О полной системе фундаментальных решений периодических бесконечных систем линейных алгебраических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.6:519.61

О ПОЛНОЙ СИСТЕМЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКИХ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

И, Е, Егоров, Ф, М, Федоров

В работах [1-4] изучены однородные гауссовы бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, так называемые гауссовы системы с разностными индексами:

О ОО

^ ^ ai-jxi — ^ ^ QjpXj^-p — 0, j — 0, 1, 2, . . (1)

i=j p=0

а также периодические системы:

О

^3 aj,j+pxj+p — 0, j — 0^1,2,..., (2)

p=о

где коэффициенты aj,j+p имеют периодический характер:

аз,з+р _

aj+p,j+p

Vj.

(3)

Составим из коэффициентов ap гауссовой системы следующий степенной ряд:

О

/(х) = £(-l) papxp = 0, (4)

p= О

полагая, что его радиус сходимости r положителен.

Функция /(х) называется характеристикой системы (1). В работе [4] получена следующая

© 2010 Егоров И. Е., Федоров Ф. М.

Теорема 1. Решения гауссовой системы с разностными индексами (1) и периодической системы (2) изоморфны.

При этом взаимно однозначное соответствие осуществляется следующим образом:

\/xi = ayiyi и \/yi = —, (5)

ai,i

где Xi, yi соответственно решения систем (1) и (2).

Ясно, что характеристикой периодической системы (2) является характеристика /(х) (4) соответствующей ей гауссовой разностной системы (1).

Таким образом, для определения общего решения гауссовой однородной периодической системы (2) достаточно найти общее решение более простой системы: однородной гауссовой системы с разностными индексами (1). В настоящей работе изучаем полную систему фундаментальных решений периодической системы (2). В упомянутых работах [1-4] подробно исследован случай, когда характеристика /(х) имеет только простой нуль, здесь изучается общий случай, когда характеристика /(х) может иметь и кратные нули.

Теорема 2. Если является k-м нулем характеристики (4) кратности vk, то выражения вида

Дк) _ (—1)*хо Дк) _ ( —1 У'1х0

Хг — г ’ Хг ~ г ’

sk sk

(к) _ (-1)гг2хо (к) _ (-lyi^^xo (6)

xi — д > ■ ■ ■ > xi — д >

s k s k

i > 0, k = 1, 2,..., N,

являются линейно независимыми решениями системы (1), где хо — произвольные вещественные числа, N — число нулей (без учета кратности) характеристики /(х).

Доказательство. Легко показать, что выражения в (6) линейно независимы. Действительно, пусть какие-то два выражения в (6)

линейно зависимы, т. е.

Ci/i(i,skl) + C2/2(i, sk2) = 0 V i, C = const, C = const,

где

(fci) (fc2) (-1У/2(г)х0

Щ = ----------1------ = x\ ’ = ----,------- = /2 (*, Sk2

sk sk

Очевидно, C = /(i, skl, sk2)C2, но /(i, skl, sk2) ^ 1 для любого i, сле-

довательно, C = C = 0.

Пусть теперь три выражения из (6) линейно зависимы т. е.

C/i(i,sfcl) + C2/2(i,sfc2) + C3/3(i, sfca) = 0 Vi, Ci = const (/= 1, 2,3),

причем из предыдущего следует, что все Ci не равны нулю.

Ясно, что

Сз = s^, sfc3) + sfc2, sfc3) = C^(i + С sfci, sfc3)

+ C^(i + С sfc2, sfc3) = О-'РПС sfci, sfc3) + C^(i, sfc2, sfc3)

— O.'Pilb sfci, sfc3) — C^(i, sfc2, sfc3) + + C sfci, sfc3)

+ £'2‘fi2{'i- + 1, Sfc2, Sfc3) = C*3 + C’i<y51(*, Sfcj, Sfc3) + С2р2{Ь sk2j sfc3)-

Тогда очевидно, что

Om(*, Sfci; Sfc3) + C2<p2(i, Sfc2, Sfc3) = 0,

следовательно, C = C = 0, поэтому и C3 = 0. Продолжая таким образом, убеждаемся, что все выражения в (6) линейно независимы.

