О решении краевых задач в цилиндрах с многослойным пленочным включением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В143

Святослав Евгеньевич Холодовский,

доктор физико-математических наук, Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского

(Чита, Россия), e-mail: [email protected]

О решении краевых задач в цилиндрах с многослойным пленочным

включением1

Рассмотрены краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений в кусочно-однородных цилиндрах, разделённых на два полуцилиндра многослойной плён-кой, состоящей из произвольного числа сильно и слабо проницаемых прослоек. Методом свертывания разложений Фурье решения задач выражены через решения классических задач в однородных цилиндрах без плёнки.

Ключевые слова: краевые задачи, дифференциальные уравнения, многослойные плёнки, трещины, завесы, метод свертывания разложений Фурье..

Svyatoslav Yevgenyevich Kholodovskii,

Doctor of Physics and Mathematics, Zabaikalsky State Humanitarian Pedagogical University named after N. G. Chernyshevsky (Chita, Russia), e-mail: [email protected]

Solving Boundary Value Problems in Cylinders with Multilayer Film Inclusion

The article considers boundary value problems for linear differential equations in piecewise-homogeneous cylinders divided into two half-cylinders by multi-layer film consisting of an arbitrary number of strongly and weakly permeable layers. Using the method of convolution of Fourier expansions, task solutions are expressed in terms of solving classical problems in homogeneous cylinders without the film.

Keywords: boundary value problems, differential equations, multi-layer films, cracks, screens, method of convolution of Fourier expansions.

1. Обобщённые условия сопряжения. Рассмотрим в пространстве (х,у\,..., ут) € Rm+l произвольную область D, разделённую гиперплоскостью х = 0 на две зоны D\{x < 0) и £>2(3; > 0). Пусть гиперплоскость х = 0 является многослойной плёнкой, состоящей из взаимно параллельных, соприкасающихся сильно и слабо проницаемых прослоек - трещин и завес. Трещины и завесы будем моделировать бесконечно тонкими слоями с бесконечно большой для трещин и бесконечно малой для завес проницаемостью [6; 7]. Пусть потенциалы Uj(x,y) в соответствующей зоне Dj в окрестности гиперплоскости х = 0 удовлетворяют уравнению

д2хщ+Ь\и7]=0, (х, у) € Dj, j = 1,2,__________________________(1)

где у = (у\,..., Ут), д™ = дп/дхп, L - произвольный линейный дифференциальный оператор по переменным уг, т. е. оператор L не содержит производных по х и коэффициенты при производных не зависят от х. Выведем по индукции условия сопряжения на данной многослойной плёнке х = 0. Для этого найдём приращения потенциала и нормальной скорости на сторонах плёнки х = ±0, при этом нормальную скорость в Dj рассмотрим в виде kjdxUj, где постоянные kj > 0 характеризуют проницаемость области Dj по переменной х.

Пусть плёнка х = 0 состоит из i примыкающих друг к другу трещин и завес в произвольном их сочетании. Рассмотрим обобщённые условия сопряжения на данной плёнке вида

х = 0 : и2 - щ = Fjluj], k2dxu2 - kjdxUj = Gjluj],____________________(2)

1Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ, № 1.3985.2011. © С. Е. Холодовский, 2012

где Р{\и] и вчМ - линейные операторы с постоянными коэффициентами, подлежащие определению. В частности при отсутствии трещин и завес, т.е. при г = 0, полагаем £о = Со =0, что соответствует идеальному контакту зон Dj, при этом условия (2) являются классическими условиями сопряжения.

Добавим к данной многослойной плёнке трещину или завесу х = +0, которую заменим слоем До(0 < х < I) проницаемости кр при выполнении условий вида (2) при х = 0 и классических условий сопряжения при х = I:

х = 0 : и0 - щ = -^[г/а], к0дхи0 - = С^щ], (3)

х = 1 : и2 = щ, к2дхи2 = к0дхи0,

где щ - потенциалы в Dj, у = 0,1,2, Р2(х > I), при этом потенциал ир(х,у) в Рр удовлетворяет уравнению (1). Отсюда приращения потенциала и нормальной скорости на дРр с учётом теоремы о среднем примут соответственно вид

^2| х~1 ^1\х— 0 ^0| х~1 ^0\х~ О “Ь £Н^1]|;е— 0 ~^~крдхир^х—С1 “I- [^1]\х~ 0) (4)

к2дх'и2^Х—1 к\дх'и^х—о крдхир^х—[ крдх11р^х—о “Ь О кр1дхир^Х—С2 ^г[^1]|а:—05 (5)

где с£ (0,1).

