+1

bN -

-m+2

bN

bN-m+3

1 0 0

a 1 0

a a 1

a - a - a -

a - a - a -

a a - a -

a a a -

am-3 am-A am-

am-2 am-3 am-

1 0 0

a a 1

a a a

bN bN-2 bN bN-

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 0

a 1

Для вычисления этого определителя разлагаем его по второй строке, затем полученное алгебраическое дополнение (ш — 2)-го порядка разлагаем опять же по второй строке, продолжаем этот процесс до у'-й строки и последнее разложение осуществляем по этой строке. Тогда получим М N = —1 У-Вт-]-1. Следовательно, разложение (29) будет иметь вид

m —1

BNN — bN-m — alBZ-l — a2Bm-2 - a3-1 Bm-j+1 - am-lB

bN-m — ^m-! — a2Bm-2 — / ] apB" — am-l B\

'3

j=4 m] apBm-p am p=3

m

N

b

N

Nm

?N

aPBm-p■

(30)

— У^ apBi

p

Если в (30) заменить индекс N — m индексом i, то получим, что рекуррентные соотношения (27) и (30) совпадают, при этом начальное BN bNN

ношение (27) есть на самом деле определитель (28). Отсюда, очевидно, lim B^_i = 0, так как предел определителя (28) будет по построе-

N —ж

пию бесконечным определителем с нулевой первой строкой, посколь-

biN i

N—ж

N в выражении (26), будем иметь

Уг = -«Уг+Ъ « = О, ОО.

(31)

Но соотношение (31) указывает на то, что решение у г получено методом редукции, что и требовалось доказать, поскольку в = имеет

Жо

единственное значение.

Определение 3. Решение гауссовой системы (2) вида (20) будем называть фундаментальным решением системы (2).

Теорема 6. Общим решением гауссовой системы (2) является линейная комбинация всех фундаментальных решений системы (2), т. е.

где 1/вк — нули характеристики /(х) (12) системы (2), М — число всех этих нулей, с^ — произвольные константы.

М

случае возникает необходимость исследования сходимости ряда (32).

1. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. м.: Гостехтеориздат, 1952.

2. Бондаренко П. С. К вопросу об единственности для бесконечных системы линейных уравнений // Мат. сб. 1951. Т. 29, № 2. С. 403-418.

3. Коялович В. М. Об основных понятиях теории бесконечных систем линейных уравнений // Уч. зап. Педагогического ин-та. Л., 1937. С. 834)9.

4. Кузьмин Р. О. Об одном классе бесконечных систем линейных уравнений // Изв. АН СССР. 1934. С. 515-546.

5. Беркович Ф. Д. О решении одной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений в классе растущих последовательностей // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 3. С. 495-498.

6. Грибанов Ю. И. О методе редукции для бесконечных систем линейных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1962. № 1. С. 28-40.

7. Грибанов Ю. И. К теории метода редукции для бесконечных систем линейных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1964. № 5. С. 12-16.

8. Рогожин В. С. Один класс бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, № 3. С. 486-489.

(32)

ЛИТЕРАТУРА

9. Фельд Я. Н. О бесконечных системах линейных алгебраических уравнений, связанных с задачами о полубесконечных периодических структурах // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, № 2. С. 257-260.

10. Федоров Ф. М. Об аналитическом решении некоторых однородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 101-108.

11. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

12. Федоров Ф. М., Абрамова М. Е. О решении алгебраических уравнений бесконечной степени обобщенным методом Бернулли // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, вып. 2. С. 80-88.

13. Федоров Ф. М. О новом подходе изучения вещественных корней полиномиального уравнения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 106-113.

14. Федоров Ф. М., Осипова Т. Л. О решении неоднородных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 1. С. 106-115.

г. Якутск

21 мая 2007 г.