Замечания о гауссовых бесконечных системах линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

ЗАМЕЧАНИЯ О ГАУССОВЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (БСЛАУ)

Ф, М. Федоров

В работах автора [1-3] введены и исследованы гауссовы и периодические БСЛАУ. В них по аналогии с конечными системами с верхней (нижней) треугольной матрицей дается определение гауссовой бесконечной системы.

Определение 1. Если матрица А = (а^-) бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

имеет элементы а^- = 0 для всех г > з (или г < 3), причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е. а^- ф О, з = 0,1,2,..., то говорим, что такая бесконечная система линейных алгебраических уравнений (1) задана в гауссовой форме.

В работе [4] Куком введено понятие верхних и нижних бесконечных треугольных матриц подобно определению 1. Вместе с тем в случае, когда а,г,з = 0 для в сех г > з и г ограничен, данная матрица имеет бесконечное число столбцов, поэтому она никак не ассоциируется с верхней треугольной матрицей. Такую матрицу только условно можно называть верхней треугольной. Матрица, у которой а^ = 0 для всех г < з, вполне соответствует понятию нижней треугольной матрицы. Тем самым в этом случае исходную бесконечную матрицу можно называть просто треугольной матрицей.

(1)

© 2011 Федоров Ф. М.

Также Куком введено определение обратной матрицы для бесконечных матриц.

Определение 2. Если АВ = I, то В называется правосторонней обратной матрицей для А, а А — левосторонней обратной для В, где I — единичная бесконечная матрица.

В этом определении операция умножения матриц вводится так же, как и для конечных матриц, но с оговоркой сходимости соответствующих рядов.

В соответствии с определением 2 правосторонняя обратная для А матрица является решением X линейного матричного уравнения АХ = I.

Для гауссовых систем (1) с треугольной матрицей Куком доказана следующая

Теорема 1 [4]. Гауссова система (1) с треугольной матрицей имеет правосторонную обратную матрицу, которая будет треугольной матрицей, и все ее элементы, лежащие на главной диагонали, соответственно равны а--

Из доказательства теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Если а^ = 0 хотя бы для одного значения г, то матрица системы (1) не имеет правосторонней обратной матрицы.

Поскольку систему (1) можно записать в матричной форме АХ =

В

Следствие 2. У гауссовой системы (1) с треугольной матрицей существует единственное решение, которое имеет вид X = А-В, где А-1 - правосторонняя обратная матрица.

Таким образом, под гауссовой системой преимущественно понимаем систему (1) как бы с верхней треугольной матрицей, где все элементы главной диагонали не равны нулю. В настоящее время разработка теории гауссовых систем еще не завершена. В работе [3] частично изучены некоторые классы гауссовых систем: периодические и почти периодические.

Пусть задана гауссова бесконечная однородная система

^2аз,з+рхз+р = 0> ..., (2)

р=0

где коэффициенты а^-+р имеют специальный вид

=<Ь, 3 = 0,1,2,.... (3)

а3+р,3+р

Определение 3. Периодической бесконечной системой линейных алгебраических уравнений будем называть гауссову бесконечную систему (2) с коэффициентами, удовлетворяющими соотношению (3).

Из определения 1 следует, что для гауссовых систем справедливо еще одно существенное допущение: а^- ф 0 для всех 3 = 0,1,2,....

Предположим, что в матрице системы (2) элементы некоторого конечного множества на главной диагонали равны нулю, т. е. = 0, к < ж. Пусть ко — 1 — максимальный номер элемента с нулевым значением на главной диагонали. Предполагаем также, что, начиная со строки с номером 3 ^ ко, гауссова система имеет хотя бы одно нетривиальное решение. Очевидно, такие системы существуют — этим свойством обладают, например, периодические или почти периодические системы.

В этом случае по аналогии с понятиями квазирегулярных [5] и квазипериодических [3] можно ввести понятие квазигауссовых систем. Будем называть квазигауссовыми системы, в которых условие гауссо-вости выполнено лишь во всех строках, начиная с некоторой 3 = ко, т. е.

У^ а^+рХэ+р = 0, 3 = ко, к0 + 1,..., к0 > 0, (4)

р

где а^- ф 0 для в сех 3 ^ ко-

Кроме того, задается конечная неоднородная, не обязательно гауссова, система уравнений с бесконечным числом неизвестных:

у^ с^рХр = Ъи 0 < г < ко — 1, (5)

р

причем на коэффициенты сг,р при г < ко, р ^ к должны налагаться определенные условия, а при г < ко, р < ко они могут быть и произвольными вещественными числами. В частности, в случае, когда матрица системы (5) имеет как бы верхний треугольный вид, некоторые элементы главной диагонали должны быть равны нулю.

Теорема 2. Решение квазигауссовой системы (4), (5) сводится к решению конечной системы, если выполнено условие (8).

