О решении задачи Неймана в кусочно-однородных криволинейных областях со слабо проницаемой плёнкой в виде луча Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В143

Наталья Владимировна Игнатьева,

аспирант,

Забайкальский государственный университет (Чита, Россия), e-mail: [email protected]

О решении задачи Неймана в кусочно-однородных криволинейных областях со слабо проницаемой плёнкой в виде луча5

Решена задача Неймана для уравнения Лапласа в кусочно-однородной области, огра-ниченной одной ветвью гиперболы и состоящей из двух симметричных зон с различной проницаемостью. Линия раздела однородных зон состоит из отрезка с идеальным кон-тактом зон и луча в виде слабо проницаемой пленки. Указанный контакт разнородных сред имеет место при неравномерных внешних воздействиях. С помощью метода сверты-вания разложений Фурье решение задачи выражено через решение классической задачи Неймана в однородной полуплоскости.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, краевая задача Неймана, слабо проницаемая пленка, метод свертывания разложений Фурье.

Natalia Vladimirovna Ignatyeva,

Graduate Student, Trans-Baikal State University (Chita, Russia), e-mail: [email protected]

Solving the Neumann Problem in Piecewise-homogeneous Curved Areas with a Weakly Permeable Film as a Beam

The article solves the Neumann problem for the Laplace equation in a piecewise-homogeneous region bounded by one branch of a hyperbola, and consisting of two symmetrical zones with different permeability. The line between the homogeneous zones consists of a segment with the ideal zones contact and the beam in the form of a weakly permeable film. The specified contact of heterogeneous environments takes place in case of non-uniform external forces. Using the method of convolution of Fourier expansions, the solution is expressed through the solution of the classical Neumann problem in a homogeneous half-plane.

Keywords: Laplace equation, Neumann boundary value problem, weakly permeable film, method of convolution of Fourier expansions.

Рассмотрим на плоскости z = x + iy область L). ограниченную одной из ветвей гиперболы L : a:2(sinl)~2 — y2(cosl)~2 = 1, — тг/2 < I < тг/2 и разделенную прямой у = 0 на две симметричные однородные зоны D\{x > sinI,у < 0) и £>2(ж > sin 1,у > 0) проницаемости kj в Dj, когда луч L\{х > 1,у = 0) (т.е. часть общей границы зон Dj) является слабо проницаемой завесой, а на отрезке Lp(sin/ < х < 1, у = 0) контакт зон Dj идеальный. В данном случае имеет место сложный контак зон Dj. что на практике соответствует контакту разнородных сред при неравномерных внешних воздействиях (при неравномерной деформации, неравномерном тепловом режиме и т. д.). Отметим, что при I 6 (—тг/2,0) гипербола L выпукла вправо, а при I 6 (0, тг/2) гипербола L выпукла влево, при этом в обоих случаях область D расположена справа от гиперболы L. При I = 0 область D является правой полуплоскостью.

Рассмотрим в области D = D\ U D2 задачу Неймана относительно уравнения Лапласа, для постановки которой перейдем к эллиптическим координатам:

a; = sin^ch?y, у = cos^sh.'q.__________________________________(1)

Аналитическая функция z = sin С конформно отображает полосу G(l < £ < тг/2, — оо < г/ < оо) вспомогательной плоскости С = С + Щ на рассматриваемую область D с разрезом в виде луча L\(x > 1, у = 0) [1]. При этом прямая £ = тг/2 отображается в дважды пробегаемый луч Li разреза,

5Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ, № 1.3985.2011.

© Н. В. Игнатьева, 2012

73

полуполосы Сп(?7 < 0) и (^(т? > 0), I < £ < ^/2 отображаются соответственно в зоны Р\{у < 0) и ^2 (у > 0); прямая £ = I - в границу области £>, т. е. в гиперболу £, отрезок гі = 0(1<£}<тг/2)-в отрезок Ьр(ёт1 < х < 1,у = 0).

В эллиптических координатах £,77 (1) или тоже самое в декартовых координатах вспомогатель-

ной плоскости С = £,+ гг/ задача имеет вид [2-5]:

d^uj + dfaj =0, (£,??) Є Gj, j = 1,2, (2)

<9^і|е=г = 0, <%w2|£=z = /(ту), (3)

і] = 0: мі = м2, кідпщ = k2dnU2, (4)

u2{p,rj) - ui(p, -г]) = Bkid^uijp, —г]), k2d^u2(p,rj) + fcidgui(p, -77) = 0,________________________(5)

где — дп/д£>п, р — 7г/2. Условия (4) являются классическими условиями сопряжения на идеальном контакте. Условия (5) соответствуют обобщённым условиям сопряжения на завесе, при этом разрезом Ь1 можно пренебречь [5]. Отметим, что решение задачи (2)-(5) определяется с точностью до аддитивной постоянной, одинаковой для функций щ.

