CC BY
104УДК 512.6:519.61
О РЕШЕНИИ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Ф, М, Федоров, Т, Л, Осипова
Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений с бесконечным множеством неизвестных называется система уравнений
а1,1X + а\,2 х + ... = Ь\,
а2 д х\ + а2,2 X + ... = Ь?, (1)
где а^ — известные коэффициенты, Ъ — свободные члены и х^ — неизвестные. Система численных значений величин назы-
вается решением системы (1), если после подстановки этих значений в левую часть равенств (1) мы получим сходящиеся ряды и все эти равенства будут удовлетворены.
Теория бесконечных систем линейных уравнений возникла и развилась в связи с теми приложениями, которые она имеет в вопросах интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, в теории интегральных уравнений и в особенности при решении граничных задач математической физики [1,2].
Теорию бесконечных систем линейных уравнений с бесчисленным множеством неизвестных начали разрабатывать в конце XIX — начале XX вв., и, как отмечает автор работы [1], имеется достаточно обширная литература, посвященная ей. Следует отметить, что теория имеет вполне законченный вид (с точки зрения приближенного численного решения) только в тех случаях, когда система регулярная
© 2008 Федоров Ф. М., Осипова Т. Л.
и вполне регулярная или имеет мажорантную систему. Кроме того, для нормальной системы может быть развита теория определителей [1]. Вместе с тем, как отмечено в работе [1], до сих пор теория бесконечных систем линейных уравнений не получила вполне законченного вида, в настоящее время появляются эпизодические работы типа [36]. В частности, автор работы [4] исследует разрешимость системы, коэффициенты которой обладают следующим свойством: для всякого натурального числа п >2 найдется строго возрастающая последовательность натуральных чисел п такая, что
Подавляющее большинство работ, в которых предлагаются методы решения (алгоритмически реализуемые без труда) бесконечных систем линейных уравнений, посвящено приближенному численному решению.
Данная работа в отличие от упомянутых посвящена аналитическому решению однородной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида [2]
г=0
Методом Гаусса, используя математическую индукцию, систему (2) можно свести к ступенчатому виду:
Далее предполагаем, что аф 0, т. е. определитель усеченной
п
систему вида (3), при этом (чтобы иметь ненулевое решение) число пп
Теорема 1. Пусть задана СЛАУ
Ит = то, ] = 1, 2,..., п — 1.
(2)
(3)
П
(4)
Тогда неизвестные xi выражаются через хп следующим образом:
n—i
х^ (-1 )п-1хп\\ Бр, г = 0 ,п - 1, (5)
р=1
где
-ЗП-3+1 I ( 1 ап-^,п-.
Б _ ап-],п-]+1
3 а • • '
3+р
Р-1
Р 2 ^-¿п-, П ^'-к (6)
к=1
ап- ,
А = ' , ¿ = 2,п - 1.
ап-1,п-1
Доказательство. Подставляя (5) в левую часть (4), имеем
п п-¿-1
^ ^ ajixi = (-1) хп ^ | Бк
к=1
Sn-j
аj,j+l
л,3,3
n-j-p
n-j (-1 ^З'+Р П Бк"
п-з-1
р=2
к=1
■3,3 П Бк
О
причем для унификации обозначений будем считать, что П Бк = 1-
к=1
Теперь, учитывая соотношение п-3-Р
П Бк /р-1 \ -1
п--- = П ^П-3-Й
П ^к ^к=1 / к
и используя выражение (6), убеждаемся в справедливости (5).
Следствие 1. В системе (4) соседние неизвестные связаны друг с другом следующим образом:
х^ = -Бп-^х^х, г = 0,п - 1. (7)
Замечание 1. Систему (4) можно рассмотреть двояко: во-первых, как самостоятельную конечную систему, во-вторых, как урезанную от
бесконечной системы (3). В последнем случае, естественно, вместо хг подразумеваются их приближенные значения хг и для простоты, предполагая, что хг = Ит хг, опускаем верхний знак. Разумеется, такие
п—
системы существуют, хотя бы регулярные системы, для которых получена соответствующая теорема [1]. В этих терминах выражение (7) примет вид
хг = -( Ит Бп-г)х»+1, г = 0, то. (8)
п—
Таким образом, исследование разрешимости бесконечной системы (3) сводится к изучению сходимости предела (6), который можно переписать в виде
о _ а3,3+1 , п- (-1)р+1 ащ+р с _ ап-1,п . _ УГ—-тт
Бп-3~ -077 +Ъ-рт-, Б1-ап~Г~Г, 7"0'п-2.
