О решении краевых задач в полуплоскости и полосе при наличии трещины Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. В полученных решениях (9), (12), как и в граничных условиях (1) и (10) переменная X остается свободной, при этом формулы (9), (12) представляют собой операторы, действующие на заданную функцию F(X, у) по одной переменной у. Отсюда заданную и искомую функции F(x,y) и u(x,y) по свободной переменной x можно подчинить дополнительным условиям. Именно, если функция F(x,y) удовлетворяет однородному граничному условию 1-го, 2-го или 3-го рода при X = const, то этому же условию удовлетворяют и функции (9) и (12), что проверяется непосредственно.

Рассмотрим, например, смешанную краевую задачу в полуполосе (х > 0,0 < у < I)

Ли = 0, ulx=0 = 0 (13)

U\y=i = f(x), dyU - у Цу=0 = 0 (14)

и соответствующую задачу для функции F(x,y) в квадранте (x > 0,y < 0)

ЛF = 0, Fy=0 = f(x), Fx=0 = 0. (15)

Решение последней задачи строится по формуле Грина в виде

F(x,y) = y Г f(%)

nr О

1 1

(x - %)2 + y2 (x + %)2 + y2

d%

0

Отсюда решение задачи (13), (14) также строится по формуле (9), где F(x, у) - решение задачи (15), что проверяется непосредственно. Аналогично решение задачи (13), и^у=! = 0,

дуи - у и^у=0 = 1 (х) строится по формуле (12).

Применяя метод конформных отображений, можно расширить класс областей, в которых смешанные задачи строятся по формулам (9), (12).

Так, аналитическая функция £ = ег отображает полосу (х е Н,0 < у < I) на произвольный угол (р > 0,0 < а < I), где г = х + \у, £ = ре'а, I < 2п. Отсюда решения смешанных краевых задач типа (1,3) в указанном угле строятся по соответствующим формулам (9), (12), в которых х = 1п р, у = а.

Аналитическая функция С = отобра-

жает полосу (х е Н,0 < у < I) на область между прямой п = 0 и окружностью

1(42 + п2) + П = 0, где г = х + 1у, С = 4 + 1Ц .

Отсюда решения смешанных краевых задач типа (1,3) в указанной области строятся по формулам (9), (12), в которых х = 4(42 + п2),

у = -п( 42 + п2).

Список литературы

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. - 431 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

3. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47. - № 9. -С. 1550-1556.

4. Холодовский С.Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с прямолинейной трещиной (завесы) // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48. - № 7. -С. 1209-1213.

5. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 6. -С. 855-859.

УДК 510 (022)

ББК В 11

Н.В. Игнатьева

О решении краевых задач в полуплоскости и полосе при наличии трещины

Методом свертывания разложений Фурье решены первые краевые задачи в кусочно-

однородной полуплоскости и полосе с сильно проницаемой трещиной, перпендикулярной границам. Решения выражены через известное решение задачи Дирихле в однородной полуплоскости (полосе).

Ключевые слова: метод свертывания разложений Фурье, трещина.

Ученые записки ЗабГГПУ

N.V. Ignatjeva

On Solving Boundary Value Problems in Semiplane and Band (Strip) With a Crack

The first boundary value problems in semiplane and band with a crack were solved by means of Fourier method. Solutions of the problem were expressed through Dirichlet problem.

Key words: А method of convolution of Fourier expansions, a crack.

Рассмотрим в кусочно-однородной полуплоскости y < 0, разделенной на области D1(x < 0,y < 0) и D2(x > 0,y < 0) сильно проницаемой трещиной x = 0, задачу:

Ли = 0, (x,y) е D, (1)

U1\y = 0 = 0 , U2\y = 0 = f(x) , (2)

x = 0: и2 = и1, k, dyU2 - ki dyUi = A dyyUi, (3)

где ki - проницаемость области Di , A - па-

раметр трещины [1], dy = dj dy. Наряду с

задачей (1)-(3) рассмотрим классическую задачу Дирихле в полуплоскости y < 0:

0, x < 0

AF = 0, F,,

(4)

\y=0 { f(x),x > 0

решение которой F( x,y) считаем известной функцией. Отметим, что для кусочнонепрерывных граничных функций, составленных из многочленов, функция F(x,y) строится в конечном виде по формуле Пуассона [2].

Методом свертывания разложений Фурье [1] выразим решение задачи (1)-(3) непосредственно через функцию F(x, y). Для этого рассмотрим вспомогательную задачу (1), (3) на всей плоскости (без граничных условий (2)), когда

функция U2 при x > 0 имеет особые точки заданной гармонической функции F(x, y) (гармоническая функция F(x, y) на плоскости x, y имеет особые точки при x > 0). Пусть функция F(0, y) раскладывается в интеграл

Фурье с коэффициентами Фурье fj, т.е.

да

F(0,y) = Г g(y, ^№,

0

g = f1 sin I y + f2 cos I y.

