К теории периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

К ТЕОРИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Ф, М. Федоров

Класс периодических гауссовых систем открыт и изучен автором в работах [1,2]. Данный класс систем оказался достаточно широким, в него входят, как самый простой подкласс, системы с разностными индексами. В работах [1-3] отражено достаточно широкое приложение периодических гауссовых систем к решению задач математической физики с применением граничного метода. Отрадно отметить, что решение периодических бесконечных систем всегда можно получить в замкнутом виде, что немаловажно для практических приложений. Кроме того, подход, предложенный для изучения этого класса систем, может стать основой для исследования общих бесконечных систем.

В настоящей статье периодические системы рассматриваются с точки зрения условий существования нетривиальных решений однородных систем.

Рассмотрим однородную гауссову систему в краткой записи [1,2]

^2аз,з+Рхз+Р = °> .7 = 0,1,2,..., (1)

р=0

В работе [4] получена следующая теорема о необходимых и достаточных условиях существования нетривиального решения однородных бесконечных гауссовых систем.

Теорема 1 Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения однородной гауссовой системы (1) является

© 2013 Федоров Ф. М.

выполнение следующих условии для каждого у:

Е =0, , = 0,1,2,..., (2)

р=0 чзП + к

к=0

-1

где для унификации обозначений принято П = 1 для любого у.

к=0

При удовлетворении условий (2) решением системы (1) являются выражения вида

(-1) ^о

Xi —

П S(k) к=0

i=l,2,..., (3)

x0 —произвольное вещественное число, S(k) удовлетворяют уравнения (2) для каждого j.

Ясно, что при получении теоремы 1 предварительно разделили все

уравнения системы (1) на a,j,j, что правомерно, поскольку ajj ф 0 для j

Определение. Систему уравнений (2) назовем характеристикой, а числа S(i) — характеристическими числами соответствующего решения (3) гауссовой системы (1).

Si

ального решения могут иметь следующий вид:

1) S(i) = S = const, i = 0, оо,

2) S(i) = /(г)5, S = const, i = 0,oo, S ф 1,

3) S{i) = f{i),i = О^Б,

/i(i)Sb i G V, /2(i)S2, i G V, S i .................. ......

Sk = const, Vk с N.

/n-1 (i)Sn-i, i G Vn—,

/n(i)Sn, i G Vn,

n

Здесь U Vk = N V П Vj = 0 при i ф j.

k=l

Рассмотрим частный случай гауссовой системы, а именно периодическую систему, причем ее простейший вид, т. е. однородную гауссову систему с разностными индексами [1,2]:

apxj+p = 0, j = 0,1,2,.... (4)

p=0

В этом случае характеристика каждого решения уравнения системы (4) имеет вид

ЕР_(Г1)?Ч =°> j = 0,1, 2,.... (5)

p=0 П SV + к)

к=0

Найдем те решения системы (4), если они существуют, для которых характеристические числа постоянны, т. е. выполняется условие 1 )£(«) = £ = const. В этом случае, очевидно, уравнения, составляющие характеристику (5) искомого решения, совпадут между собой и она фактически будет характеристикой самой системы (4) [1,2]:

= о «и

pS

Следовательно, согласно теореме 1 каждое решение S уравнения (6) дает по формуле (3) решение системы (4):

= ¿ = 0,1,2,.... (7)

Таким образом, только решения вида (7) системы (4) имеют постоянные характеристические числа S, которые определяются из уравнения (6). В работе [3] решения типа (7) названы фундаментальными решениями периодических систем, в частности, системы (4). Если предположить, что уравнение (6) не имеет кратных корней, то множество всех решений вида (7) дает полную систему фундаментальных решений, как показано в [4]. Но данное утверждение также непосредственно следует из теоремы 1, поскольку искомые решения системы

(4) с постоянными характеристическими числами Б следуют только из уравнения (6).

