CC BY
35
D = D1(x < 0,-l < y < 0) U D2(x > 0,-l < y < 0) с
трещиной x = 0 при дополнительных граничных условиях
u,\y=-, = 0 • (8)
Решение этой задачи (1)-(3), (8) также строится по формулам (7), где Р(X, у) - решение соответствующей задачи Дирихле (4), (8) в однородной полосе, что проверяется непосредственно.
Список литературы
1. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855859.
2. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 431 с.
УДК 510 (022)
ББК В 11
А.М. Калугина
Метод производящих функций для процедуры выбора комитета
В статье описаны процедуры минисуммы и минимакса для выбора комитета, предложенные Brams S.F., Steven J., D. Marc Kilgour, M.Remzi Sanver. Представлен метод производящих функций для этих процедур, открывающий возможность использования в решении задачи большой размерности пакет символьных вычислений Mathematica.
Ключевые слова: производящая функция, процедура минимакса, процедура минисуммы.
A.M. Kalugina
Generating Functions Method for Committee Electing Procedure
This paper is about minisum and minimax procedures for committee electing. Brams S.F., Steven J., D. Marc Kilgour, M. Remzi Sanver proposed these procedures. Generating functions method for these procedures can be used for electing with big number of candidates. This method can help to use the system Mathematica.
Key words: generating function, minimax procedure, minisum procedure.
Процедура принятия решений выборным органом обычно происходит путем голосования. Процедура голосования применяется также и при выборе комитета. Комитеты могут избираться как в выборных органах, так и в административном аппарате различных учреждений; например, выборы совета факультета, выборы аудиторской комиссии и др. В [1] бы-
ли предложены процедуры минисуммы и минимакса для выбора комитета. Рассмотрим их.
Пусть дано П избирателей и к кандидатов. Каждый избиратель в своем бюллетене может проголосовать за стольких кандидатов, сколько соответствуют его предпочтениям. Такой вид голосования называется голосованием одобрения. При голосовании одобрения каждый избирательный бюллетень - это бинарный к-вектор, (р1,...рк), где р) равно 0 или 1. Эти бинарные векторы указывают одобрение или неодобрение каждого кандидата избирателем. Для обозначения выбранных комитетов мы будем пользоваться подобными бинарными векторами.
Чтобы упростить запись, мы запишем избирательный бюллетень такой, как, например, (1,1,0), в виде 110. Это означает, что избиратель одобряет первого и второго кандидата и не одобряет третьего.
Число различных избирательных бюллетеней или, что то же самое, число возможных результатов выбора, равно 2к.
Пример 1. Пусть д = 2 и 4 избирателя заполняют бюллетени для трех кандидатов следующим образом:
1 избиратель: 100
1 избиратель: 110
2 избирателя: 101
Видно, что кандидат № 1 получил одобрение ото всех 4-х избирателей, кандидат № 2 -от 1-го, и кандидат № 3 - от 2-х. То есть кандидаты № 1 и №3 избраны, а №3 - нет.
Определение 1. Расстоянием Хемминга между двумя избирательными бюллетенями
Р ид, называется р,я) , равное числу компонент, которыми они отличаются.
Например, для избирательного бюллетеня 110 расстояния Хемминга будут следующими (табл. 1):
Таблица 1
Избирательный бюллетень d = 0 d = 1 d = 2 d = 3
100 000
110 110 010 101 001
111 011
Теперь обратим внимание не на индивидуальные избирательные бюллетени, а на различные избирательные бюллетени и число раз, которое каждый из них был учтен. Например, комитеты 100 и 101 минимизируют сумму расстояний Хемминга для всех избирателей в нашем примере, это эквивалентно тому, что сумма расстояний Хемминга всех различных избирательных бюллетеней имеет вес числа избирателей, заполнивших каждый из них.
Определение 2. Индексным весом бюллетеня называется число его повторений.
Процедура минисуммы состоит в определении минимума среди суммарных значений произведения расстояния Хемминга и весов всевозможных бюллетеней. Процедура мини-макса состоит в определении минимума среди максимальных значений произведения расстояния Хемминга и весов всевозможных бюллетеней.
Табл. 2 показывает индексные веса бюллетеней примера 1 во всех восьми возможных случаях создания комитета. (* отмечены минимальные значения)
Таблица 2
Ясно, что здесь два комитета-победителя:
100 и 101, чьи суммы минимизируют сумму расстояний Хемминга. В нашем примере такой комитет всегда содержит кандидата № 1, и может содержать или не содержать кандидата № 3.
Рассмотрим другой способ определения комитета, представляющего интересы большинства слоев электората. Вместо поиска комитета, который минимизирует сумму индексных весов по всем избирательным бюллетеням, найдем комитет(ы), который(е) мини-мизирует(ют) максимум индексных весов. В
нашем примере это три комитета: 100, 101 и 111.