Доказательство. Распишем конечную систему (5) следующим образом:

^о — ж

У^ Сг,рХр + Сг,рХр = Ъг, 0 < г < к0 - 1- (6)

р=0 р=ко

По предположению гауссова система (4) имеет хотя бы одно нетривиальное решение {Хг }Ж- Подставляя ее во вторую сумму в левой части выражения (6), получим в общем случае конечную систему ко уравнений с ко неизвестными:

к ж

У^ Сг,рХр = Ъг - Сг,рХр, 0 < г < ко - 1. (7)

р=0 р=к0

Предположим, что

ж

сг,рХр < ж, 0 < г < ко — 1, (8)

р=Ъ>

т. е. ряд в правой части системы (7) сходится. При выполнении условия (8) вопрос существования решения квазигауссовой системы (4) и (5) сводится к вопросу существования решения конечной системы (7). Если эта конечная система имеет решение, то, очевидно, найдется решение первоначальной системы.

Если гауссова система (4) имеет только тривиальное решение, то, очевидно, конечная система (5) имеет только конечное число неизвестных.

Замечание 1. Квазигауссова система (4), (5) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда гауссова система (4) имеет только тривиальное решение, а порядок системы (5) и ранг ее основной и

расширенной матриц равны к0. Квазигауссова система (4), (5) может иметь бесконечно много решений и в случае, когда гауссова система (4) имеет только тривиальное решение.

Замечание 2. Естественно квазипериодические и почти квазипериодические системы являются квазигауссовыми системами.

Вернемся к понятию метода редукции в широком смысле [3].

Определение 3. Если при построении метода редукции для решения бесконечных систем алгебраических уравнений количество неизвестных и количество уравнений остаются одинаковыми в усеченной системе, то говорим, что метод редукции понимается в узком смысле, а если количество неизвестных остается большим, чем количество уравнений, то говорим, что метод редукции понимается в широком смысле.

Рассмотрим гауссову систему (2) с общими коэффициентами. В соответствии с определением 3 систему (2) урезаем до конечной системы:

х—з

^2аз,з+Р Хз+р = 0, .7 = 0,1,2, ...,п - 1, (9)

р=0

где хг — п-е приближение решения х¿, при этом число уравнений все

п

Не нарушая общности, всегда полагаем, что ао,о = 1. Для решения конечной системы (9) поступаем следующим образом. Из последнего

п

вестных хг опускаем):

_ ах —1 х ___ _ ах —1 ,х

Хп-1 — Хп — йх — .

аХ —1 ,х —1 аХ —1 ,х — 1

Предпоследнее уравнение в (9) дает

ах—2 ,Х—2 Хх—2 + а,х—2 ,х — 1 Хх—1 + 0,х—2 ухХх

— I ( ах—1 ,х\ _п

— а-п-2х-?.Хп-2 + 0'п-2х-1--Хп-1 — и.

V

Отсюда имеем

аи-2,и-1 ап-2,-

хи_2 = —, где в2 =

аТ1-2 ап—2 ,и-2

Продолжая таким образом, по индукции получим

хи—г — вгхи—г+1, (Ю)

где

а

1—г,и—г^1 \ ~ ( 1 аи—г,и—г

ЕК 1 )* ип-г,п—г-\-р

и

•и—г,и—г

р

и

к=1

р 2 аи— ¿,и—г П вг — к (Ц)

аи-1 ■

=-:—, г = г,п— 1,

аи —1 ,и — 1

Теорема 3. Решением конечной гауссовой однородной системы (9) является выражение

= г = 1, 2,..., п, (12)

П ви—г+к к

где ви—^к определяется соотношением (11), хо — произвольное вещественное число.

Доказательство. Сделав замену индекса п — ^агв рекуррентном уравнении (10), т. е.

хг — ви—гхг+1, г — 0, 1, . . . , п ^ (13)

и решив (13) в обратном порядке, очевидно, получим (12).

Если вернуться к системе (9), как урезанной от бесконечной системы (2), то, очевидно, вместо выражений (12) и (13) соответственно будем иметь:

и ( —1 )гх0

г =1,2,..., п. (14)

П ви—г+к к

хг = —.ви—гхг+1, г = 0,1,,..., п — 1. (15)

Замечание 3. Из (14) можем заключить, что

11т V . ( 1)>"-, г =1,2,.... (16)

х—г

П Ит 8х—г+к к=1Х—то

Отсюда очевидным образом следует, что если последовательность 8п

х

имеет предел, то и последовательность решений урезанных систем хг

п

8х

указывает только на то, что метод редукции в широком смысле сходится и дает нетривиальное решение однородной гауссовой системы (2) в виде (16).

Замечание 5. В действительности предельный переход в выражении (11) не всегда осуществим, но однородная гауссова (например, периодическая) система (2) будет иметь нетривиальное решение типа (16). В случае периодической системы все зависит от характеристики системы. Если характеристика имеет нули, то периодическая система имеет соответствующее этим нулям решение типа (16). Они были названы фундаментальными решениями периодической системы [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, № 2. С. 78-92.

2. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, № 1. С. 125-140.

3. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

4. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М.: Физ-матгиз, 1960.

5. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Г И ТТЛ 1952

г. Якутск

Ц января 2011 г.