'3,3
р- ап- ,п-
р 2 а3,3 П Бп-3-к к=1
Систему (4) можно преобразовать следующим образом:
п- 3
а3,3+рх3+р = 7 = 0,п - 1, азз ф 0. (9)
р
а3,3 р
вид
р-
а3,3+р = аРа33 П а3+к, Р > 1. (Ю)
к
а
-
и П а3-+к = 1, тогда можно принять р ^ 0.
к
Теорема 2. Если коэффициенты системы (9) представимы в виде (10), то решение системы (9) сводится к решению системы
п- 3
УЗ арУз+р = 0, . = 0,п - 1, (11)
р
при этом неизвестные уг выражаются через уп по формуле
п-г
уг = (-1) п-гУп\{ Бк, г = 0;П—[, (12)
к
где
£п-3 — а1 + ^^
П 3 (-1)Р+1 ар
Р=2РП Sn-з-k к=1
, £1=аь ^ = 0, п - 2. (13)
Доказательство. Легко видеть, что, подставляя (10) в систему (9) и обозначая
р-1
У3+Р = П
а3+к х3+р,
к=0
(14)
получим систему (11), при этом каждое уравнение в (9) умножим 3-1 _
на выражение П а3-к.
к=1
С учетом (5) выражение (14) можно записать в виде
/ 1\п—3—Р к—О
У3+Р = (-1) 3 РУп——
Р-
П а3+к п—3'-Р
- П 5к.
п—3 —1
а3 к к
к
Для коэффициентов (10) из соотношения (6) следует, что
РР-
п—3 (-1 )Р+1 ар П а^к
к
+ —р—-
р=2 п £
(15)
£п—3 — а3
к
п-3-к
- а3 £ п —3 7
(16)
где
РР-
п—3 (-1 )Р+1 ар П а^к £п—3 = а1 + р—1 _---•
Р=2 П (£п—3—ка3+к) к
Отсюда и вытекает равенство (13). Кроме того, £1 = а1, поскольку справедливо (16). Так как
р—1 п—3—Р
а3 к ап-к
к=0_^_ _
п—3—1_ " '
а3 к
к
то, учитывая (16), из соотношения (15) получим (12), что и требовалось доказать.
Замечание 2. Сходимость последовательности (13) рассмотрена в работе [7].
Перейдем к рассмотрению конкретного примера. Пусть задана следующая бесконечная однородная СЛАУ:
ж0 + х\+ ж2 + • • • + ж„ + • • • = О,
2^3 хх+ 4 •б ж2 -I-----Ь 2п(2п + 1)ж„ Н----= О,
..........................................................................................(17)
(2п - 1)!ж„^ 4.5 •• • п(2п + 1)ж„ -I----= О,
Очевидно, система (17) уже имеет ступенчатый вид. Для того чтобы применить теорему 1 или 2, необходимо урезать бесконечную систему конечной системой.
Тогда систему (17) можно записать в виде
¿(2(!-У+в1ж'=^
г—3
при этом необходимо помнить, что под ж» подразумевается ж». Очевидно, система (18) имеет вид системы (4), и, следовательно, справедливы утверждение теоремы 1 и ее следствия.
Заметим, что систему (18) можно преобразовать к виду (9), при этом коэффициенты системы принимают вид (10)
1 р-1
а3,3+р = (2„ + 1)! № + ^ + 2к + №з + 2^ + 2),
к=о
т. е.
1 ГГ а (2^2р+1)!
