CC BY
35
УДК 517.956 ББК В143
Святослав Евгеньевич Холодовский,
доктор физико-математических наук, Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет им. Н. Г. Чернышевского
(Чита, Россия), e-mail: hol47@yandex.ru Галина Михайловна Давиденко, старший преподаватель, Забайкальский государственный университет (Чита, Россия), e-mail: y.g.m@mail.ru
О решении краевых задач в кусочно-однородных цилиндрах с двумя
параллельными завесами1
Рассмотрены краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений в кусочно-однородных цилиндрах, разделённых на три зоны слабопроницаемыми плёнками. Указанные задачи моделируют процессы тепломассопереноса в композитных ма-териалах с плёночными включениями, которые имеют широкие приложения. Методом свертывания разложений Фурье решения задач выражены через решения соответствую-щих классических задач в однородных цилиндрах без плёнок.
Ключевые слова: краевые задачи, слабопроницаемые плёнки, кусочно-однородные зоны, метод свертывания разложений Фурье.
Svyatoslav Yevgenyevich Kholodovskii
Doctor of Physics and Mathematics, Zabaikalsky State Humanitarian Pedagogical University named after N.G. Chernyshevsky
(Chita, Russia), e-mail: hol47@yandex.ru Galina Mikhailovna Davidenko, Senior Lecturer, Trans-Baikal State University (Chita, Russia), e-mail: y.g.m@mail.ru
The Solution of Boundary Value Problems in Piecewise Homogeneous Cylinders
with Two Parallel Screens
The article addresses boundary value problems for linear differential equations in piecewise-homogeneous cylinders divided into three zones by slow-permeable films. These tasks model the processes of heat and mass transfer in composite materials with film inclusions that are of wide application. With the help of the method of convolution of Fourier expansions, task solutions are expressed in terms of solving corresponding classical solutions to the problems in homogeneous cylinders without films.
Keywords: boundary value problems, slow-permeable films, piecewise-homogeneous zones, method of convolution of Fourier expansions.
Во многих отраслях хозяйственной деятельности все более широкие применения находят композитные материалы, содержащие разнородные фракции, в том числе наноразмерные плёночные включения. Поэтому представляет большой интерес решение краевых задач в кусочно-однородных областях при наличии плёнок.
Рассмотрим в пространстве Rm цилиндр D = (х £ R) х (у £ Q С разделён-
ный двумя слабопроницаемыми завесами х = 0 и х = I с одинаковым параметром В на зоны D\(х < 0), -Р2(0 < х < I), Рз(х > I), у 6 Q. Пусть проницаемости зон Dj по переменной х по-стоянны и равны ki, при этом к% = к\. В данном случае в цилиндре D проницаемости к\ имеет место включение £>2 проницаемости &2, экранированное слабопроницаемыми плёнками. Для функций щ(х,у) в Di рассмотрим класс краевых задач с неоднородными условиями в зоне D\:
1 Работа выполнена в рамках Государственного задания вузу Минобрнауки РФ, № 1.3985.2011.
152
© С. Е. Холодовский, Г. М. Давиденко, 2012
dlu1+L[u1\= Н(х,у), M[ui]\S = h(x, у), (1)
d2xUj + L\uj\ = 0, M[uj]\S =0, j = 2,3, (2)
x = 0 :___U2 — ui = Bkidxui, k2dxii2 = k\dxu\,_____________________(3)