Пусть слой £>о вырождается в трещину, т. е. I —> 0, ко —» оо так, что кр1 —> А, где А - па-раметр трещины [6; 7]. Переходя к указанному пределу, из (4) с учётом первого условия (3) сле-дует Ити0|Х=1 = Пти0\х=0 = Пт(их + £;М)|Ж=0 = Ы + -^Ы)^. Отсюда по принципу максимума ДЛЯ уравнения (1) (что предполагаем имеет место) найдем Пт-и0|:г=С2 = (и1 + [^1]) |=с=0

для \/с2 е (0,/). Действуя на последнее равенство оператором Ь, с учётом уравнения (1) получим \\тдхио\х=с2 = 9х(их + £^[их])|:г=о- Тогда из равенств (4), (5) в пределе получим условия сопряжения на данной плёнке при дополнительной трещине х = +0 вида

х = 0 : и2 - щ = ^+1^1], к2дхи2 - к^щ = вч+хМ,____________________(6)

где

£*+1 [их] = ^[их], [их] = Адх(и1 + £;['и1]) + Сч[мх]. (7)

Если слой Рр вырождается в завесу с параметром В, т. е. I —> 0, кр —> 0 так, что 1/кр —>■ В

[6; 7], то из равенств (5) с учётом второго условия (3) получим ПткрдхЩ\хы = Пткрдхир\х=р = \\ш{к\дхи1 + СгЫ^о = {к\дхи\ + С^щ])^. Отсюда Птк0дхи0\х=С1 = ^[г*1])|ж=0

для Усх е (0,1). Тогда из равенств (4), (5) следуют условия сопряжения на данной плёнке при дополнительной завесе х = +0в виде (6), где

-^■+1 ['Ц’г! = В(к\дхи1 + Сч[их1) + £4^1 ], Сг+х^х] = С^щ]._____________________(8)

Пусть плёнка х = 0 состоит из п трещин и завес. Отсюда обобщённые условия сопряжения на данной плёнке имеют вид (6), где операторы Рп[и] и Сп[и] строятся по рекуррентным формулам (7), (8), в которых £0 = Со = 0, г = 0,..., п — 1.

Из равенств (7), (8) следует, что примыкающие друг к другу трещины, а также завесы, равно-сильны соответственно трещине или завесе с суммарным параметром. Поэтому многослойные плён-ки далее рассматриваем, состоящими из чередующихся трещин и завес. Кроме того, из равенств (6)-(8) следует, что на трещине потенциал непрерывен, а нормальная скорость терпит разрыв; на завесе нормальная скорость непрерывна, а потенциал терпит разрыв. Последнее объясняется тем, что «частицы» движущейся сплошной среды (жидкости, потока тепла и т. д.), протекая по сильно проницаемой трещине, могут вытекать из неё в точках, отличных от точек втекания, и для про-текания сквозь слабо проницаемую завесу на ней должна поддерживаться определённая разность потенциалов.

В частном случае одиночной трещины условия (6), (7) примут вид

х = 0 :_____м2 = щ, к2дхи2 — к\дхП1 = Адхщ.______________________________(9)

Данные условия совпадают с условиями на одиночной сильно проницаемой плёнке в задачах теплопроводности и фильтрации жидкости, полученными из других соображений [1, с. 31; 3, с. 107-108]. Для волнового уравнения условия (9) соответствуют условиям при продольном ударе по стержню и случаю колебания струны с точечной массой [2, с. 70; 5, с. 147].

В случае одиночной завесы условия (6), (8) примут вид

х = 0 :_____г>2 — «1 = Вк\дхи\, к2дхи2 = к\дхи\.

Данные условия соответствуют условиям на слабо проницаемых плёнках, а также условиям на контакте стержней, разделённых упругой прокладкой, при продольных колебаниях [1, с.27; 5, с.40].

2. Задачи с многослойной плёнкой, разделяющей цилиндр на два полуцилиндра.

Рассмотрим цилиндр Б = (х е К) х (у е С} С Дт), разделённый многослойной плёнкой х = 0 на два полуцилиндра < 0) и £>2(2; > 0), когда плёнка х = 0 состоит из п = 2г чередующихся

трещин и завес с параметрами соответственно А\, В2,А2Г-1, В2Г, где А± > 0 - параметр первой трещины х = —0, В2г > 0 - параметр последней завесы х = +0, остальные параметры Bi,Aj > 0. При А\ = 0 (В2г = 0) первая трещина (последняя завеса) отсутствует.

