К теории гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

К ТЕОРИИ ГАУССОВЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (БСЛАУ)

Ф, М. Федоров

Пусть задана следующая неоднородная БСЛАУ в гауссовой форме

[1]:

ао ,о х + а> д х + а0 ,2 х + а> ,з х + а> д х + ■ ■ ■ = Ь, а1 ,1 X + а1,2 X + ^ ,3 х + ^ ,4 X + ■ ■ ■ = Ь\,

а-2,2 х + ^ ,з х + а2 д X + ■ ■ ■ = Ьг, (1)

аз ,з хз + а3 д х4 + ■ ■ ■ = Ь3,

где а^- ф 0 для люб ого ..

В краткой записи неоднородная гауссова система (1) запишется

так:

хз+Р = Ьз, .7 = 0,1,2,.... (2)

Р=0

При решении бесконечных систем методом редукции в широком смысле [1] бесконечная система (1) (или (2)) урезается до конечной так, чтобы число неизвестных было на одно больше, чем число уравнений. Поэтому рассмотрим урезанную систему (1) (или (2)), т. е. конечную систему из п первых уравнений с (п + 1) неизвестными щ, х,..., хп. Для таких конечных систем в работах [1,2] получены следующие результаты.

© 2011 Федоров Ф. М.

Теорема 1. Пусть задана конечная СЛАУ

п—з

аз>з+Рхз+Р = Ъэ> аз>з ^ °> 3 = 0,п-1. (3)

р=0

Тогда неизвестные хг выражаются через хо следующим образом:

, (-1У+1Вп , (-1)<х0 .

ж» = Вп+ —--Ь —-, 1=1, п, (4)

рр

где

, з—1 Ь

= В\ = ———^—, ^ = (5)

«п—з,п—з р—1 ап—з,п—з «п —1 ,п —1

ап,-з,п-з+1 ( 1)р+ а-п-з,п-з+р

С, _ 1 _

3 п ■ ■ '

р—

р 2 «п—3,п—^^ П ^з — к (6)

п—3,п—3 р=2

«п—з,п—з

к

¿>1 =-, з = 2,п,

«п —1 ,п — 1

х

Следствие 1. В системе (3) соседние неизвестные связаны друг с другом следующим образом:

Хг = + ¿'„-¿Вп-г-! ~ ^-¿^¿+1, г = 0, П - 1. (7)

Заметим, что в случае бесконечных систем (1) в выражениях (4) и (7) под хг понимаются приближенные значения пг неизвестных величин

хг

Очевидно, рекуррентные соотношения (5) и (6) можно переписать соответственно в виде (8) и (9):

, п—з—1 ,

= £ = 3 = 0^2, (8)

«зз «зз «п —1,п—1

(9)

«n-1 ,n-1

Если предположить, что существует предел lim Sn-j = S(j) и

n—

возможен предельный переход в выражении (9), то имеет место следу-

j

где для унификации обозначений принято П + = 1 для любого ..

к=0

Рассмотрим приведенную систему (1):

ао ,о X + ао д X + ао ,2 X + «о ,2 X + ао ,2 X + • • • = О, «1 д X + а1 ,2 х + «1 ,з X + «1 д X + • • • = О,

которая в краткой записи имеет вид (2) при Ъ^ = 0.

Сформулируем и докажем основную теорему существования нетривиального решения произвольных однородных бесконечных гауссовых систем.

Теорема 2. Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения однородной гауссовой системы (11) яв-

.

условий (10) решением системы (11) являются выражения вида

(10)

р=0 «j П Sj + к)

1

«2,2 X + Я2,3 X + a2,4 X + • • • = 0,

(П)

(12)

где хо — произвольное вещественное число, Я (к) удовлетворяют уравнению (10) для каждого ].

Доказательство. Необходимость. Пусть у — любое решение гауссовой системы (11). Так как у^ — решение, система (11) удовлетворяется и перепишем ее в виде

a>,оУо + a>д Vi + ,2У2 + a0,зУз н-----н ,nvn = - ,PyP= bN,

p=N+1

то

ai д Vi + ai ,2 У2 + ai ,3Уз Н-----H ai ,nVn = - ai ,pVp ~bN,

p=N+l

то

02,2У2 + 02,3Уз H-----h a2,NVN = - ^,pVp ~bN,

p=N+1

то

аз,3Уз н-----ь a3,NVn = - аз,pVp = b3N,

p=N+l

on—,n—vn-1 + on—,n vn — — ^^ OpVp — bN —,

p=n+i

(13)

Отметим, что поскольку yj удовлетворяет каждому уравнению системы (11), то lim bN = 0 независимootJ.