x = I : u:i-u2 = Bk2dxu2, kidxu3 = k2dxu2, (4)
где L и M - произвольные линейные дифференциальные операторы по переменным щ, т. е. эти операторы не содержат производных по а: и коэффициенты при производных не зависят от х, S -боковая поверхность цилиндра D, Н(х,у) и h(x,y) - заданные функции, у = (yi, ...ym-i) £ Q. Условия сопряжения (3), (4) на плёнках выведены в работах [1; 2]. Методом свертывания разложений Фурье [1; 2] выразим решение задачи (1)-(4) через решение f(x,y) классической задачи в однородном цилиндре D без плёнок:
<§/ + £[/] = 1<0, 1<0- (5)
1 J [О X > 0 1 [0 X > 0
Для вывода общих формул рассмотрим модельные случаи задач (1)-(4) и (5) на плоскости х,у для оператора Лапласа, допускающие применение метода Фурье, соответственно вида
Au\=H(x,y), Auj = 0, j = 2,3 (6)
с условиями сопряжения (3), (4) и
Af=lH<yX,y^ Х<° (7)
[0 х>0' [ }
Предположим сначала, что функция /(0, у) разлагается в интеграл Фурье:
_________ОС_______________________________________________________________
ДО, у) = J" gd\, д(у, Л) = /1 sin Ху + /2 cos Ay, (8)
Q
где fi(Л) - коэффициенты Фурье функции /(0,у). Отсюда функция f(x,y) при х > 0, где она удовлетворяет уравнению Лапласа (7), представима в виде разложения Фурье
OG
f(x,y) = J e~Xxgd\, х>0. (9)
О
Представим решение задачи (6), (3), (4) в виде
______________ос____________________________________________________
ui = f(x,y) + JaieXxgd\, х < 0, (10)
Q
СО
«2 = J[й2 sh\(x — I) + ЬсЪ\(х — l)\g d\, 0 < х < I, (11)
из = у азе 1^дс1Х, х > I, (12)
о
где функция д(у,Х) имеет вид (8). Отсюда функции (10)—(12) удовлетворяют соответствующему уравнению (6). Из условий сопряжения (3), (4) с учётом (9) для параметров щ, Ь получим систему алгебраических уравнений — д2в + Ъс — 1 — а\ = Вкх\(а1 — 1), к2(а2с — Ъз) = к\(а1 — 1), аз — Ъ = Вк2Ха2, — кхаз = к2а2, решение которой имеет вид
2к2(рХз + к2в + к\с) 2к?
а1 = 1---------------1----------, а2 =---------—,
_____________________а_________________________а__
2кг(рХ + к2) 2кгк2 , .
Ь = ------2-----, 03 = —. (13)
где
с1(Х) = (рХ,з + к2я + к\с)(рХ + к2) + к\ (рХс + к2с + к^в), р = Вк\к2, (14)
5 = эЬА/, с = сЪ.Х1, при этом с1(X) > 0 при 0 < А < оо. Раскладывая дробь 1/(1 в геометрическую прогрессию, получим
2е'
-А I
1
<1 р2(Х + 7)2(1 -д) р2 ^
^Г' р-Щ2п+1)
________= - V
— /тЛ Г)2
2 п
(А + 7)2и+2’
где
д=|'А±^)
А + 7
7 =
кг + к2
5
Р
V =
|<?(А)| < 1 при 0 < А
< оо.
Отсюда функции щ (10)—(12) с учётом (9), (13), (15) примут вид
иг = !{х,у) + /(-х,у)~
СО
! ^ [ \гМх-2п1) (А + 1У)2П \(х-2п1-21) (А + У)2П+1
Р ^ Г (А + 7)2«+1 (А + 7)2и+2
п______________________________________________________________
СО
_ 2^1 С Г л(ж+2пП + гУ)2" , Х(х — 2п1 — 21) (А + ^)2п+1
2 " Г (А + 7)2и+! (А + 7)2и+2
п-и 0
ОС
_ Акгк2 \ - [ Х(х+2п1) (А + ^)2и
3 Ы (л+^)2и+:
2/с2
д<1 А, дйХ,
(А + 7)2«+25ЙЛ'
Из разложения функции /(х,у) (9) следует равенство
СО
${—х + 1,у) = J еА^ж-^дйА, х < 0, 4 > 0.
(15)
(16)
(17)
(18)
Отсюда аналогично работе [3] получим формулу
(-1)*
СО ОС
У е-^д'Че-^Д-ж + ^у)]^ = J е
Ах (А + ^д (А + 7)и+1
с1Х, х < О,
(19)
где п = 0,1,к = 0,1,7 > О, функция д(у, А) имеет вид (8).
6 = 1-1, = — >0.