Помимо индексного веса, каждый бюллетень обладает весом близости.
Веса близости отражают число избирателей, заполнивших каждый из различных избирательных бюллетеней. Но они также включают информацию о близости избирательного бюллетеня ко всем остальным избирательным бюллетеням, основанную на расстояниях Хемминга. Чем к большему числу избирательных бюллетеней бюллетень ближе, тем большее влияние он имеет при определении комитета.
Определение 3. Вес близости избирательного бюллетеня О: есть т] , (1)
ту м. = —----------1-----' ^ >
£тьс1(,я*)
Ь-1
где т■ - число избирателей, заполнивших
избирательный бюллетень ц1 = (ц1 ) и ^ -
число различных заполненных избирательных бюллетеней. Знаменатель дроби - сумма расстояний Хемминга между избирательным бюллетенем 1 и всеми остальными избирательными бюллетенями (включая 1 ).
Процедуру минисуммы с весами близости проиллюстрируем на примере 1. Расстояние Хемминга избирательного бюллетеня 100 с ним самим, со 110 и с 101 равно 0, 1 и 1, соответственно. Поскольку эти избирательные бюллетени заполнены одним, одним и двумя избирателями, то избирательный бюллетень имеет вес
1 1.
[(1 • 0)+{1 • 1)+(2 • 1)]~ 3
Числитель здесь отражает тот факт, что один избиратель заполнил этот избирательный бюллетень.
Аналогично найдем, что избирательные
бюллетени 110 и 101 имеют веса 1 и 2.
5 3
Избавимся для удобства от знаменателей, умножив их на 15; получим, что веса близости бюллетеней равны 5, 3, и 10, соответственно.
Таким образом, получим табл. 3, отличающуюся от предыдущей тем, что она основана на весах близости, а не на индексных весах.
Таблица 3
Бюллетень 100 110 101 Сумма Максимум
Число повторов 5 3 10
000 5 6 20 31 20
100 0 3 10 13 10
010 10 3 30 43 30
001 10 9 10 29 10
110 5 0 20 25 20
101 5 6 0 11* 6*
Бюллетень 100 110 101 Сумма Максимум
Число повторов 1 1 2
000 1 2 4 7 4
100 0 1 2 3* 2*
010 2 1 6 9 6
001 2 3 2 7 3
110 1 0 4 5 4
101 1 2 0 3* 2*
011 3 2 4 9 4
111 2 1 2 5 2*
011 15 6 20 41 20
111 10 3 10 23 10
Заметим, что только комитет 101 минимизирует и сумму и максимум весов близости, в то время, как комитет 101 - также один из комитетов, выделенных критериями минисуммы и минимакса, основанных на индексных весах. Это совпадение не обязательно будет нормой. В [1] показано, что результаты разных процедур могут быть антиподами.
Теперь опишем метод производящих функций для процедур минисуммы и минимакса.
Пусть П избирателей голосуют за к кандидатов; избиратели заполняют П бюллетеней. Некоторые заполненные бюллетени могут повторяться. Пусть а = {д. }_^ , t < п -
множество заполненных избирательных бюллетеней. Пусть Ц = ц(э,) - число повторов из-
(
бирательного бюллетеня Э,, = П.
1=1
Используем для обозначения кандидатов метки у 1,1 = 1,...к. Метки могут быть сокращены, если одновременно находятся в числителе и знаменателе одной дроби. Так, в примере 1 запись у 1 у з означает комитет 101, 1 соответствует комитету 000.
Опишем процедуру выбора комитета в терминах производящих функций.
Составим последовательность всевозможных бюллетеней
(2)
{ 00..0 , 10.0 1..1 }
к компонент k компонент k компонент
Последовательности бюллетеней (2) поставим в соответствие последовательность меток
1 l1,...Уk, 1112,...У1..Ук} (3)
Разобьем последовательность (3) на группы по количеству меток. То есть
К J = (к' }Ck , 1 I J*l=1'
где
к
= J
(4)
Каждой такой группе можно поставить в соответствие последовательность меток
¡П у,^, е~к (5)
или
Ы,(Yi,...Ykh(YiY2’...Yk iYk},...(Yi..Yk}}•
Для последовательности групп (5) составим
производящую функцию:
к
G{x) = 2к JxJ =
1=0
= 1 + (у, + ...+ у к )х + (у 1 у 2 + ...+ у к 1У к )х2 + ...
к
+ У1У2..Укхк = П ( + у 1х)
1=1
(6)
Далее, для каждого избирательного бюллетеня
э, е А найдем
а, (х) = ^ (7)
1 Э,
После раскрытия скобок и сокращения получим сумму дробей. Составим последовательность, в которую по порядку запишем все элементы суммы (7).
