О решении краевых задач на плоскости с параллельными линиями разрыва проницаемости при классическом и обобщённом условиях сопряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В143

Галина Михайловна Давиденко,

аспирант,

Забайкальский государственный университет (Чита, Россия), e-mail: y.g.m@mail.ru

О решении краевых задач на плоскости с параллельными линиями разрыва проницаемости при классическом и обобщённом условиях сопряжения1

В работе решена краевая задача для уравнения Лапласа на кусочно-однородной плоскости, состоящей из трёх зон с различной проницаемостью. На границах зон выпол-няются классические и обобщёённые условия сопряжения, соответствующие идеальному контакту и сильно проницаемой трещине. Для решения задачи применяется метод свертывания разложений Фурье, позволяющий выразить искомые потенциалы через задан-ную гармоническую функцию с сохранением её особых точек.

Ключевые слова: особые точки гармонических функций, уравнение Лапласа, сильно проницаемые трещины, кусочно-однородные зоны, метод свертывания разложений Фурье.

Solving Boundary Value Problems on the Plane with Parallel Lines of Permeability Discontinuity in Classical and Generalized Conjugation Conditions

This paper solves the boundary value problem for the Laplace equation on a piecewise-homogeneous plane consisting of three zones with different permeability. On the borders of these zones classical and generalized conjunction conditions are executed. They correspond with an ideal contact and a strongly permeable crack. To solve the problem the method of convolution of Fourier expansions is used that allows expressing the potentials of each zone through the given harmonic function with the preservation of its singular points.

Keywords: singular points of harmonic functions, Laplace equation, strongly permeable cracks, piecewise-homogeneous zones, method of convolution of Fourier expansions

Рассмотрим плоскость x,y, состоящую из трёх однородных зон D\(x < 0), £>2(0 < х < I), Ds(x > I) с различной проницаемостью ki в Di. Контакт х = I зон D2 и D3 идеальный, а зоны D\ и Р2 разделены сильно проницаемой трещиной х = 0. На данной плоскости рассмотрим установив-шиеся динамические процессы тепломассопереноса, индуцированные заданными особыми точками (источниками, стоками и т.д.). Рассмотрим случай, когда особые точки расположены в средней зоне £>2(0 < х < I). Пусть известна гармоническая функция F(x,y), имеющая указанные особые точки (при 0 < х <1). Функция F(x,y) является потенциалом рассматриваемого процесса на однородной плоскости х,у.

Для потенциалов щ(х,у) в D{ задача имеет вид [2-4]:

Galina Mikhailovna Davidenko

Graduate Student, Trans-Baikal State University (Chita, Russia), e-mail: y.g.m@mail.ru

Ащ = 0, (x,y)eDi,

(1)

x = 0 : u\ = м2, k2dxU2 — kidxu\ = Ad^ui,

X = l : u2 = U3, k2dxu2 = k3dxu3,

(3)

1Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ, 1.3985.2011.

55

© Г. М. Давиденко, 2012

при этом в окрестности особых точек выполняется условие

и2 ~ Р(х,у),__________________________________________(4)

т. е. функция и2(х, у) имеет особые точки функции Р(х, у), где д™ = дп/дхп, А - параметр трещины [3; 4], уравнение (1) для функции и2 выполняется вне особых точек. Частный случай данной задачи при Ац = к2 рассмотрен в работе [1].

Применяя метод свертывания разложений Фурье [3; 4], выразим решение задачи (1)-(4) непо-средственно через заданную гармоническую функцию Р(х, у). Предположим сначала, что функции Р(0,у) и Р(1,у) разлагаются в интегралы Фурье:

ОС ОС

Р{О, У) = J dX, F(l, У) = j 9]°з dX,

где

ai = sin Ay, <т2 = cos Ay,

fj(А) и ff;(A) - коэффициенты Фурье функций F(0,y) и F(l,y). Здесь и ниже по повторяющимся в одной части равенства индексам j = 1,2 суммируем. Тогда функция F(x, у) в полуплоскостях х < О и х > I, где она не имеет особых точек, представима в виде

ОС

F(x,y) = J eXxfjaj dX, х<0, (5)

Q

ос

F{x,y) = J Qj/jj dX, x>l. (6)

о

Указанные формулы дают решения двух задач Дирихле в полуплоскостях х < 0 и х > I с граничными функциями соответственно F(Q,y) и F(l,y), полученные методом Фурье. Отметим, что предположения (5), (6) существенно сужают класс особых точек функции F(x,y). В частности

фундаментальное решение не разлагается в интегралы Фурье (5), (6).

Представим решение задачи (1)-(4) в виде

ОС

ui= eXxdj(jj dX, х < 0, (7)

(8)

из = у e~x('x~l')pj(Tj dX, х > I. (9)

о

При этом функции щ удовлетворяют условиям задачи (1), (4).