Рассмотрим в цилиндре Б класс краевых задач с неоднородными условиями в зоне В2(х > 0) вида

<9^М1 + £[мх] = 0, (х,у)е£>1; М[и1\х,у)&3 = 0, (10)

дхи2 +Ь[и2\ = Н(х,у), (х,у)е£>2; М[и2\(х,у)&3 = Ь(х,у), (11)

х = 0 : и2 - и\ = Р2г\и{\, к2дхи2 - к\дхи1 = С2г\и1\,____________________(12)

где оператор М (как и Ь) является произвольным линейным дифференциальным оператором по переменным 2/г,£- боковая поверхность цилиндра И (уравнение поверхности 5 не содержит переменной х), Н и к - заданные функции, операторы Р2г и С2г строятся по рекуррентным формулам

(7), (8):

£Ьг—1М = -Р2г —2М, С2г-1[м] = Л2г-1^(М + ^г-гЫ) +С2г-2Ы, (13)

-Р2»Н = В^{кхдхи + Сы-1\и\) + -Р2»-1М, С2г\и\ =<?2г-1[м1,_____________________(М)

£оМ = Оо[м] = 0, г = 1 ,...,г.

Пусть известно решение /(х,у) соответствующей классической краевой задачи в однородном по х цилиндре Б без плёнки х = 0:

2 П]_ (н(х,у), х>0 _(н(х,у), х > 0

9,/ + ад-|0 г£0. М[/]|(,,»)М - |0 (15)

В частности, для оператора Лапласа (Ь = ду) на плоскости х,у (И = В2) функция /(х,у) является заданной гармонической функцией, особые точки (источники, стоки и т. д.) которой лежат в полуплоскости х > 0. Классические задачи Коши при — оо < х < оо для гиперболических и параболических уравнений также являются задачами вида (15).

Методом свертывания разложений Фурье [6; 7] выразим решение задачи (10)—(12) с плёнкой

х = 0 непосредственно через функцию /(х,у) (15).

Следуя указанному методу, для вывода общих формул рассмотрим частный случай оператора Ь = д2 при у € К, т. е. когда область I) является плоскостью х, у, разделённой многослойной

плёнкой х = 0 на две полуплоскости £>х(х < 0), Р2{х > 0). В данном случае задача (10)—(12) примет вид модельной задачи, допускающей применение метода Фурье:

Дм1 = 0, Дм2 = Я(х,у), (16)

при условиях сопряжения (12). При этом полагаем, что известно решение /(ж, у) соответствующей классической задачи на однородной плоскости х,у (без плёнки х = 0) вида

Гя^), *>0

\о ж < 0 ^ '

и выразим решение задачи (16), (12) с плёнкой х = 0 через функцию /(ж, у).

Предположим сначала, что функция /(0,у) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье /»:

СО

f{0,y) = JgdX, g(y, А) = Д вт Ау +/2 сое Ау (18)

о

(указанное предположение существенно сужает класс функций /(х,у), в частности, фундаментальное решение не разлагается в интеграл Фурье). Отсюда функция /(х, у) в полуплоскости х < 0, где она удовлетворяет уравнению Лапласа (17), представима в виде интеграла Фурье:

1{х,у) = j eXxgdX, ж<0. (19)

о

Формула (19) выражает решение задачи Дирихле в полуплоскости х < 0 с граничной функцией /(0, у), полученное методом Фурье. Представим решение задачи (16), (12) в виде

______СО_______________________________________ОО___________________________________

х < 0; и2 = /(х,у) + 1' a2e~>'xgdX, х > 0, (20)

о_______________________________________о

где сч(\) - неизвестные параметры, функция я(у, А) имеет вид (18). Отсюда функции щ(х,у) удо-влетворяют соответствующему уравнению (16) (при условии сходимости и дифференцируемости интегралов (20)).

Приравняем коэффициенты слева и справа при функции g(y, А) под знаками интегралов (19), (20) в условиях сопряжения (12). При этом необходимо найти указанные коэффициенты в функциях ^2Г[цх1 и С2г\и\\ (12). Для нахождения этих коэффициентов поставим функции их при X = 0 в соответствие указанный коэффициент ах (20). Это соответствие обозначим символом щ 4- ах- Из первого равенства (20) следует д^их^гХках, причём данное соответствие линейно, т. е. если г =

1, 2, то схих + С2М2 4- сха-х + С2Д2, где - постоянные.