Пусть характеристика (6) имеет кратные нули. Найдем решения системы (4), определяемые этими нулями. Исходя из характеристики (6) искомых решений найдем прежде всего характеристические числа г), соответствующие этим пулям.

Лемма 1. Пусть — является нулем функции /(ж) кратности V. Тогда верна следующая цепочка равенств:

Доказательство леммы можно найти, например, в работе [5].

Лемма 2. Если ^ является к-м нулем характеристики (6) кратности Vk, то характеристические числа Бд^Дг) искомого решения системы (4), соответствующие нулю имеют вид

к

Доказательство. Заметим, что по условию леммы уравнение (6) удовлетворяется независимо от кратности нуля —^ (т = 0), т. е. и при 2 = 0. Кроме того, при т выполняются дополнительные соотношения (8), характеристические числа Бк,т(г) должны удовлетворять характеристике (5) соответствующего решения при 2 ^1.

В силу дополнительных соотношений (8) при т характеристические числа Бк,т(г) необходимо искать в виде (2), т. е. в виде Бк,т{г) = /т(«)Б&. Исходя из видов характеристики (5) искомого решения и выражений (8), можно предположить справедливость формулы (9), т. е.

т

Бк, г > 0, т = ОД,..., Vk — 1, Бк = const, (9)

Докажем, что это действительно так. Подставляя формулу (9) в характеристику (5) и обозначая ее через J, получим

т_у (-l)p(j+P)maP _ (~1)раР -t m_t

J ~ 2s Am OP ~ Z^ jmtf P ' l>1U''

p=o j p=o j t=0

где Cm — биномиальные коэффициенты. Расписывая выражение (10), имеем

m С 1 \ppm-ta

t=0 p=0 k

Отсюда с учетом леммы 1, т. е. равенств (8), заключаем, что J = 0 для любого j > 1. □

Теорема 2. Если S^ является к-м нулем характеристики (6) кратности vk, то выражения вида

x[k'm) = -—Х° , г > 0, m = 0,1,... ,i/k — 1, S'fc = const, (11)

x

к

(6) без учета кратности.

Доказательство. В силу теоремы 1 выражения (11) являются решениями системы (4). Докажем линейную независимость решений (11), сначала это сделаем для любой пары решений из (11). Пусть некоторые два различных решения xi , xi из (11) линеино

зависимы, т. е. имеет место равенство

^ (~1)Ч^х0 , ^ (~1)Ч^х0

С1-ql- + С2-- -

причем Ci = const и полагаем, что Сцф 0 (¿=1,2). Отсюда вытекает, что

Сх = -C2i{m2-mi)

\Sk2

Возможны два случая.

1. Пусть Skl = Sk2, тогда необходимо ш\ ф m2, в противном случае имеет место

(fci,m!) _ (~l)^mia:o _ (~1)Чт2Ж0 _ (к2,т2) xi ~ qi ~ qi — xi '

Sfci Sfc2

что невозможно по предположению. Следовательно, C = "mi) ф const,

т. е. получаем противоречие, поэтому C = C = 0. □

2. Пусть Skl ф Sk2, отсюда C = —C2/(i) Ф const, следовательно, C = C = 0.

Пусть n = 3, т. е. некоторые три различных решения из (11) линейно зависимы:

^ (~1)Ч^х0 , ^ (-1)4^X0 , ^ (~1)Ч^х0

-ы--hC2-^--ЬОз-- -U, (12)

Sfcl Sfc2 Sfc3

причем Cj = const (г = 1,2,3). Если предположить, что, например,

C = 0, то го предыдущего следует C = C = 0, поэтому полагаем,

что Сгф 0 (г = 1,2,3).

Из (12) вытекает

Ci = -C2«(m2-mi) (jZ^j - С3г{тз-т1) (j^j . (13)

По предположению все решения различны. Теми же рассуждения-n

хотя бы один член суммы, зависящий от г. Пусть C = min Ck. Тогда

из (13) следует, что C = С/(г) ф const, следовательно, C = C = 0, что противоречит случаю n = 2. Поэтому C = C = C = 0. □ n—

n

индукцией линейная независимость любых n решений гада (11). □ Заметим, что несколько другое доказательство линейной независимости решений вида (11) дано в [4].

