О квазипериодических бесконечных системах линейных алгебраических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

О КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Ф, М. Федоров

В работах автора [1,2] введены понятия гауссовых и периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ). Пусть задана следующая БСЛАУ:

где — известные коэффициенты, Ъ — свободные члены и — неизвестные. Совокупность численных значений величин ... на-

зывается решением системы (1), если после подстановки этих значений в левую часть равенств (1) мы получим сходящиеся ряды и все эти равенства будут удовлетворены.

Определение 1. Если матрица А = (о^) бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (1) имеет элементы а^- = 0 для всех г > 3, причем элементы главной диагонали не равны нулю, т. е. аз,з Ф 0 > 3 = 0,1,2,..., то говорим, что такая БСЛАУ (1) задана в гауссовой форме.

Рассмотрим гауссову бесконечную систему в ее краткой записи:

' а,охо + адXI + —ъ а,пх„ + • • • = Ъ0,

а,охо + а дXI + • • • + а,пхп + • • • = Ъ±,

(1)

а„,ох0 + а„д х\ +----Ь а.

х„ + • • • = Ъ

ж

(2)

© 2009 Федоров Ф. М.

где коэффициенты а^^р имеют специальный вид:

р-1

а],з+р = а^+к ^а^^ф 0 {з,р = 0,1, 2, .. .). (3)

к=0

Заметим, что для унификации обозначений в (3) и ниже можно поло-

жить П а^+к = 1, кроме того, не нарушая общности, полагаем, что

к

а а , ак

тами соотношением

ак+1,к+1 , п

ак = -, к > 0.

ак,к

Лемма 1. При выполнении условия (3) для коэффициентов справедливо соотношение

= ар V,. (4)

аз+р,з+р

Определение 2. Периодической БСЛАУ будем называть гауссову-бесконечную систему (2) с коэффициентами, удовлетворяющими соотношению (4).

Согласно лемме 1 система (2) с коэффициентами (3) также будет периодической бесконечной системой. Если коэффициенты а^- системы (2) удовлетворяют условию (3) или (4), то будем говорить, что выполнены условия периодичности.

В этой работе рассматриваем бесконечную систему, теория которой приводится непосредственно к теории периодических систем. Приставка «квази» введена по аналогии с понятием квазирегулярных систем [3]. Мы будем называть так однородные системы, в которых условие периодичности (3) или (4) выполнено лишь во всех строках начиная с некоторой ] = &о, т. е.

а],]+рХ]+р = 0, = &0, &о + 1,..., (5)

р

где коэффициенты удовлетворяют условию периодичности (3)

или (4).

Кроме того, задается конечная неоднородная система уравнений с бесконечным числом неизвестных:

ж

хр = ^, г < к0, (6)

р=0

причем на коэффициенты с^р при г ^ ко, р > к должны налагаться определенные условия, а при г ^ ко, р ^ к они могут быть и произвольными вещественными числами.

Поскольку основной системой квазипериодической бесконечной системы (5), (6) остается периодическая бесконечная система (2) с коэффициентами (3), то сохраняются такие понятия, как характеристика и

фундаментальные решения [1,2] периодических систем.

ар

/(х) в виде степенного ряда

ж

/х) = ]Г (-1) рархр (7)

р

и вводим следующее понятие.

/х

периодической системы (2).

Лемма 2. Любое фундаментальное решение периодической системы (5) выражается соотношением

_ (-1)" к°ако,кохк0 ■ > , /дч

где ^ является некоторым нулем характеристики /(х) (7) системы (2).

Доказательство. Согласно работам [1,2] для компонентов решения периодической системы (5) справедливо соотношение

Xi = -saiЖi+l, г > к0. (9)

Сделав замену индекса в (9), получим

х7" -

sai_l

(10)

Подставляя выражение (10) в самого себя к раз, имеем

= (~1)кх^к г йка— а—

Отсюда, сделав замену индекса к = г — ко и умножив числитель и знаменатель на ако — ако — ■ ■ ■ ао, получим (8).

Покажем, что выражение (8) действительно является решением системы (5). Подставляя (8) в систему (5), имеем

( —1У+Р 0 ара^р,^р ак0,к0 хк0

¿-ъ ~ -ЕЧР = 0' ' ..... п

коако1кохко (-1 )рар р

В работе [2] доказана

Теорема 1. Периодическая однородная бесконечная система имеет только тривиальное решение тогда и только тогда, когда характеристика /(х) (7) системы не имеет нулей.

Теорема 2. Решение квазипериодической системы (5), (6) сводится к решению конечной системы.

Доказательство. Распишем конечную систему (6) следующим образом:

ко ^

^ ] сг,рхр сг,рхр = ь^, 0 < г ^ ко^

р=0 р=к0+1

хр

кк к° { — 1)рс-

^с^рХр + (-1)к°акоМхковк° ^ а 8рР = Ъ(П) р=о р=к0+1 р,р

Если предположить, что

(~1 )РСг,р

Е

рк

ар,р

< то, 0 < г < к0, (12)

то, очевидно, ряд в (11) будет сходящимся. Следовательно, при выполнении условия (12) вопрос о существовании решения квазипериодической системы (5) и (6) сводится к вопросу о существовании решения конечной системы (11). Если эта конечная система имеет решение, то, очевидно, найдем решение первоначальной системы. □

к

рида (с^р) (1 ^ г ^ ко, 1 ^ р ^ ко) н расширенная матрица имеют ранг к

тогда и только тогда, когда характеристика

системы (5) не имеет нулей.