Лемма. Если их 4- ах, то для операторов Fj[ux} и С^ах] (13), (14) имеем

^2»—1 [г^х1 -4 Аах^-1, (?2г-1Ы-Ь Аах^, 4-Аа^, <?2»ЫАахд», (21)

где функции р{(А), <й(А) строятся по рекуррентным формулам

Чг = А-*42г-1(1 + АРг-х) + Чг-1, Рг = ^2г(&1 + Чг) + Pi-l^________________(22)

г = 1...у, Ра = до = 0-

Доказательство. Из равенств (13), (14) с учётом первого разложения (20) получим

-Рі^іІ-нО, С?і[ці1 -т- Аі\2аі = \aiqi Р2[иі] 4- В2\аі(кі + АїЛ) = Лаірі, С2[иі] 4- Хагді,

где ді = А\\ рі = В2(кі + ді), т. е. формулы (21), (22) справедливы при і = 1. Полагая, что формулы (21), (22) верны для некоторого і, с помощью равенств (13), (14) найдем

-РЬг+іМ ХаіРі, бгі+іМ А2і+і\2аі(1 + Хрі) + Ха^і = Хагді+1,

Р2і+2\у\ 4- В2і+2\а\ (к\ + ді+1) + Хагрі = Лахрі+1, С2і+2\и\ н- \аіді+і,

где ді+1 = ХА2і+ і(1 + Хрі) + ді, рі+1 = В2і+2(кі + ді+і) + р{, т. е. получили формулы (21), (22) при

і + 1. Лемма доказана.

Из равенств (21), (22) следует Р2г[ііі] Н- Ха\рг, С2г[иі] -Ь Ха\дг. Тогда из условий сопряжения (12) с учётом разложения функций /(х,у) и щ(х,у) (19), (20) для параметров аі^2 получим систему алгебраических уравнений 1 + а2 = аі(1 + Арг), к2( 1 — а2) = а\{кі + дг), решение которой имеет вид

2к2 Хк2рг - дг + к2- кі

«* = —•«*= л _______________________________________________________

где

сі(Х) = Хк2рг + дт к\ + к2,_____________________________________(24)

при этом (I > 0 при 0 < А < оо. Функция (1(А) является монотонно возрастающим многочленом (22). При В2г > 0, т. е. когда последняя завеса имеет место, функции дг(Х) и рг(А) (22) являются многочленами одинаковой степени 2г — 2 + у, где у = 1 или у = 0 соответственно, когда первая трещина имеет место (А\ > 0) или отсутствует (А\ = 0). При В2г = 0, т. е. когда последняя завеса отсутствует, степени многочленов дг(Х) и рт{А) различные и соответственно равны 2г — 2 + у и 2г —

4 + у. Отсюда степени слагаемых Ак2рг и дг, входящих в (23), (24), различны для любого варианта значения В2г > 0. При В2г > 0 для степеней многочленов Хк2рг и дг выполняется неравенство 2г — 1 + у > 2г — 2 + у, при В2г = 0 для степеней Хк2рг и дг выполняется противоположное неравенство 2г — 3 + у < 2г — 2 + у. Отсюда при В2г > 0 и В2г = 0 из (23), (24) параметр а2 найдем соответственно в виде

2(дг + к\) 2к2(Хрг + 1)

«2 = 1--------1----, а2 = —И--------------з-----,

а а

при этом обе дроби правильные. Тогда с учётом разложения заданной функции /(х, у) (19) решение щ (20) задачи (16), (12) получим в виде

СО

«і = 2к2 У ^ eXxgdX, х < 0, (25)

о

при этом функция и2(х,у) при В2г > 0 или при В2г = 0 примет соответственно вид

СО

и2 =/{х,у) +/{-х,у)-2! <^-^-e~>'xgdX, х > 0, (26)

о

или

ос

М2 =/(х,у) -/(-ж,у) + 2^2^ ^^-е"Лж5сгА, х>0, (27)

О

где функции d(X), Л), дг(А), рг(А) равны (24), (18), (22).

Интегралы (25)-(27) сходятся и допускают дифференцирование необходимое число раз, что следует из асимптотики подынтегральных функций при А —> +оо вида 0(А-ае-А1а;1), где а > 0.

Отметим, что полученное решение (25)-(27) задачи (16), (12) справедливо для достаточно узко-го класса заданных функций /(х, у), удовлетворяющих условию (18). С другой стороны, это решение имеет достаточно сложный вид, т. к. содержит двукратные квадратуры (внешнюю и внутреннюю в коэффициентах Фурье) от сильно осциллирующих тригонометрических функций.