Отсюда функция F(x,y) в полуплоскости x < 0, где она не имеет особых точек, представима в виде разложения Фурье:

F(x,y) = I ак xgdk

(5)

Представим решение задачи (1), (3) также в виде разложений Фурье:

u1(x,y) = j a1вк xgdk ,

О

u2(x,y) = F(x,y) + I а2а'xxgdk ,

(6)

где - искомые параметры, при этом Ц удовлетворяют уравнению (1) и функция и2 имеет особые точки функции F(x, у) . Из условий сопряжения (3) с учетом разложения (5) найдем

2k2 , a1 = w+T)' a =-1 +

2k2

Y =

k1 + k2

А(X + у) А

Отсюда разложения функций и1 в (6) отличаются от разложения заданной функции F(x, у) (5) наличием множителя (X + у)1. Выделим в разложениях (6) разложение (5). Из (5) следует равенство

F(x - z,y) = -Г

а

Nx - z)

gdk,

Y z

и

где г > 0. Умножая это равенство на е интегрируя по г е(0,т), получим формулу

-X х

\ е -zF(x - г,у)6г = \ ---------дсХ.

0 о Х + У

Отсюда функции Ц непосредственно выражаются через заданную функцию F(x,y) (без разложений Фурье) в виде

и1(х,у) = 22 | е-^zF(x - г,у)бг,

А п

U2(x, y) = F(x, y) - F(-x, y) +

2k да . + ^ -Г а'JzF(-x - z,y)dz

(7)

Полученные функции Ц удовлетворяют обобщенным условиям сопряжения (3) на трещине тождественно для любой дважды дифференцируемой функции F(x,y) . При этом в формулах (7), как и в условиях сопряжения (3), переменная у является свободной, т. е. по этой переменной заданную и искомые функции можно подчинить дополнительным условиям.

Пусть заданная гармоническая функция F(x,y) является решением задачи Дирихле (4). Тогда решение исходной задачи (1)-(3) также строится по формулам (7), что проверяется непосредственно.

Рассмотрим задачу (1)-(3) в кусочнооднородной полосе

ю

О

да

О

О

D = D1(x < 0,-I < y < 0) U D2(x > 0,-I < y < 0) с

трещиной x = О при дополнительных граничных условиях

Ui\y=-, = 0 . (8)

Решение этой задачи (1)-(3), (8) также строится по формулам (7), где F(X, у) - решение соответствующей задачи Дирихле (4), (8) в однородной полосе, что проверяется непосредственно.

Список литературы

1. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855859.

2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 431 с.

УДК 510 (022)

ББК В 11

А.М. Калугина

Метод производящих функций для процедуры выбора комитета

В статье описаны процедуры минисуммы и минимакса для выбора комитета, предложенные Brams S.F., Steven J., D. Marc Kilgour, M.Remzi Sanver. Представлен метод производящих функций для этих процедур, открывающий возможность использования в решении задачи большой размерности пакет символьных вычислений Mathematica.

Ключевые слова: производящая функция, процедура минимакса, процедура минисуммы.

A.M. Kalugina

Generating Functions Method for Committee Electing Procedure

This paper is about minisum and minimax procedures for committee electing. Brams S.F., Steven J., D. Marc Kilgour, M. Remzi Sanver proposed these procedures. Generating functions method for these procedures can be used for electing with big number of candidates. This method can help to use the system Mathematica.

Key words: generating function, minimax procedure, minisum procedure.

Процедура принятия решений выборным органом обычно происходит путем голосования. Процедура голосования применяется также и при выборе комитета. Комитеты могут избираться как в выборных органах, так и в административном аппарате различных учреждений; например, выборы совета факультета, выборы аудиторской комиссии и др. В [1] бы-

ли предложены процедуры минисуммы и минимакса для выбора комитета. Рассмотрим их.

Пусть дано П избирателей и к кандидатов. Каждый избиратель в своем бюллетене может проголосовать за стольких кандидатов, сколько соответствуют его предпочтениям. Такой вид голосования называется голосованием одобрения. При голосовании одобрения каждый избирательный бюллетень - это бинарный к -вектор, (р1,...рк), где Рі равно 0 или 1. Эти бинарные векторы указывают одобрение или неодобрение каждого кандидата избирателем. Для обозначения выбранных комитетов мы будем пользоваться подобными бинарными векторами.

Чтобы упростить запись, мы запишем избирательный бюллетень такой, как, например, (1,1,0), в виде 110. Это означает, что избиратель одобряет первого и второго кандидата и не одобряет третьего.

Число различных избирательных бюллетеней или, что то же самое, число возможных результатов выбора, равно 2к.

Пример 1. Пусть д = 2 и 4 избирателя заполняют бюллетени для трех кандидатов следующим образом:

1 избиратель: 100

1 избиратель: 110

2 избирателя: 101

Видно, что кандидат № 1 получил одобрение ото всех 4-х избирателей, кандидат № 2 -от 1-го, и кандидат № 3 - от 2-х. То есть кандидаты № 1 и №3 избраны, а №3 - нет.

Определение 1. Расстоянием Хемминга между двумя избирательными бюллетенями

Р ид, называется р,я) , равное числу компонент, которыми они отличаются.

Например, для избирательного бюллетеня 110 расстояния Хемминга будут следующими (табл. 1):