1
Yix Y2x
Y1..Y kxk
(8)
Yt1..Ytl У^..У^ lt1..Ytl lt1..Ytl
Каждому элементу Ьг, Г = 1,..2 последовательности (8) поставим в соответствие число д(Ьг), равное числу меток в Ьг. Это число определяет расстояние Хемминга между избирательными бюллетенями, находящимися в числителе и знаменателе дроби. Получим последовательности чисел
д, = \д,1,...д;2к} (9)
Теперь составим новую последовательность, умножив все элементы последовательности (9)
для бюллетеня Э на Ц - индексный вес этого
бюллетеня.
дц, = \з 1й ¡,...д ¡2ки>} (10)
Для процедуры минисуммы составим последовательность № - сумму последовательностей вида (10) для всех Э е А.
2к
№ = I Ъдц; 1 <И)
Ь=1 ] ]=1
Для процедуры минимакса сравним поэлементно последовательности вида (10), и из максимумов составим последовательность м.
м = \т,!лхд1ц- ^ (М)
Определим для последовательностей № и М процедуру МПЫсЦо}) = (ст; {т}), где Ст - значение минимального элемента последовательности, {т} - последовательность порядковых номеров элемента.
После применения этой процедуры мы, определив элемент(ы) с номером т из (6), получим обозначение комитета-победителя выборов.
Вернемся к примеру 1.
Количество кандидатов к = 3, избирателей П = 4, различных избирательных бюллетеней t = 3, a1 = 100, u1 = 1, a2 = 110, u2
1, э3 = 101,
из = 2.
Составим производящую функцию. в = (1 + У^Ь + У2х)(1 + Узх) = 1 + У 1х + У 2х + У зх +
2 2 2 3
+ 1112х + 1113х + 1213х + 111213х .
Определим последовательности расстояний Хемминга и последовательности индексных весов для а1, а2 , а3.
а 1 12 13 2. 2.
— = — + х + — х + — х + у 2х2 + у 3х2 +
11 11 11 11 2 3 ,
А У 213 , 3
+ ~^х + У 213х
д1 = {1,0,2,2,1,1,3,2}, и1д1 = {1,0,2,2,1,1,3,2}.
в 1 1 1 у 3 2
------=-------+ — х + — х + —— х + х2 +
1112 1112 11 12 1112 ,
+ — х2 + —X2 + Y 3x3 12 Yl
д2 = {2,1,1,3,0 ,2,211}, и2д2 = {2,1,1,3,0,2,2,1}.
в 1 1 у 2 1
-----=-------+ — х + — х + — х +
У1У3 У1У3 У 3 У1У3 У1 ,
У 2 2 2 У 2 2 3
+ — х2 + х2 + — х2 + У 2х3
У 3 У1
д3 = {2,1,3,1,2,0,2,1}, и3д3 = {4,2,6,2,4,0,4,2}.
Тогда, № = {7,3,97,5,3,9,5}, М = {426,3,4,2,4,2}.
МПЫс(№) = (3; {2,6}), то есть комитеты 100 и 101.
М'тЫСуМ) = (2; {2,6, 8}), то есть комитеты 100,
101 и 111.
Таким образом, использование метода производящих функций облегчает алгоритм поиска комитета-победителя, а так же открывает возможность применения электронных пакетов символьных вычислений МаЬешаЙса для решения задачи с выбором комитета.
Список литературы
1. Brams S.F., Steven J., D. Marc Kilgour, M.Remzi Sanver, A Minimax Procedure for Negotiating Multirateral Treaties. In Matti Wiberg (ed.), Reasoned Choices: Essays in Honor of Hannu Nurmi. Turku, Finland: Finnish Political Science Association. 2004, P. 255-274.
УДК 53 (07)
ББК Ч 426.51
И.В. Кобец
Элективные курсы по физике: их реализация (результаты экспериментального исследования)
В статье приведен анализ экспериментального исследования по реализации элективных курсов по физике. Рассмотрены и проанализированы ответы учителей и учащихся. Предложена программа элективного курса общекультурного содержания «Загадки и тайны материальных памятников культуры» для учащихся 11 класса гуманитарного профиля обучения.
Ключевые слова: общекультурная составляющая курса физики, элективный курс, естественнонаучный профиль обучения, гуманитарный профиль обучения, метод проектов, проектные задания.
I.V. Kobets Elective Classes in Physics: the Results of Experimental Research
The author of the article considers experimental research of Physics electives in the process of education. The teachers' and pupils' answers are analyzed in the article. The author offers a programme of the elective "The Secrets and Mysteries of Artefacts" for the 11th form pupils studying the Humanities.
Key words: cultural component of Physics, the elective, scientific profile, humanitarian profile, project-based learning, project specifications.
Элективные курсы - это обязательные школьные учебные курсы по выбору. Они «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников. Поэтому в примерных учебных планах отдельных профилей в рамках времени, отводимого на элективные курсы, предусмотрены