Для того, чтобы выразить функции щ (25)-(27) непосредственно через заданную функцию /(ж, у) (17) без интегралов Фурье выведем рабочую формулу, позволяющую свертывать разложения Фурье. Из разложения функции /(х,у) (19) следует равенство

_____________ОС_______________________________

/(ж — Ь,у) = J ex<'x~t^gdX, х < 0, £ > 0.

о

Умножая это равенство на е~7*£” и интегрируя по ^ € (0, оо), с учётом равенства (см. формулу 2.3.3.2 в [4, с. 322])

ОС

^ —at ±.71

77 I

e~attndt = —-j-г, a > 0

п.п+1

О

получим формулу

^ J е T*tnf(x-t,y)dt = J ^l^n+1dX, х < 0, (28)

о о

где 7 > 0, п = 0,1,2,.... Данная формула позволяет посредством разложения подынтегральных правильных дробей (25)-(27) на простейшие дроби выразить решение щ задачи (16), (12) в одно-

кратных квадратурах непосредственно через функцию f(x,y) (17) без разложений Фурье.

Рассмотрим случай, когда многочлен d(А) (24) имеет действительные корни —7j кратности rrij, j = 1, т. е.

d = с(А + 7i)mi ...(А + 7Р)тр. (29)

Тогда разложения дробей (25)-(27) на простейшие дроби соответственно примут вид

, Р тз

I _ I х - \ - afej

d с 2—* 2—/ (а + 7.)*: ’ j=1 k= 1 v

1 7 1 p l, \ 1 1 1 p mj

qr + k\ _ 1 bkj Apr + 1 _ 1 /on'.

Отсюда с учётом формулы (28) функции щ(х,у) (25)-(27) приводятся к виду

= ~ (fc^l)! j e~7it^fc~1/(a: - t,y)dt, ж < 0, (31)

___________j— 1 fc = l_____Q___________________________________________________________

^2 = f(x,y) ~ (~1)M \f(-X,y)~

J) 771 ' OO

j = 1 /c=l ^ ^

(32)

где —7j - корни многочлена d (24), (29), (і = 1и/і = 0 соответственно при B2r > 0 и В2г = 0, при этом dkj(l) = bkj, dkj(0) = k2ckj (ЗО).

Формулы (31), (32) справедливы для общего случая задач (10)—(12) и (15).

Теорема. Если многочлен d{А) (24) имеет действительные корни —7j (29) и функция f(x,y) является решением задачи (15), удовлетворяющим вместе с частными производными, входящими в уравнение (15), условию

\f(x,y)\=0(e^), х^-00, (33)

где 7 < min7j, то функции щ(х,у) (31), (32) являются решением задачи (10)—(12).

Доказательство. Из неравенства d > k\ + k2 > 0 при 0 < А < оо следует, что действительные корни —7j многочлена d (24) отрицательны. Отсюда в равенствах (31), (32) 7> 0, т. е. интегралы

(31), (32) при условии (33) сходятся вместе с частными производными, входящими в уравнение (1). Полученное решение (31), (32) имеет вид операторов, действующих на функцию f(x,y) по одной переменной х. В условиях сопряжения (12) также участвует одна переменная х. При этом можно показать, что условия сопряжения (12) для функций щ (31), (32) выполняются тождественно. Аргументы функции f(x,y) в формулах (31), (32), кроме первого слагаемого в формуле (32), принадлежат области £>х, где условия задачи для функции f(x, у) однородны. При этом, если функция f(x,y) удовлетворяет однородному уравнению d2f + L[f] = 0 при х < 0, то функция f(—x,y) удовлетворяет этому уравнению при х > 0. Отсюда условия задачи (10)-(12) для функций (31), (32) проверяются непосредственно. Теорема доказана.

Можно показать, что в случае комплексно сопряженных корней многочлена (24) функции (31),

(32) действительны.

Таким образом, задача (10)—(12) сводится к решению соответствующей классической задачи (15) без плёнки и к нахождению корней многочлена d(А) (24), при этом решение задачи (10)—(12)

выражается в виде конечной суммы однократных квадратур вида (31), (32) через решение соответствующей классической задачи (15).

Список литературы

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твёрдых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

2. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 710 с.

3. Пилатовский В. П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М.: Недра, 1966.

317 с.

4. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. М.: Наука,

1981. 798 с.

5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука.

1972. 735 с.

6. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай обобщённых условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Диффе-ренциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

7. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве // Дифференциальные уравнения. Т. 45. № 8. 2009.

С. 1204-1208.

Статья поступила в редакцию 29.01.2012 г.