Замечание 1. При доказательстве теоремы 2 ие использовалось ограничение на количество нулей характеристики (6). Следовательно, теорема 2 верна и в случае бесконечного числа нулей характеристики (6).

Следствие 1. Решения вида (11) являются фундаментальными решениями, и они образуют фундаментальную систему решений F гауссовой системы (4). В общем случае множество F может иметь счетную мощность.

Следствие 2. Если систему (4) рассмотреть при j > k0, то выражения вида

*« = . i > *». (14)

где 1 /S — некоторый нуль характеристики (6), являются решением системы (4), j ^ ко-

F

тальных решений гауссовой системы (4).

Доказательство. Пусть характеристика (6) имеет только конечное число N нулей = -щ- с кратностью Vk, где k = 1, 2,..., N. Если vk > 1, то по лемме 1 имеют место равенства (8). Исходя из них при j > 0, легко составить соотношения

Е {~inL+Jrap = 0, -=1,2.....(15)

U j S

Можно убедиться, что

rs{ = spkjm(j + ir...(j+P-ir =у] ( 3 + г Ys U+p)m (j + i)m...(j + p-i)m(j + p)m ¿¿u + i + iy k'

(16)

Равенства (15) с учетом выражений (16) говорят об удовлетворении необходимых условий (5) существования независимых решений (11) только характеристическими числами вида Sk,m(i) = Sk = const или

Sk,m{i) = (Sk = const) Иными словами, других характери-

стических чисел, определяющих независимые от системы F решения, но не входящие в нее, не существует. Этот факт подтверждается и результатами работы [5]. Очевидно, равенства (15) и соотношения (16) не зависят от количества нулей характеристики /(ж) (6), точнее, от конечности или бесконечности числа этих нулей. Следовательно, фун-

F

или бесконечности числа нулей характеристики /(ж) (6). □

Следствие 3. Поскольку любое решение однородной гауссовой системы (4) входит в линейную оболочку фундаментальной системы F

при конечном числе N нулей характеристики (6)

N (-Di Vfc-1 Xi = Е Е Cm.fc = COnst,

fc=l k m=0

при бесконечном числе нулей Sk характеристики (6)

^ ( 1 )i — Xi = E si ^ C7m'fc*m' Cm'k = const'

k m=0

если ряд в последнем выражении сходится.

Теорема 4. Если характеристика (6) не имеет нулей, т. е.

р=0

то система с разностными индексами (4) имеет только тривиальное решение.

Доказательство. Действительно, условие (17) говорит о невыполнении необходимого условия (5) существования нетривиального ре-

□

Можно привести другое доказательство, которое не использует необходимое условие (5). Подставляя выражение (6) в систему (4) при

2 ^ ко, получим

(-1 у-к°хко ул (-1)Рар р=0

В силу условия (17) последнее выражение равно нулю тогда и только тогда, когда хко = 0, но ко — произвольное целое число (ко ^ 0), следовательно, получим единственное решение (тривиальное). □

Перейдем к обобщению гауссовых систем с разностными индексами.

Пусть система (1) (после разделения ее на а^Д является периодической системой. Напомним [1,2], что система (1) называется периодической, если ее коэффициенты имеют вид

а

'3,3+Р

а3+р,3+р

= ар для всех (18)

Теорема 5. Если ^ является к-м нулем характеристики (6) кратности V к, то выражения вида

(к,ш) (-1 )ггтжо . п п , , /1Пч

хг -~Б1—' « > 0, то = 0,1, .. ., г/к - 1, (19)

аг,г^ к

являются линейно независимыми решениями периодической системы (1), где жо — произвольное вещественное число, к пробегает пулн характеристики (6) без учета их кратности.

