О решении третьих краевых задач в кусочно-однородной полуплоскости с трещиной (завесой) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В143

Наталья Николаевна Шадрина,

Забайкальский государственный университет (Чита, Россия), e-mail: shadrinann8@yandex.ru

О решении третьих краевых задач в кусочно-однородной полуплоскости

с трещиной (завесой)1

Рассмотрены третьи краевые задачи в кусочно-однородной полуплоскости с двумя линиями разрыва проницаемости, одна из которых параллельна, а другая перпендику-лярна границе полуплоскости. Первая линия является идеальным контактом сред, а вторая является сильно проницаемой трещиной или слабо проницаемой завесой. Применяя метод свертывания разложений Фурье, решения задач выражены через решение классической задачи Дирихле в однородной полуплоскости (без трещины и завесы).

Ключевые слова: краевые задачи, кусочно-однородная полуплоскость, трещина, завеса, метод свертывания разложений Фурье.

Natalia Nikolaevna Shadrina,

Trans-Baikal State University (Chita, Russia), e-mail: shadrinann8@yandex.ru

Solving Third Boundary Value Problems in Piecewise-homogeneous Half-plane

with a Crack (Screen)

The article considers the third boundary value problems in the piecewise-homogeneous half-plane with two lines of permeability discontinuity, one of which is parallel and another one is perpendicular to the boundary of the half-plane. The first line is an ideal contact medium, and the second line is a highly permeable fracture or a weakly permeable screen. Applying the method of convolution of Fourier expansions, the problems solutions are expressed in terms of the classical solution of the Dirichlet problem in the homogeneous half-plane (without a crack or a screen).

Keywords: boundary value problems, piecewise-homogeneous half-plane, fracture, screen, method of convolution of Fourier expansions.

1. Случай трещины. Рассмотрим кусочно-однородную полуплоскость D(у < l,x G R), состоящую из четырёх зон Du (х < О,у < 0), D2i(x > 0,у < 0), Di2(x < 0,0 < у < I), D22(x > 0,0 < у < I) с различной проницаемостью kij в Пц, когда зоны Dij и D2j разделены сильно проницаемой трещиной х = 0, а контакт зон Du и D,идеальный. В данной полуплоскости для потенциалов иц в Dij рассмотрим третью краевую задачу с однородным граничным условием в D12 вида [1; 2]:

AUij = 0, <9^12 + hu12\у=1 = 0, дуи22 + hu22 \y=i = f(x), (1)

х = 0 : u2j = иц, rdxu2j - dxuij = Ад^иц, j = 1, 2,________________________(2)

y = 0: ui2=un, ki2dnui2 = kndyUji, г = 1,2,_____________________________(3)

где k2j = кцг, A - параметр трещины [3, 4], h = const > 0. Наряду с задачей (1)-(3) рассмотрим классическую задачу Дирихле в однородной полуплоскости D(y < I) (без трещины) с граничной функцией (1):

AF = 0, (х, у) £ D; Fly=i = ip(x) = j^’ (4)

1Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ, № 1.3985.2011.

© Н. Н. Шадрина, 2012

Т57

решение которой строится по формуле Пуассона [1; 2] и далее считается известной функцией F(x, у). Методом свёртывания разложений Фурье [3’ 4] выразим решение задачи (1)-(3) через функцию F(x, у).

Предположим, что граничная функция <р(х) (4) разлагается в интеграл Фурье:

________ОС___________________________________________________________________

<р(х) = J g{x,X)dX, д(х, А) = f\ sin Хх + f2 cos Аж, (5)

где /г(А) - коэффициенты Фурье функции <р{х). Отсюда, решая задачу Дирихле (4) методом Фурье, представим функцию Р(х,у) в виде интеграла Фурье:

ОО

р(х,у) = J eMy~l}gd\, у<1. (6)

о

Представим искомые функции и^(х,у) в виде функций, тождественно удовлетворяющих обобщенным условиям сопряжения на трещине (2) [5]:

ОС

2г Т I

П23{х,у) = из(х,у) - из{-х,у) + — / е ^и^-х - t,y)dt, х > 0, (7)

о

СО

2 г [

и1з(х,у) = — e~'rtUJ(x-t,y)dt, х<0, (8)

о

где

г + 1

7=—•

Отсюда для функций Ц^(х,у) получим задачу в кусочно-однородной полуплоскости Р(у < I), состоящей из двух зон С\{у < 0) и С2(0 < у < I), х е Д, вида