Покажем, что выражения (6) действительно являются решениями системы (1). В силу того, что ^является нулем функции /(ж) кратности г/*,, очевидно, справедливы соотношения /'(Т.) = 0, =

0,..., /(I'fc~1) (Т-) = 0, но /(l/fc)(^:) 7^ 0. Следовательно, для то (1 < m ^ Vk — 1) имеет место

/« i)=Е

4 7 p=m

(-1 )рр(р - 1) ... (р - то + 1)ар

р—т

= sr£

p=0

( —1)pp(p — 1) . .. (p — m + 1)ар

sP

= 0, (7)

или при sk ф 0 получаем

p—yj

’V

= 0, 0 < m < Vk - 1. (8)

Но из последнего соотношения с учетом (4) следует цепочка равенств

Действительно, при m = 0 из условия теоремы 2 получаем первое соотношение выражения (9). Второе соотношение в (9) непосредственно следует из (8) при m = 1. Пусть m = 2, тогда имеем

следовательно, получаем третье соотношение в (9) и т. д.

Известно [1,4], что первое соотношение в (6) является фундаментальным решением системы (1). Подставляя второе соотношение из (6) в систему (1), получим

Поступая аналогичным образом, убеждаемся в том, что выражения (6) являются решениями системы (1), если только справедливы соотношения (9), что и требовалось доказать. В соответствии с работой [4] введем следующее понятие.

Определение 1. Каждое решение вида (6) назовем фундаментальным решением гауссовой системы линейных уравнений с разностными индексами (1), а саму систему решений (6) — системой фундаментальных решений.

(9)

Замечание 1. Каждое фундаментальное решение определено с точностью до произвольного множителя xg-

Замечание 2. Если число нулей характеристики (4) конечно и равно N без учета кратности vk, то число фундаментальных решений,

N

входящих в систему (6), равно vk.

k= 1

Определение 2. Система фундаментальных решений (6) называется полной, если любое решение гауссовой системы (1) является линейной комбинацией фундаментальных решений из системы решений (6).

Следствие 1. Для любых фундаментальных решений (6) гауссовой системы с разностными индексами (1) справедливы соотношения

xik) = - {—рф] skxi+Ы * > 1, к= 1,2, т= 1,2, ...,vk - 1,

где x[kk — компоненты фундаментального решения (6), соответствующего k-му нулю 7- характеристики (4), щ — кратность этого нуля.

Покажем, что если нули характеристики /(х) составляют конечное множество, то система решений (6) является полной системой фундаментальных решений однородной гауссовой системы с разностными индексами (1).

Предположим, что функция

A(z) = apz-p

p=0

регулярна для r < |z| и имеет в кольце r < |z| < R конечное число нулей, где

г = Пт ^/|а„| < R.

П—— Ж

Решение системы (1) будем искать так, что

1 = R > г.

Доопределив соответствующим образом xk для k < 0, получим, что система (1) удовлетворяется при j = ОД,2,.... Тогда имеем систему

—j — l то

Т apxj+p Т ^ apxj+p — 0? j — 1 ? ^, 3,...,

p=0 p=—j

(10)

apxj-p — o,

p=0

j = 0,1,2,....

Заметим, что в силу признака Коши ряды слева в (10) абсолютно сходятся.

Обозначим

г0 = Пт С|х_„| < Д.

n——то

Пусть N — число нулей zk функции A(z) с кратностью лежащих внутри кольца r < |z | < R. Без ограничения общности можно считать, что

R < |zfc| < r0, k= 1, 2,... N.

Рассмотрим аналитические функции

X+(z) = y^xnzn (|z| < R, X (z) = ^xnzn (|z| > r0).

n=0 n= — 1

Выберем числа щ, p2 так, чтобы r < щ < R, щ < р2 < R. Тогда имеем

1 [ X+{z)dz 1

X (z)dz

2ni J zn+1 N=pi

—j—i

E

p=0

apx j+p —

2ni

2ni J zn+1

|z| = P2

J— ap z—p) X — ( z)

r=o_______/_______

Д+1

dz,

(И)

|z| = P2

E

Ё apz p X+(

_ i f \p=-j J

_ apXj+p~2xt J Д+1

p j N = Pi

■dz (j = —, -2,...)

z

О

архя-р

p=о

Имеет место

|z|= pi

Л(*)*+(*)

ZJ+!

dz j = l,2,...).

(12)

Лемма. Справедливы равенства

( Е apz—3X+(z)

л= J Чр~° zj+1 ------dz = О O' = -1,-2,...),

|z|=pi

( Е aPz—3 X—(z)

J2= j Kp—j zjJ-------dz = 0 0 = -1,-2,...),

|z| = P2

J3^ J A{Z)J+1 {Z) dz = 0 (j =0,1,2,...).

|z| = P2

Доказательство. Заметим, что функция

z—j—1 ( E apz-pX+(z3 j = -1, -2,...)

V p=o J

является аналитической в |z| < Rq. Тогда по теореме Коши получим J\ — 0.