Доказательство. Исходя из обозначения (18), систему (1) можем переписать в виде

а3,3+рх3+р = ара3+р,3+рХ3+р-рр

Обозначая выражение а3+р13+рх3+р как новое неизвестное Х3+р, приходим к системе с разностными индексами (4), независимые решения которой имеют вид (11). Поэтому

у{к,га) _ (-1)ЧтХр _ (-1 )ггта0;0ж0 _ (к,т) Л1 — — сч ~ аМЖг

йк йк

(г > 0, т = ОД, . .., - 1),

где ^ является к-м нулем характеристики (6) кратности Vk, хо — произвольное вещественное число, к пробегает нули характеристики (6) без учета их кратности, следовательно, х\к'т^ = ^ (г > 0). Линей-

ная независимость решений (19) непосредственно следует из линейной независимости решений (11). □

Как видно, данное доказательство основывается на удачной замене неизвестных, и характеристические числа Б(г) как таковые не используются для найденного решения. Теперь дадим другое доказательство с применением характеристических чисел Б(г). Найдем эти числа из необходимого условия (5) существования нетривиального решения, при этом используем другое представление коэффициентов периодических систем [1,2]:

р- 1

аз,з+р = араз,з П °-з+к Vаз,з Ф 0 и,Р = о, 1, 2,...).

к=О

ак+1,к+1 /, ^ пч

ао = «1Д, ак = - (к > и).

ак,к

-1

Здесь для унификации обозначений можно положить П %'+к = 1-

к

На основании этого представления можем писать

р- 1_

СО / ,\р ОО

(-) р ара3,3 11 а3+к

J _ ^ У~-У а3,3+р _ ^_к=О

Р=0 *з/- БЦ + к) Р=° ч/и БЦ + к) кк

Вспомнив представление чисел ак = ак+1}к+1 /ак,к (к > 0), приходим к следующим соотношениям:

р-1

то (-1 Уар П аз'+к+1,з'+к+1 то / 1\Р

] = у^--к=0-= V 1 (~1} ар-. (20)

Р— Р-1 „, . . ,, 4 '

р=0 П а0+к,0+кБ{3 + к) П кк

При предположении, что

зи + к) = + к),

аз к,з к

приходим к необходимости доказательства удовлетворения условия (5) для существования нетривиального решения однородной гауссовой системы с разностными индексами (4), т. е.

=0> ..... (21)

р=° П + *0

к=О

Тогда по лемме 1 характеристические числа Я (г) обязаны быть такими:

£(г) = ( — ) Бк, вк = соп^, (22)

где удовлетворяет условиям теоремы.

Подставляя (22) в левую часть (21), получим равенство (13): р-1 / • , , \т 1тЬр

р=0 П Щг) вк р=о

к=0

т. е. доказано выполнение условия (5).

Таким образом, характеристические числа £(г) запишутся так:

/ ■ \т

= = ^ ^ г > 0, (23)

«0 ,0 аг,г \г+1/

тогда

1 п 11 "0,0 , -, п. . | г | "0,0'

й=0 к=1 ' к=1 «г,г I I '

Следовательно, согласно формулам (3) решения, соответствующие числам (23), будут иметь вид

к=0

Таким образом, получили искомое решение (19). □

Как прямое следствие теоремы 5 выпишем следующие теоремы.

Теорема 6. Решения однородных гауссовой системы с разностными индексами (4) и периодической системы (1) с равными числами {ар}ТО характеристики (6) изоморфны.

Теорема 7. Решения однородных периодических систем с равной характеристикой изоморфны. Свойства двух периодических систем различаются тогда и только тогда, когда различны их характеристики.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

2. Федоров Ф. М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011.

3. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.

4. Федоров Ф. М. К теории гауссовых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, вып. 2. С. 209-217.

5. Егоров И. Е., Федоров Ф. М. О полной системе фундаментальных решений периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 1. С. 8-17.

г. Якутск

3 октября 2012 г.