Д^=0, (х,у)еву, дчи2 + ьи2\у=1 = ф) = \1{х)’ х>1, (9)

10 х < 0

у = 0: и2 = ии кг2дуи2 = кцдуНх. (10)

Представим решение этой задачи в виде

ОС ОС

и\{х,у) = J aleXygdX, П2 = J (а2вЪ\у + bcЪ\y)gd\, (11)

о о

при этом функции (11) удовлетворяют уравнению (9). Из граничного условия (9) и условий сопряжения (10) с учётом разложения (5) для параметров щ, Ь получим систему алгебраических уравнений А(а.2С + Ьв) + к(а28 + Ьс) = 1, Ь = ах, к12а2 = ^цсц, решение которой имеет вид

, к 12 кц

а\=Ъ= —, а2 = ——, а а

где

<1 = кц(Хс + кв) + к\2{\8 + Ьс), (12)

й = эЬА^, с = сЪХ1, при этом 6 > 0 при 0 < А < оо. Из равенства (12) следует

1_ 2е~Х1 _ 2 ул ^х1(2п+1)1/п_ ~ !г)п

d (А + h){kn + к\2){1 — q) кц + к\2 (А + h)n+1'

где

А — Н _21х к\2 — кц

<1=ТТТе и = т.—ТТ—:

____А + П__________________№1 2 + &11

здесь дробь (1 — д)-1 разложена в геометрическую прогрессию (|д| < 1 при 0 < А < оо). Тогда функции Щ(х,у) (11) примут вид

ОС °°

Щ = (1 + и) £ ^ ([Х~^Г+1 9*К (13)

_____________и=° п_____________________________________________________________

ОС °°

и2 = ^ ”п [ \ех{у-2п1~1) + „е-Ку+шш)^ ^Л+~^"х д<1 А. (14)

п—О

Приведём полученные функции к виду, не содержащему разложений Фурье. Из разложения функции Р(х, у) (6) следует равенство

__________________ОС_______________________________

Р(х,у + 1 — Ь) = !'' е^^дйХ, у < О,

о

Отсюда аналогично работам [3; 4] получим формулу

к ОС ОС к

I е~2НЧпд?[емР(х, у + 1- т = I еХу {^~^п+1д<1\, у < О, о о

где п = 0,1,..., к = 0,1,..., функция д(х, А) имеет вид (5).

С учётом этой формулы решение (13), (14) задачи (9), (10) непосредственно выражается через функцию Р(х, у) (4) без разложений Фурье в виде

ОС °°

и\{х, у) = (1 + и) ^2 “—у- / е~2ЫЬпд^[емР(х, у - 2п1 - £)]еЙ, (15)

■V,-П

ос 00

ІІ2(х,у) = —у- / є~2кііпд11{ем[Р(х, у — 2п1 — Ь) + иР{х, — у — 2п1 — £)]}сй. (16)

___________"=о п___________________________________________________________________________________

Таким образом, решение исходной задачи (1)-(3) строится по формулам (7), (8), (15), (16).

2. Случай завесы. Пусть зоны Рі7- и разделены слабо проницаемой завесой х = 0. Для потенциалов іщ в Р^ рассматриваемая задача примет вид (1),(3),

х = 0 : Ч2і - иц = Вдхиц, гдхіі2і = і = 1,2, (17)

где В - параметр завесы [3; 4].

Представим решение этой задачи в виде функций, тождественно удовлетворяющих условиям сопряжения на завесе (17) [5]:

_________________________________________ОС___________________________________________________

и2]{х,у) = из{х,у) + и^(-х,у) - ! е-^из{-х - £,у)<й, х > 0, (18)

а

ос

и^(х,у) = I е~^из(х - і,у)сІЇ, х<0, (19)

где

г + 1

Отсюда для функций Ц^(х,у) получим задачу (9), (10), решение которой стрроится по формулам (15), (16).

Таким образом, решение задачи (1), (3), (17) строится по формулам (18), (19), (15), (16).

Список литературы

1. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974. 431 с.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,

1972.

3. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай обобщённых условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Диффе-ренциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

4. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 8.

С. 1204-1208.

5. Холодовский С. Е., Шадрина Н. Н. О решении краевых задач с обобщёнными условиями сопряжения типа трещины (завесы) // Известия вузов. Математика. 2011.

№ 6. С. 100-106.

Статья поступила в редакцию 03.01.2012 г.