Доказательство. Пусть периодическая система (5) имеет нетривиальное решение, тогда на основании леммы 2 квазипериодическая система (5), (6) будет иметь бесконечно много решений. В случае существования только тривиального решения системы (5), очевидно, конечная система (11) по условию самого следствия 1 имеет единственное решение, тем самым единственное решение имеет и квазипериодическая система (5), (6). На основании теоремы 1 у периодической системы (5) существует только тривиальное решение тогда и только тогда, когда у / х □

Следствие 2. Если матрица (с^) (1 < г < ко, 1 < р < к0) и

к

к

имеет бесконечно много решений.

/х

ко один нуль, а порядок конечной системы (6) и ранг ее основной и

к

(6) имеет единственное решение.

р

Рассмотрим примеры решения квазипериодических бесконечных систем. Сначала приведем пример, когда матрица (с^,р) конечной си-

к

Пример 1. Пусть задана следующая бесконечная система:

^хр = Ь, г = 0, (13)

р

-^у]-хз+р = °> ] = 1,оо,к0 = 1. (14)

Найти решение бесконечной системы (13), (14).

Решение. Проверим периодичность системы (14). Поскольку коэффициенты данной системы имеют вид о^+р = , то а= (2] + 1)!, следовательно, числа авходящие в формулу (3), запишутся следующим образом:

р— _

Поэтому произведение П а^+к равно к

р— р— /О ' О -1 \ |

П а^к = \{{23 + 2к + 1){23 + 2к + 3) = ( •

к=о к=о ^ ''

Таким образом, справедливо соотношение

& + 2р+1)\ №+1)\& + 2р+1)\

аз,з+р ~

(2р)! (2р)!(2;/ + 1)!

р— р-1 (2^ + 1)! Ц Щ + 2к + 2)№ + 2к + 3) = ара^ Ц

(2р)!

кк

где

р—

ТТ (2;? + 2р+1)!

{2рГ ™ V-, ■ (2^.+ 1)!

тем самым показана периодичность системы (14).

Очевидно, уравнение (13) не удовлетворяет условию периодичности (3) или (4), таким образом, бесконечная система (13), (14) является квазипериодической системой. Поскольку ко = 1, то матрица (с^р) (О ^ г ^ 1,0 ^ р ^1) имеет порядок 2, а конечная система (6) для данного примера состоит только из одного уравнения (13), поэтому матрица (с^р) имеет ранг 1 < 2. На основании леммы 2 фундаментальное решение периодической системы (14) имеет вид

_ (-Гу-ЧЬг Хн~ (2г+1)!*<-1' ' 1 ]

где 1/в — нуль характеристики /(ж) периодической системы (14). Составим характеристику /(ж) системы (14):

Ж Ж

/(ж) = £(-1 Гарх? = ]Г(-1Г -—жр. (16)

р=0 р=0 ^

Найдем пули ^ характеристики (16), т. е. решим уравнение

f(l/s) = ^(-lf^I- = cos(l/v^)=0.

Отсюда заключаем, что s = sk = 4/n2(2k + l)2, k = 0, ±1, ±2,.... Подставляя решение (15) в первое уравнение (13), получим

отсюда следует

ж0 — &sxi (y~s sin ~~ ^ =

С учетом значений s имеем sin(-^j) = ±1, следовательно, уравнение (17) имеет два вида решения:

a) х{0к) = b + 6sfcv/sfcxi(v/si - 1), к = ±21, I > 0;

b) х(0к) = Ъ - 6sk^Xl + 1), к = ±(21 + 1), / > 0.

Отсюда видно, что решение жо = b соответствует тривиальному решению периодической системы (14). Два вида решения а) и Ь) для

(к)

компонента х0 получены соответственно в зависимости от четности и нечетности индекса к.

Пример 2. В системе (12), (14) добавим еще одно уравнение, точнее, в периодической системе (14) добавим уравнение при ] = 0, т. е. уравнение (13) остается в силе и к$ = 0. Решить систему.

Решение. Очевидно, матрица (сг,р) имеет порядок 1, и ранг ее равен 1. На основании леммы 2 фундаментальное решение периодической системы (14) в этом случае имеет вид

где !/вк те же нули характеристики предыдущего примера. Подставляя (18) в уравнение (13), получим

Гт = х0у/нет ( —!= ) = Ъ.

(19)

С учетом значений вк для компонента из (19) имеем также два вида решения:

к Ь , к -Ь , хХ = _ для четных к; хХ = _ для нечетных к.

л/ёк л/ёк

Примеры приложения квазипериодических бесконечных систем к решению прикладных задач математической физики приведены в монографии автора [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.

2. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 125-140.

3. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехтеориздат, 1952.

4. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

г. Якутск

9 декабря 2008 г.