О построении особых точек потенциалов на кусочно-однородной плоскости с пленочным включением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В 143

Г. М. Яковлева

г. Чита, Россия

О построении особых точек потенциалов на кусочно-однородной плоскости

с пленочным включением

Рассмотрены задачи для уравнения Лапласа на плоскости, состоящей из двух однородных зон (полуплоскостей), когда одна из зон содержит сильно проницаемую трещину или слабо проницаемую завесу, параллельную границе. Методом свертывания разложений Фурье потенциалы выражены через гармонические функции с сохранением их особых точек.

Ключевые слова: особые точки потенциалов, сильно проницаемая трещина, слабо проницаемая завеса, метод свертывания разложений Фурье.

On Construction of the Singular Points of the Potentials on Piecewise Homogeneous Plane with the Inclusion of Film

We consider the problem for the Laplace equation in the plane, consisting of two homogeneous zones (half-planes), where one of the zones contains highly permeable crack or weakly permeable screen, parallel to the boundary. By method of convolution of Fourier expansions the potentials expressed through harmonic functions with preservation of their singular points.

Keywords : singular points of the potentials, strongly permeable cracks, weakly permeable screen, a method of convolution of Fourier expansions.

Рассмотрим установившиеся процессы тепломассопереноса на плоскости х, у, состоящей из трех однородных зон В\{х < 0), ^(0 < х < I), Вз(х > I), у € Д, когда зоны В и В имеют одинаковую проницаемость &2 и они разделены сильно проницаемой трещиной или слабо проницаемой завесой х = 0, при этом зона Вз имеет проницаемость кз, отличную от &2. Процесс индуцируется заданными особыми точками потенциала (источниками, стоками и т.д.), расположенными в зоне В1. Пусть на плоскости х, у задана гармоническая функция /(х, у), имеющая указанные особые точки при х < 0. Функция f (х, у) является потенциалом рассматриваемых динамических процессов на однородной плоскости без трещины (завесы). Задача заключается в нахождении потенциалов на указанной кусочно-однородной плоскости с трещиной (завесой) при сохранении особых точек функции /(х, у).

Данная задача имеет большой практический интерес в связи с широким применением в технике композитных материалов, состоящих из разнородных сред, которые могут содержать пленочные включения.

1. Случай трещины. Пусть зоны В1 и В2 разделены трещиной х = 0. Для потенциалов м*(х, у) в Вг задача имеет вид

G. M. Yakovleva

Chita, Russia

(1)

x = 0 : uy = ui, dxuy — = Adyui,

(2)

x = l : из = uy, кздхиз = kydxuy,

(3)

© Яковлева Г. М., 2011

221

где х, у - декартовы координаты, А > 0 - параметр трещины [1; 2], дП = д”/дх”, при этом функция М1(х,у) в В имеет особые точки заданной гармонической функции /(х,у) (уравнение (1) для функции М1 выполняется вне особых точек), т. е. в окрестности особых точек имеет место условие

(4)

Методом работ [1-3] выразим решение задачи (1)-(4) через функцию /(х,у). Предположим сначала, что функция /(0, у) разлагается в интеграл Фурье:

СЮ

/(0, у) = J д^Л, д(у, Л) = /1 Бт Лу + /2 еов Лу,

(5)

где /¿(Л) - коэффициенты Фурье функции /(0, у). Отсюда функция /(х, у) в полуплоскости х > 0, где она не имеет особых точек, представима в виде

/(х, у) = J е Ажд^Л, х > 0

(6)

(формула (6) дает решение задачи Дирихле Дм = 0, х > 0, м|ж=0 = /(0, у), полученное методом Фурье). Из равенства (6) следует формула (см. [1-3]):

(А + 7)"+1ЙЛ’

х 0,

(7)

где 7 > 0, п = 0,1, 2,.... Дифференцируя равенство (7) по х, найдем

11 е-уЧпд^(-х + г,у)я = I

А е з

(Л + 7)«+1

¿Л, х < 0, 7 > 0.

(8)

Представим решение задачи (1)-(4) в виде

СЮ

М1 = х< 0

(9)

СЮ

м2 ^ У [Ь ^ Л(х — I) + еИ Л(х — I)] д ¿Л, 0 < х < I,

(10)

мз = ре

— А(ж — I)

д ¿Л,

х > I,

(11)

где функция д(у, Л) имеет вид (5). При этом функции (9)—(11) удовлетворяют условиям (1), (4) (при условии сходимости и дифференцируемости интегралов (9)—(11)). Из условий сопряжения (2), (3) найдем

елг(&2 + &з) - е лг(&з - &2) , 2А;з 2^2

а = — 1 И------------------------------------, о=--------------а = р =-------------,

где

г = &2(АА еИ А/ + ел1)+ &3(АА вИ А/ + ел1),

при этом г > 0 при 0 < А < то. Отсюда

1 7е-лг

где

г (А + 7)(&2 + *з)(1 - ?)’