Представим решение задачи (2)-(5) в виде

ш(£,??) = , <р(€,г1), и2(С, л) = <р(€, л) + <р(€, -л), (6)

____________«1 + к-?,___________________________________/С1 + к-?,______________________________

при этом функции (6) тождественно удовлетворяют классическим условиям сопряжения (4). Отсюда для функции </?(£, 77) получим задачу в однородной полосе G(l < £ < p,r) € R) вида

d!v + d2nv = 0, ds<p\z=i = |^(Г?)’ (7)

2

<p(p,v) - <р(р, -v) = -д^<р{р, -??), d^<p{p,r]) + d^<p{p,-T]) = 0, (8)

7

где

= кг + к2

7 Вк,к->. '____________________________________________

Решение задачи (7), (8) также определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Наряду с данной задачей рассмотрим классическую задачу Неймана в однородной полуплос-кости £ > I, г/ 6 Д:

а^ + а^ = о, т,., = (ю)

решение которой строится методом функции Грина [2] и далее считается известной функцией

Методом свертывания разложений Фурье [3; 4] выразим решение задачи (7), (8) непосредственно через функцию ^(£, 77). Предположим сначала, что функция Р(1, 77) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье д^(А):

F(l,rj) = J giaidX, <ті = sinЛГ7, (72=cosAj7. (11)

Q

Здесь и ниже по повторяющимся в одной части равенства индексам г = 1,2 суммируем. Отсюда, решая задачу Дирихле в полуплоскости £ > I с граничной функцией Р(1,г/) методом Фурье, представим функцию ^(£, г/) в виде

ОС

(12)

о

Решение задачи (7), (8) будем искать в виде

_____________________ос____________________________________________________________

¥>(£> П) = П) + j сЬ Л(£ - 1)аг(7,,ЛХ, I < £ < р, (13)

о

где а{(\) - неизвестные параметры, при этом функция (13) удовлетворяет условиям задачи (7). Приравнивая в условиях сопряжения (8) коэффициенты при функциях <т?-, с учётом разложения (12) для двух параметров щ получим систему четырёх алгебраических уравнений, два из которых выполняются тождественно. Отсюда находим

а е-Хг(\-7)д1 а е~Хтд2

Л эЬ Лг + 7 сЬ Лг ’ эЬ Лг ’

где г = р — I, при этом &2 —^ оо при А —> 0, т. е. при формальной подстановке коэффициентов а* в выражение (13) получим расходящийся интеграл. Подберём аддитивную постоянную для функции (р (13) так, чтобы результирующий интеграл сходился. Отсюда функция (р (13) примет вид

ОС

<р = Р&т,) + I е~Хг

(Л — 7)51 сЬА(£ — 1)а\ д2с\іЩ - 1)а2 - д2

А эЬ Лг + 7 сЬ Лг

эЬ Лг

сгл,

(14)

где функции сг^(77, Л) имеют вид (11), при этом полученный интеграл сходится и функция (р (14) удовлетворяет условиям задачи (7), (8), что проверяется непосредственно.

Приведём функцию (14) к виду, не содержащему разложений Фурье. Разложим дроби (14) в геометрические прогрессии

1

2е

-Лг

яЬ Лг__1-е

— 2А г

-Аг(2п+1)

п—О

Л -7

2е Г(Л — 7)

где

Ч = т——^ е_2Л|\

Л + 7

при этом |д| < 1 при 0 < Л < оо. Отсюда функция (14) примет вид

Ч> = ■

ОС

£/[

П—1 П '■

е“АЄі +е“ЛЄ21

А ~ 7 Л + 7

діСГі + 92 <72

- 2е~2Хгпд2 > гіЛ,

(15)

где £1 = —£ + 2гп + I > 0, £2 = С + 2гп — I > 0, г = р — I, р = ж/2. Из разложения функции ^(£,77) (12) следуют равенства

ОС

I е~Хтдга,4\ = ^(г,г?), г = 1,2,

(16)

со оо

/е_Лт ^ ^ + *• <17)

о___________________________________о

где

= г > о. (18)

Равенство (17) следует из равенства (16) при і = 1, на которое действует оператор по переменной

і. стоящий в правой части равенства (17). Отсюда решение (15) задачи (7), (8) приводится к виду без разложений Фурье

Vit.,У) = F{j,ri) + У] {F2{ji,rp + F2{b,v) ~ 2F2(2rn,0)+

П= 1

о )

где

®n(£,t,r}) =e7t[Fi(Cl +t,rj) + F1(^2+t,rj)}y

переменные определены в (15), постоянная 7 и функции Fj(£,ri) имеют вид (9), (18), F(£,r]) -решение классической задачи Неймана в однородной полуплоскости (10). Решение исходной задачи (2)-(5) строится по формулам (6), (19).

Список литературы

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,

V37T.

3. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай обобщённых условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855—859.

4. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 8.

С. 1204-1208.

5. Холодовский С. Е., Гу римская И. А., Игнатьева Н. В. О решени краевых задач на неоднородной плоскости с трещиной и завесой, соединенными последовательно // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 396-404.

Статья поступила в редакцию 30.03.2012 г.