2
С учетом формулы (19) решение (16)—(18) задачи (6), (3), (4) непосредственно выражается через функцию f(x,y) (7) без разложений Фурье в виде
ОС СЮ
ui = f(x, У) + f(~x, у) - — У —Цу [ e~5tt2n {d^n[e~vtf(-x + 2nl + t, у)] +
Р „_п \АП)- J
__________________________________________________________________0________________
+ 2П _|_ 1 ^f2"+1 Iе ,Лf(~x + 2nl + 21 + t,y)]^ dt, (20)
ОС °°
e-sH2n{d^[e-^f(x + 2nl + t,y)}-
____________________Q_______________________________________
~ 2n + 1 d*2”+1 Iе + “Znl + 2^ + t, y)] | dt,__________________________(21)
ОС °°
U3 = £ 1 f e-&tt2n+1d2tn[e~vtf{x + 2 nl +1, y)]dt, (22)
где постоянная p имеет вид (14). Полученные формулы (20)-(22) справедливы для общего случая задач (1)-(4) и (5). Для полученного решения имеет место следующая теорема, аналогичная теореме работы [4].
Теорема. Если функция f(x,y) является решением задачи (5) и для любого п = 0,1,... выполняется условие
\d™[e-vxf(x,y)]\<cameax, х^+оо, (23)
где 0 < а < ар, ар(1 + /леа°1) = 5, /л = evl, то решение задачи (1)-(4) строится по формулам (20)-(22).
Доказательство. Функция /3(а) = а( 1 + цеа1) монотонно возрастает при 0 < а < «о от нуля до 5 = ско(1 + цеа°1) > 0 , при этом а < сад < сад(1 + цеа°1) = 8. Отсюда при 0 < а < сад следуют неравенства
а < S, Р(а) = а( 1 + /j,eal) < 5, (24)
при этом из условия (23) при х > 0 следует \д2п[е 1/1/(х + 2п1 + Ь,у)]\ < са2пе(а+1/)(х+2п1)+а*^ Отсюда для первого интеграла (20) получим оценку
(2 п)\
ОС
J е-&Н2пд2п[е~,Л f{x + 2nl + t,y)]dt
<
ОС
“ (2п)! /e~Stt2n\$n\e~Vtf(x + 2nl + t’y)\\dt<
<
са2п e(a.+v)(x+2nl)
(2п)\
e-(5-a)tt2ndt =
ce(a+v)x
—х------'
о — а
‘2п
где х > О,
ае{а+^1
г = —к------‘
_____о — а__
В силу неравенств (24) имеем 0 < г < 1. Аналогичные оценки имеют место для остальных членов рядов (20)-(22). Отсюда ряды (20)-(22) мажорируются рядами, сходящимися со скоростью геометрических прогрессий, т. е. ряды (20)-(22) сходятся и допускают дифференцирование необходимое число раз.
Полученные решения (20)-(22) имеют вид операторов, действующих на заданную функцию /(х,у) по одной переменной х, мультипеременная у остается свободной (параметром). В условиях сопряжения (3), (4) также участвует только переменная х. При этом эти условия для функций (20)-(22) выполняются тождественно. Аргументы функции /(х,у) в формулах (20)—(22), кроме первого слагаемого в формуле (20), принадлежат области х > 0, где условия задачи для функции /(х,у) однородны. Отсюда функции (20)-(22) удовлетворяют условиям задачи (1)—(4), что проверяется непосредственно. Теорема доказана.
В частном случае при Ь = <92, у е Я формулы (20)-(22) выражают гармонические функции щ(х,у) на кусочно-однородной плоскости с двумя завесами через гармоническую на однородной плоскости функцию /(х,у) с сохранением её особых точек. При этом формулы (20)-(22) содер-жат однократные квадратуры от гладких функций без осцилляций, и эти формулы справедливы для широкого класса особых точек функции /(х,у) (23), включая фундаментальное решение типа источника.
Отметим, что решения (10)—(12), полученные методом Фурье, содержат двукратные квадратуры (внешнюю и внутреннюю в коэффициентах Фурье (8)) от сильно осциллирующих функций, и, кроме того, эти решения справедливы для достаточно узкого класса функций /(х,у) в смысле их
поведения на бесконечности.
Список литературы
1. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1550-1556.
2. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.
3. Холодовский С. Е. О решении краевых задач в полупространстве, ограни-ченном многослойной плёнкой / / Ученые записки Забайкальского государственного гуманитарно-педагогического университета. Серия «Физика, математика, техника, технология». № 3 (38). Чита. 2011. С. 160-164.
4. Холодовский С. Е. О решении краевых задач в цилиндрах с двумя параллельными трещинами // Математический анализ и его приложения. Вып. 10 / Забайкальский государственный гуманитарно-педагогический университет. Чита. 2011. С. 56-62.
Статья поступила в редакцию 29.01.2012 г.
