О решении задачи Дирихле в кусочно-однородной полосе с двухслойным плёночным включением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК 22:23

Наталья Валерьевна Кузнецова,

старший преподаватель, Южно-Якутский институт железнодорожного транспорта (678965, Россия, г. Нерюнгри, ул.Карла Маркса, д. 7/1)

e-mail: [email protected]

О решении задачи Дирихле в кусочно-однородной полосе с двухслойным

плёночным включением

Рассмотрена задача Дирихле для уравнения Лапласа в кусочно-однородной полосе D(x £ R) = Di(x < 0) U D2(x > 0), 0 < y < п проницаемости k в Dj. Области Dj разделены бесконечно тонкой двухслойной плёнкой, состоящей из сильно и слабопроницаемых прослоек. Решение задачи выражено через решение классической задачи Дирихле в однородной полосе без плёнки.

Ключевые слова: краевые задачи в полосе, двухслойное плёночное включение, сильно проницаемая плёнка, слабопроницаемая плёнка, метод свёртывания разложений Фурье.

Natalia Valerievna Kuznetsova,

Senior Teacher, South-Yakutiya Institute of Railway Transport (7/1 Karl Marx St., Neryungri, Russia, 678965) e-mail: [email protected]

On the Solution of the Dirichlet Problem in a Piecewise Homogeneous Band with the Two-layer Film Inclusion

Consider the Dirichlet problem for the Laplace equation in a piecewise homogeneous band D(x £ Д) = D1(x < 0) U D2(x > 0), 0 < y < п of permeability kj in the Dj. Regions Dj are separated by an infinitely thin two-layer film x = 0consisting of a hard and low permeability layers. Solution of the problem is expressed in terms of the classical solution of the Dirichlet problem in a homogeneous band without film.

Keywords: boundary value problems in the band, two-layer film inclusion, strongly permeable film, weakly permeable film, method of convolution of Fourier expansions.

В современных условиях широкое применение находят композитные материалы, содержащие плёночные включения. Поэтому большой интерес имеет исследование процессов тепломассопере-носа в средах с многослойными плёнками. При решении задач с пленочными включениями, как правило, рассматриваются однослойные плёнки [1-3].

Рассмотрим в кусочно-однородной полосе D(x £ Д, 0 < у < п), состоящей из двух полуполос Di(x < 0,0 < у < п) и D2(x > 0,0 < у < п) для функций uj(x, у) в Dj задачу:

Ди 0, ui| y=n 0, u2| y=n f (x), ui,2|y=0 0, (1)

x = 0 : м2 — ui = Bk2dxu2, k2dxU2 — kidxui = Ad2ui, (2)

где B, A - положительные постоянные, f (x) - заданная функция, Дм - оператор Лапласа, постоянные kj > 0 характеризуют проницаемость соответствующей зоны Dj, dy = d/dy, граничная функция f (x) удовлетворяет условиям:

f (x) £ C(x > 0), |f (x, y)| = O(1), x ——

© Кузнецова Н. В., 2014

65

Обобщённые условия сопряжения (2) соответствуют условиям на двухслойной плёнке х = 0, состоящей из сильно проницаемой прослойки х = —0 и слабопроницаемой прослойки х = +0 с параметрами соответственно А и В [4]. В данном случае граничное условие неоднородно только на луче у = п, х > 0, что не умаляет общности, т.к. в случаях неоднородных условий на других лучах, составляющих границу В, задача решается аналогично, а в общем случае - как сумма решений указанных задач.

Выразим решение задачи (1), (2) через решение аналогичной классической задачи Дирихле в однородной полосе В без плёнки. Представим решение задачи (1), (2) при (А — Вкік2)2 > 4АВк^, (А — Вк1к2)2 < 4АВ&2 и (А — Вк1к2)2 = 4АВ&2 соответственно в виде (см. формулы (12)-(18) в работе автора [4]):

|_ю

= 7^ / ~ ^ ~~ е~72^ ^

о

М2 = «(х,у) + «(—х,у) —

-~^= J у(-х - і, у) [(*1 - А^\)е 111 - (к\ - А^2)е І2І] ¿і; (4)

СЮ

о

СЮ

4к2

и 1

J «(х — і, у)е віп в^і, (5)

СЮ

4

М2 = «(х,у) + «(— х,у) —

J «(—х — і,у)е-“*[(к1 — Аа) віп ві + Ав сов ві] ¿і (6)

о

СЮ

и1 = ^£ I ъ(х -Ь,у)е~аЧс&, (7)

о

СЮ

м2 = у(х, у) + у(—х, у) - J у(-х - і, у)е~аЛ[(кі - Аа)і + А] ¿і, (8)

где

7і = А + Вкі2Івк[ 1)1 ^' Т=(А-Вк1к2)2 -ААВкІ

А + Вкік2

а = — ---, р

2АВк2 ’ 2АВк2

Решения (3)—(8) получены с помощью метода свёртывания разложений Фурье [5; 6]. Функции (3)—(8) представляют собой операторы, действующие на функцию «(ж, у) по одной переменной ж, при этом переменная у является свободной (параметром). Аргументы слагаемых в формулах (3)—(8), кроме первого слагаемого вида у (ж, у) у функции М2(ж, у), принадлежат области, где условия задачи однородны, что проверяется непосредственно. Отсюда для функции «(ж, у) получим аналогичную задачу Дирихле в однородной полосе Б с сохранением граничной функции:

Ду = 0, 0 < у < п, (9)

-п =/0, х< 0 (10)

У|у = 0 0, у| У = П Л £( Ч п • (10)

I/(ж), ж> 0

и

Решение последней задачи построим методом функции Грина. Для нахождения функции Грина с

помощью аналитической функции Z = ez (Z = С + ¿П, z = x + ¿y) конформно отобразим полосу D в полуплоскость Do (С £ Д, п > 0). При этом

С = р cos ^ = ex cos y, п = Р sin ^ = ex sin У, (11)

где р, <£> - полярные координаты плоскости Z. Отсюда в переменных С, п функция Грина в полуплоскости Do строится методом отражения особой точки и имеет вид:

с = J_ , ~ Ь)2 + (У ~ Vo?

4тг (£ - £0)2 + (г) + г]0)2

или в переменных x, y (11)

G _ J_ J ch(x - Хр) - cos (у - yo)

47Г ch(x — ж0) — cos(y + yo)'

Тогда решение задачи (9), (10) строится по формуле Грина:

СЮ

o

Таким образом, решение исходной задачи (1), (2) строится по формулам (3)-(8), (12).

Пусть граничная функция имеет вид:

f<x> = (0” x £ ("• ,Ii+1) (13)

|^0, x £ (xj,xi+i)

при фиксированном ¿, где xi > 0. Тогда решение (12) задачи (9), (10) для граничной функции (13) строится в конечном виде:

Cj / exi+i-x +cosy exi-x + cosy\

г>(ж, у) = — arctg-------------------arctg--------------- . (14)

n y sin y sin y y

Функциями (13) можно аппроксимировать произвольную непрерывную граничную функцию f (x) с заданной точностью. При этом решение задачи (9), (10) имеет вид суммы функций (14):

( \ V^Ci ( f е^+1_ж+cosy eXí-x+cosy\

v(x,y) = } — arctg------------------arctg--------------- . (15)

n \ sin y sin y y

Отметим, что для функции v(x, y) (15) решение (3)-(8) исходной задачи (1), (2) сводится к вычислению интегралов вида:

{' dr

J (r — c)Yi (r2 + s2) ’

где c = cos y, s = sin y. При этом указанные интегралы для целых Yi вычисляются в элементарных функциях.

Список литературы

1. Васильев Б. А. Плоская стационарная задача теории теплопроводности для составной клиновидной области // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 3. С. 530-533.

2. Гуревич А. В., Крылов А. Л., Топор Д. Н. Решение плоских задач гидродинамики пористых сред вблизи разрывных нарушений методом комплексного потенциала // ДАН СССР. 1988. Т. 298. № 4. С. 846-850.

3. Крутицкий П. А., Прозоров К. В. К задаче для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 9. С. 1268-1283.

4. Нутчина-Пестрякова Н. В. О решении задачи Дирихле в кусочно-однородной полуплоскости с двухслойным плёночным включением // Математический анализ и его приложения. 2011. Вып. 10. Чита. ЗабГГПУ. С. 41-49.

5. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1550-1556.

6. Холодовский С. Е. Метод свёртывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 12041208.

References

1. Vasil’ev B. A. Ploskaya statsionarnaya zadacha teorii teploprovodnosti dlya sostavnoi klinovidnoi oblasti // Differents. uravneniya. 1984. T. 20. № 3. S. 530-533.

2. Gurevich A. V., Krylov A. L., Topor D. N. reshenie ploskikh zadach gidrodinamiki poristykh sred vblizi razryvnykh narushenii metodom kompleksnogo potentsiala // Dan SSSR.

1988. T. 298. № 4. S. 846-850.

3. Krutitskii P. A., Prozorov K. V. K zadache dlya uravneniya Gel’mgol’tsa vne razrezov na ploskosti s zadaniem usloviya Dirikhle i usloviya s kosoi proizvodnoi na raznykh storonakh razrezov // Differents uravneniya. 2011. T. 47. № 9. S. 1269-1283.

4. Nutchina-Pestryakova N. V. O reshenii zadach Dirikhle v kusochno-odnorodnoi poluploskosti s dvukhsloinym plenochnym vklyucheniem // Matematicheskii analiz i ego prilozheniya. 2011. Vyp. 10. Chita: ZabGGPU. S. 41?49.

5. Kholodochskii S. E. Metod svertyvniya razlozhenii Fur’e v reshenii kraevykh zadach s peresekayushchimisya liniyami sopryazheniya // Zhurnal vychislitel’nyi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2007. T. 47. № 9. S. 1550-1556.

6. Kholodovskii S. E. Metod svertyvaniya razlozhenii Fur’e. Sluchai treshchiny (zavesy) v neodnorodnom prostranstve // Differents. uraneniya. 2009. T. 45. № 8. S. 1204-1208.

Статья поступила в редакцию 03.05.2014