(12)

|д| < 1 при 0 < А < то. Разлагая дробь (1 — д) 1 (12) в геометрическую прогрессию, получим

п АП е—лі (2п+1)

Е

г ^2 + &з ^ (А + 7)П+1

п=0 4 '

Отсюда функции (9)—(11) примут вид

«1 = /(ж, у) - /(-Ж, у) + 7 ^2 ^ ------(Д+ 7)п+1--------

Ап[ел(х — 2п1) ел(х — 2п1 — 21)

°° * Ап[е—л(ж+2п1) ел(х —2п1 —21)

«2 =7 У"*'” —---------тт--------Г-ГІ---------------

.1 (А + 7)”+1 у ’

со

/* АПе — л(х+2п1)

г,3 = 7(1 - *) $>" -7^Т^ГдЗХ

0 , (А + 7)п+1

00

Тогда с учетом формулы (8) решение задачи (1)-(4) непосредственно выразим через заданную гармоническую функцию /(ж, у) (без разложений Фурье) в виде

«1 = /(ж, у) _ /(_ж,у)+

СО

„п /•

+7 е г*і"<9"[/( — ж + 2п1 + і, у) — г//(—ж + 2п1 + 2/ + і, у)]сЙ, (14)

п=0 п' ^

«2 = 7 е 7і:і"9"[/(ж + 2п/ + і, у) — г//(— ж + 2п/ + 21 + і, у)]сЙ, (15)

п=0 ' П

СЮ

,п

Ю V™ /*

из = 7(1 - и) У' ~г e~'lttnд™f(x + 2п1 + ¿,г/)А, (16)

П=0 п! о

где постоянные 7, V имеют вид (13).

Формулы (14)—(16) справедливы для функций /(х, у) достаточно широкого класса. В частности функция /(х, у) может иметь в бесконечности полюс произвольного порядка, при этом указанная функция /(х, у) не разлагается в интеграл Фурье (6).

2. Случай завесы. Пусть в рассматриваемой задаче зоны В1 и В2 разделены слабо проницаемой завесой х = 0. Отсюда для потенциалов мг(х, у) в В задача примет вид (1), (3), (4),

х = 0 : м2 — М1 = ВдхМ1, дхМ2 = дхМ1, (17)

где В - параметр завесы [1]. Представляя решение этой задачи в виде (9)-(11), из условий сопряжения (3), (17) найдем

еА1(к2 + кз) — е—А1(к2 — кз) 2кз 2&2

а = 1-------------------------------, о =----------а = р =---------,

где

г = кз(ВЛ еИ Л1 + еАг) + к2(ВЛ Л1 + еАг).

Отсюда

£е

-Аг

г (Л + ¿)(*2 + кз)(1 — д)’

где

Ае 2X1 /х 2 к2-кз /1СЛ

, = "в' "=*^5’ (18)

|д| < 1 при 0 < Л < то. Разлагая дробь (1 — д) 1 в геометрическую прогрессию, получим

1

1 _ (5 цпХпе-Х1(-2п+1'>

г ~ к2 + к3^ (А + (5)"+! '

п=0 4 '

Тогда с учетом формул (6), (8) решение (9)-(11) задачи (1), (3), (4), (17) непосредственно выразим через заданную гармоническую функцию /(х, у) в виде

М1 = /(х, у) + /(—х,у) —

СЮ

Ю ..П г

+(5^^—е_<5^"9"[/(—х + 2п1 + у) — ц/(— х + 2п1 + 21 + у)\&, (19)

—о П! 0

м2 = 6 е ^пдх[/(х + 2п1 + у) + А*/(—ж + 2п/ + 2/ + у)]сЙ, (20)

П=0 ! 0

us = <5(1 + fi) / е dttnc)r4(x + 2nl +1, у)ей

пч

п—0 п

(21)

где постоянные ¿, ^ имеют вид (18).

Отметим, что полученные решения (14)—(16), (19)—(21) имеют вид операторов, действующих на функцию /(х, у) по одной переменной х. В условиях сопряжения (2), (3), (17) также участвует одна переменная х (переменная у остается свободной). Отсюда посредством композиции операторов (14)-(16), (19)—(21), действующих по переменным х и у, можно строить потенциалы, имеющие заданные особые точки, на плоскости с четырьмя пересекающимися линиями сопряжения х = 0, х = /1 и у = 0, у = /2 типа идеального контакта и двух трещин или двух завес, или трещины и завесы в произвольной их комбинации.

Список литературы

1. Kholodovskii S. E. A Method of Convolution of Fourier Expansions as Applied to Solving Boundary Value Problems with Intersecting Interface Lines // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, Vol. 47, № 9, pp. 1489-1495.

2. Kholodovskii S. E. The Convolution Method for Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations, 2009, Vol. 45, № 6, pp. 873-877.

3. Kholodovskii S. E. The convolution method for fourier expansions: The case of a crack (screen) in an inhomogeneous space // Differential Equations, 2009, Vol. 45, № 8, pp. 1229-1233.

Рукопись поступила в редакцию 16 апреля 2011 г.