Нетрудно видеть, что для J2 имеет место представление

ОО — о

J2 = ''У ) ap xk

Р= — j k= — 1

При этом в интеграле по окружности |z| = р2 степень z не превосходит —2, поэтому данный интеграл равен нулю, т. е. J2 = 0. Аналогично показывается, что J3 = 0. Лемма доказана.

В. С. Рогожин в работе [5] получил следующую теорему.

J z-p+j)+k—1 dz j = —l, —2 ,...).

Теорема 3. Пусть A(z) регулярна в кольце ra < |z| < Ra, а B(z) регулярна в кольце rb < |z| < Rb (rb > Ra) я для n = • • • — 1, 0,1,... выполняются равенства

_l [ дъ ' [

2 яг J zn+1 2 яг J zn+1

\z\=p \z\= P2

(Га < Я < Ra, ГЬ < p2 < Rb).

При этих условиях A(z) и B(z) аналитически продолжаются в кольце ra < |z| < Rb; в этом кольце A(z) = B(z).

Эта теорема аналогична «общей теореме» [6], применяемой в теории преобразований Фурье для перехода от интегральных уравнений типа свертки к задачам теории функций комплексного переменного.

Теорема 4. Решения вида (6) гауссовой системы с разностными индексами (1) образуют полную систему фундаментальных решений системы (1), если характеристика (4) имеет конечное число нулей.

Доказательство. В силу леммы равенства (11) принимают вид

-j-1

apxj+p

p=О

Z|= Р 2

Д+1

dz,

apxj+p

p= —

A(z)X+z)

Д+1

dz

— I, —2,...

(13)

Снова с учетом леммы после подстановки выражений (12), (13) в систему (10) получим равенство

J_ f A(z)X+(z) _ 1 Г A(z)X-(z)

2л i J Д+1 2л i J Д+1

\z\=pi \z\=P 2

где j — любое целое число.

Тогда по теореме 3 функции A(z)X+(z) и — A(z)X-(z) аналитически продолжаются в r < |z | < R и

A(z)X+(z) = —A(z)X (z), r < |z| < R.

Стало быть, функции X+(z) и X— (z) регулярны в r < |z| < R всюду, кроме нулей функции A(z), и X+(z) = —X—z). С учетом этого имеем

_ 1

2ni

X+(z) zn+1

dz,

L

где L ограничивает кольцо R < |z| < г-q.

Тогда аналогично работе [5], используя теорему о вычетах, получим, что

1 (i + 1) (i + l)(i + 2)... (i + Vfc — 1)

~*+l ’ ~*+2 ’ ' ' ' ’ i+i'k

zk zk zk

(14)

являются линейно независимыми решениями системы (1), отвечающими корню Zk при к = 1, 2,..., N. При этом — — является корнем характеристики (4) кратности vk.

Нетрудно видеть, что, полагая zk = — sk и умножая все выражения в (14) на произвольное число щ (xq ф 0), получим систему независимых решений (6) бесконечной системы (1). Но выражения (14) являются полной системой независимых решений (1) для каждого нуля zk функции A(z), иными словами, для каждого нуля - А- характеристики /(х), что и требовалось доказать.

Следствие 2. Если ^является к-м нулем характеристики /(х) (4) кратности vk, то выражения вида

xk =

( —1) R

xk =

( —1) Чх0

‘‘ k

‘‘ k

к = {-Афг2ха * ausi ’

( —1) ‘i

ijvk — l

х0

i MIR < к < N

J,iiak

(см. (6)) образуют полную систему фундаментальных решений периодической бесконечной системы (2).

Доказательство следствия очевидным образом следует из теоремы 1 и второго выражения в (5).

Замечание 3. В общем случае функция A(z) является целой функцией, не равной тождественно нулю. Пусть она имеет бесконечное множество нулей, тогда, как это следует из общей теории функций, множество нулей A(z) не может иметь предельную точку в ограниченной области комплексной плоскости. Поэтому если характеристика /(ж) имеет бесконечное число нулей, то индукцией по N можно показать рассуждениями, аналогичными приведенным выше, что периодическая бесконечная система (2) имеет бесконечное число фундаментальных решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. I // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 78-92.

2. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. II // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 1. С. 125-140.

3. Федоров Ф. М. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. III // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 69-83.

4. Федоров Ф. М. Периодические бесконечные системы линейных алгебраических уравнений. Новосибирск: Наука, 2009.

5. Рогожин В. С. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений // Уч. зап. Ростовск.-на-Дону гос. университета. 1959. Т. 43, вып. 6. С. 73-82.

6. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.

г. Якутск

26 ноября 2009 г.