Из условий сопряжения (2), (3) с учётом (5), (6) для параметров

а?-, б?, d■i, у? получим систему алгебраических уравнений а,- = /?- + dj, + Ь;) — =

АХа^, gj + bjS + djC = pj, к2(—gj +Ь^с + djs) = —ksPj, решение которой имеет вид

к2(к3 + к2)еХ1 к2(к3 - к2) аз= г /■?- г 9,,

(АХ +кг - к2)(к3с +к2з) (АХ + кг){к3 - к2)

Ь3 = - г и ~ т 93;

л _ (АХ + кг - к2)(к3з + к2с) е к2(к3 - к2) ^ аз ~ г Ь г 91,

к2(АХ + к\ — /^2) „ к2(АХ + к\ + к2)ех^

Pi = ~ г /■?+ r 9,,

где

г = к2(к3с + k2s) + {АХ + ki)(k3s + к2с),________________________________________________(10)

s = sbXl, с = сЪХ1. Отсюда решение (7)-(9) задачи (1)-(4) примет вид

СО

,,, = к.

Г

ь

. . f ( (АХ +^ - k2)[k3shX(x - I) - к2сЬХ(х - l)]fj

u2 = F(x,y)+ /

о

(кз - к2)[(АХ +k^shXx + k2chXx]g^

f (AX + кг+ k2)e-x(-x-2l)gj - (AX + h - fc2)e"A(;r“i)/j n 0^

uz = k2 / --------------------------------------------------------ajdX. (13)

Q

Полученное решение содержит двукратные квадратуры (внешние и внутренние в коэффициентах Фурье fj, gj) от сильно осциллирующих тригонометрических функций. Кроме того, как от-мечалось, это решение справедливо для достаточно узкого класса гармонических функций F(x,y). Приведём формулы (11)—(13) к виду, не содержащему разложений Фурье. Разлагая дробь 1/г (10) в геометрическую прогрессию со знаменателем q, получим

I = _________________________ = _____2-________ У' е-2Xnl-Xl п (А + v)n

г А(к2 + к3)(Х + 7)(1 - q) А(к2 + к3) ^ (А + ^)п+1 ’

где

-2\1 ^ + v к3 - к2 ki - к2 ki + k2

Ч = е ^=1—~г, v=—-А—, 7 =-----1—•

А + 7 кз + к2 А А

при этом |д(А)| < 1 при 0 < А < оо. Из равенств (5), (6) следует

F(х — t,y) = j ех(-х~^ fjOj dX, F(l — x + t,y) = j ex(-x~^gjOj dX, x < 0.

Отсюда, аналогично статье [5], подучим формулы

СО

(-1)"

I е-^^[е-^(х-^у)]^ = I ^±^_е^/^ЙА,

О О

I е-5Нпд^[е~^Р(-х + l + t,y)]dt = I ^^е^дм <*А, х < 0,

О о

где постоянная

(5 = 7- гу=^>0.

____:______а_____

Тогда с учётом (14) функции щ (11)—(13) выражаются непосредственно через заданную гармоническую функцию Р(х,у) (без разложений Фурье):

их = (5 ^ ~[ е 6Чпд? {е и1[Р(х — 2п1 — Ь,у) — цР{—х + 2п1 + 21 + t,y)]} сИ, (15)

"=° о

П2 = Р(х, у) — /лР(—х + 21, у) —

СО °°

- [ е-*нпд?+1 {е-*[^(* - 2пг -21-г,у)- р(—х - 2 ы - г,у)~

п=0 П- I

—ц2Р(—х + 2п1 + А1 + £, у) + ^(х + 2п1 + 21 + t, у)]} Л,__________________________(16)

ос 00

из = (1 — ^)Р(х, у) — (1 — /л) ^ [ е~51Ьпд^+1 {е~'л[цР(х + 2п1 + 21 + Ь, у) —

—F(—x — 2nl — t,y)]}dt. (17)

В силу теоремы, доказанной в [6], ряды (15)—(17) сходятся для класса гармонических функций Г(д,у), удовлетворяющих условию

\д^[е-‘/хР(х,у)] \ < сатеаИ, |ж| -> 00, (18)

где 0 < а < ар, ар(1 + е^а°+^1) = 5.

Формулы (15)—(17) в отличие от формул (11)—(13), полученных методом Фурье, содержат однократные квадратуры от гладких функций без осцилляций. Кроме того, эти формулы справедливы для более широкого класса особых точек (18), индуцирующих процесс, включая фундаментальное решение типа источника.

Список литературы

1. Давиденко Г. М. О построении особых точек потенциалов на плоскости с класси-ческим и обобщённым условиями сопряжения на двух параллельных прямых // Мате-матический анализ и его приложения. Вып. 10. Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т. Чита, 2011.

С. 20-27.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука,

1977. 735 с.

3. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1550-1556.

4. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай обобщённых условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

5. Холодовский С. Е. О решении краевых задач в полупространстве, ограни-ченном многослойной плёнкой / / Учёные записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета. Серия «Физика, математика, техника, тех-нология». № 3 (38). Чита. 2011. С. 160-164.

6. Холодовский С. Е. О решении краевых задач в цилиндрах с двумя параллельы-ми трещинами // Математический анализ и его приложения. Вып. 10. Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет. Чита, 2011. С. 56-62.

Статья поступила в редакцию 13.03.2012 г.