Как и при использовании метода редукции систему (13) урезаем, оставляя N уравнений cN+1 неизвестными. Связывая соседние неизвестные, получим соотношение (7), но с той разницей, что в (7) стоят точные значения неизвестных, а не приближенные решения Xj.

Исследуем выражение (5) и для этого введем определитель ш-го

порядка:

п« _ Вт -

Ь

N

N — т.

aN-m,N— т ЙМ-— т + 1 aN-m,N— т

aN — т + 1, N — т + 1 1

aN — m + 2,N — т + 2

Ддг-т,N-171 + 2 а N-771 + 1, N-771 + 2

а N — т^ — т aN — т + 1^ — т + 1

^N—77L,N—77L+j & N — 771+ 1 , N — 7П+ 3 & N — 771+ 2 , N — 771+ 3

aN — , — т aN — т . + l,N — т a N — т ь + 2,N — т + 2

аы- т.,N-2 аы- т+1,.IV -2 аы- т+2,N-2

aN — , аы- — т т,ЛГ-1 aN — т 0,14- . + l,N — т+1,.IV т -1 a N — т аы- ь + — т + 2 т+ 2, N — 1

aN — , — т aN — т . + l,N — т a N — т ь + — т + 2

ЬN - 1/а« - -1,« - •

aN — 1 ^ — 1

(14)

Найдем разложение определителя (14) по алгебраическим дополнениям А«1 первого столбца, т. е.

п« -

Ь«

-т-т

А« А,

Е

-т-т

А« АЗЛ'

(15)

Ь

где А« = ( —1У+1 М«, М« — минор 3-й строки определителя (14).

Необходимо найти соответствующие миноры М«. Очевидно, первые миноры имеют вид М«1 = 1, М«1= В«-1. Найдем минор третьей

строки:

ь

N

N— г

ЬN

ЬN-г

fflN — г+2^, N — г+2

м? -

мз ,1 _

fflN — г+l,,N — г+1 fflN — — г+1

а]У-тп + 2,]У-2 aN — т+г^ — т+2

aN — m+2,N — т+2

ЬN

ЬN —1

aN — 1, N — 1

о

(16)

Разлагая этот определитель по второй строке, легко убеждаемся, что М?х = — • Найдем минор последней строки:

М*, =

ь

м-

aN — — г+1

а« — г+l,N — г+1

«И — — г+2

ам — — г+1 «й — ■m+2,N — г+2

а]У-тп + 2,]У-2

а» — m+l,N — т+1 а» — т+г^ — т+2

aN — 1, N — 1

о

о

(17)

Разлагаем этот определитель по второй строке, затем получаемое при этом алгебраическое дополнение разлагаем опять же по второй строке и, продолжая этот процесс, через т — 3 шага разложения найдем

М£,= (-1)

т—3

ъ?-2 ъ?-1

= (-1 )т— = (-1)т Б? •

N

ь

Остальные миноры при 3 < j < m имеют вид

м£ =

"N-m + 1

-m + 1

"N-m + 2

bN-2

bN-1

»N-

q + l,AT-

■t + 3

»N-^1,N -m + 1 »N-^1,N -m + 1

aiV-m+l,iV-m+j

«N-^1,N-m + 1 QJV-m + l,JV-m+i + l «N-^1,N-m + 1

aiV-m+l,iV-2

«N-^1,N-m + 1

аЛГ-т+1,ЛГ-1

«N-^1,N-m + 1

-m + 2

QJV-m + 2,JV-m+i-2

»N-m + 2,N -m + 2 ajV-Tn+2,jy-Tn+j

ON-m + 2,N-m + 2 QJV-m + 2,JV-m+i + l ON-m + 2,N-m + 2

ajV-Tn+2,iV-2

ON-m + 2,N-m + 2

ajV-Tn+2,iV-l

ON-m + 2,N-m + 2

»N-2, N-2 0

0 0 0

1

ajy-2,jy-i

»N-, N-2

»N -, N-1 0

(18)