аР= (2^!5 аз3 = (П аз+к= (2, + 1)! •
Очевидно, ряд, составленный из коэффициентов ар, будет сходящимся, следовательно, справедлива теорема 2 работы [7], и в дальнейшем можно использовать ее.
Связывая каждое неизвестное с последующим, на основании следствия 1 имеем
хг — Бп-г ТТР | ГТ7хг+17 ^ — О, п 1, (19)
(2г + 1)!
1 ^ (-1)р+1 _ 1
= ^ + £-Н--7 Б1 = ^ (20)
р=2( 2р+1)!ПБ-
Действительно, подставляя выражение
а^+р _ (2;? + (2р+1))!
ац (2г+1)!(2р+1)
в (6), получим
(2.7 + 3)
Бп-'" (2, + 1)!
I , П- (-)р+1(2^ 4)... Ф + 2р+ 1)
+
3! ^ р-1
р=2
Й=1
(Ц + 3)»Б . (21) (2.? + 1)Г п-. (21)
Рассмотрим
р- р-
П ^п-з-к = П + + + ^ + 3)5п-д-*
р-1_
= (2;/ + 4)(2;/ + 5).. . (2;/ + 2р + 1) П 5п-3--к.
Подставляя последнее выражение в (21), а (21) в (7), приходим к соотношениям (19) и (20), при этом непосредственно из последнего уравнения системы (18) следует Б1 = 1/3!. Здесь для простоты опустили черточку над Б^. На основании теоремы 2 из [7] существует предел
lim Sn = S, причем в выражении (20) возможен предельный переход,
n—
тогда имеем
1 ^ (-1)P+1 (-)P+1S1
n—^Sn " S " 3! + ^ P- " ^ (2p+1)! ■
p=2 (2p+1)! lim П Sn-fc p=1 n—TO k=i
Отсюда следует, что
£ (-(2p+sr=o'т-e- ^/VS=(22)
Поэтому S = l/n2k2, k = 1, 2 ■ ■ ■, а непосредственные вычисления по алгоритму (20) убеждают, что S = 1/п2^
Следовательно, соотношение (19) примет вид (необходимо помнить, что по предположению lim Xj = Xj)
n—
xi — 9 /0 • : 7ТГХ»+1, * — 0,1,2, ■ ■■■ (23)
+ 1)!
Решая рекуррентное уравнение (23) в обратном порядке, получим
(-l)V2 j
Xj = )..' л.. x0, i = 0,1, 2, ■ ■ ■, (24)
(2г + 1)!
X
му (17), убеждаемся, что все уравнения системы удовлетворяются, поскольку sinn = 0- Таким образом, выражение (24) является аналитическим решением системы (17).
Замечание 3. Если уравнение типа (22) имеет несколько корней, в нашем случае — бесконечное множество корней Sk = ^p-, то столько же различных решений имеет соответствующая бесконечная система.
k
xj — * — 0,1, 2, ■ ■ ■, k — 1, 2, ■ ■ ■ ■
Замечание 4. Очевидно, все ряды, составленные из абсолютных величин коэффициентов бесконечной системы (17), не сходятся. Кроме того, не существует никакой мажорантной для нее системы, следовательно, все ранее полученные результаты не пригодны для решения рассмотренного примера.
ЛИТЕРАТУРА
1. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехтеориздат, 1952.
2. Федоров Ф. М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000.
3. Тузик А. И. О разрешимости одной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений с комплексно сопряженными неизвестными // Изв. АН БССР. Сер. мат. Минск, 1983.
4. АЫan A. A solvable case of an infinite system of infinitelinear equations and two examples of applications // Util. Math. 1983. N 24. P. 107-124.
5. C'bew Kim Ho. An infinite linear systems of equations // Util. Math. 1976. N 9. P. 49-57.
6. Abian A. Solvability of infinite systems of linear equations // Arch. Mat. 1976. V. 12, N 1. P. 43-44.
7. Федоров Ф. M., Абрамова M. E. О решении алгебраических уравнений бесконечной степени обобщенным методом Бернулли // Мат. заметки ЯГУ. 2004. Т. 11, № 2. С. 66-74.
г. Якутск
18 июня 2004 г.