Для вычисления определителя (18) разлагаем его по второй строке, затем полученное алгебраическое дополнение (ш — 2)-го порядка разлагаем опять же по второй строке и продолжаем этот процесс до у'-й строки и последнее разложение осуществляем по этой строке. Тогда получим = ( —1Р'-21-

Разложение (15) с учетом вычисленных значений миноров будет иметь вид

bN =

hN

uN-m

aN-m,N-m+1

aN-m,N-m aN-m,N-m

N

Bm-1

C'N-rn,N-m+2 t^N aN-m,N-m

m-

m,N—m+j — 1 дДГ

j=4

aN-m,N-m

C'N-m,N-l aN-m,N-m

B

N

bN-m

m-

EaN—m,N—m+p дДГ jjW

—~~ "m-pi

Bf =

bN-l

_ ... „ _ (19)

aN-m,N-m л aN-m,N-m aN -1 ,N-1

Если в (19) заменить индекс m — р индексом р, то получим, что рекуррентные соотношения (5) и (19) совпадают, при этом начальные значения B и Bf одинаковы в (5) и (19). Таким образом, BN = Bj, т. е. соотношение (5) есть на самом деле определитель (14). Следовательно, lim = 0, так как предел определителя (14) будет по

N ^то

построению бесконечным определителем с нулевой первой строкой, поскольку lim 6N = 0 независим о от i. Учитывая этот предел, легко

N^oo

убедиться, что вместо выражения (7) будем иметь

yi = -SN-iyi+1, г = 0,ЛГ-2. (20)

Переходя в (20) к пределу при N ^ ж, убеждаемся, что существует предел lim SN_i = S(i). Решая рекуррентное уравнение (20) в

N —ж

обратном порядке, получим

Vi = —-, (21)

П S(k) к=0

_

где уо - произвольное вещественное число, П S(k) = 1.

к

Подставляя (21) в исходную систему (11), придем к необходимому-условию (10) для каждого j, тем самым доказана необходимость.

Достаточность. Пусть числа S(i) являются решениями уравнений (10) для каждого j. Тогда составим числа xi вида (21):

_ (-1)^0

Xi ~ г-1

П S(k) к

Подставляя эти значения в систему (11), убеждаемся, что все уравнения системы (11) удовлетворяются, поскольку выполнены условия (10).

Следствие 2. Для нетривиальной разрешимости гауссовой системы (11) необходимым и достаточным условием является существование предела выражения (9), удовлетворяющего уравнениям (10).

Доказательство следствия 2 очевидным образом следует из соответствующих доказательств необходимости и достаточности теоремы 2.

Сделаем два весьма важных замечания.

Замечание 1. При решении произвольной гауссовой системы (11) методом редукции в широком смысле один и тот же рекурсивный процесс (9) участвует при решении двух совершенно разных задач. Во-первых, он применяется при решении бесконечной системы (11) в виде

(12), при этом он всегда сходится при условии существования нетривиального решения системы (11); во-вторых, он участвует при решении уравнений (10) для конкретных в этом случае существенную роль играет передельный переход в выражении (9), что будет более ясно при рассмотрении конкретных гауссовых систем, например, периодических.

Замечание 2. Доказательство теоремы 2 можно провести проще, сделав следующую замену неизвестных: = -Я(г). Но в этом

случае существенные выводы замечания 1 выпадут, в частности, не совсем ясным будет вопрос: каким образом можно решить уранения (10) относительно неизвестных Я(г)? С другой стороны, именно вышеизложенное доказательство теоремы 2 наталкивает на мысль проведения такой замены.

Таким образом, каждому решению { гауссовой однородной бесконечной системы (11) соответствует множество чисел {Я(г)}, которое может быть пустым, конечным или бесконечным. Множество чисел {Я(г)} удовлетворяет системе уравнений (10), в общем случае бесконечной.

Систему уравнений (10) назовем характеристикой соответствующего решения (12) системы (11), а множество чисел {Я(г)} - характеристическими числами данного решения. Таким образом, если как-то найдены характеристические числа {Я(г)}, то решение бесконечной гауссовой системы (11) имеет простой вид (12).

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные смстемы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

2. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

3. Егоров И. Е., Федоров Ф. М. О полной системе фундаментальных решений периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 1. С. 8-17.

г. Якутск

28 марта 2011 г.