О построении гармонических функций на плоскости с составным пленочным включением типа трещины-завесы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В 143

Н. В. Игнатьева

г. Чита, Россия

О построении гармонических функций на плоскости с составным пленочным включением типа трещины-завесы

Выведены формулы для гармонических функций, имеющих произвольно заданные особые точки, на кусочно-однородной плоскости при наличии последовательно соединенных трещины и завесы, лежащих на прямой.

Ключевые слова: уравнение Лапласа, особые точки потенциала, трещина, завеса, метод свертывания разложений Фурье.

N. V. Ignatyeva

Chita, Russia

The Construction of Harmonic Functions on the Plane with a Composite Film of a Crack-screen Type

The formulas for harmonic functions with arbitrarily given singular points on a piecewise homogeneous plane with a sequence of connected cracks and screen lying on the line were derived.

Keywords: Laplace equation, the singular points of the potential, the crack, the screen, the method of convolution of Fourier expansions.

В промышленности большое распространение имеют композитные среды, состоящие из различных материалов, типа металл-пластмасса, металл-керамика и т.д. В силу различных теплофизических свойств контакты разнородных сред часто не являются идеальными и содержат сильно и слабо проницаемые пленки, которые называем соответственно трещинами и завесами [2; 3]. При этом при неравномерной деформации, при неравномерном тепловом режиме и т.д. на одних участках контакта могут возникать трещины, а на других - завесы.

Рассмотрим задачу построения гармонических функций, имеющих заданные особые точки на кусочно-однородной плоскости г = х + іу, состоящей из двух полуплоскостей Dl(у < 0) и > 0)

проницаемости в Dj, когда луч Ъ\(х < 0,у = 0) является слабо проницаемой завесой, а луч ^(х > 0,у = 0) - сильно проницаемой трещиной. Перейдем на плоскости г к параболическим координатам £,п : х = С2 — п2, у = 2£п, 0 < п < ^, при этом полуплоскость D(£ Є Д,п > 0) на вспомогательной плоскости £ = £ + іп функцией г = £2 конформно отображается на всю плоскость г = х + іу с разрезом в виде луча ^(х > 0,у = 0) [1]. На плоскости £ завеса Ь\ и трещина ^2 являются соответственно прямыми Ьі(£ = 0, п > 0) и ^2(£ Є Д, п = 0), а области Dl и D2 -соответственно квадрантами Dl(£ < 0) и D2(£ > 0), п > 0. Поставим задачу в параболических координатах £, п плоскости г или в декартовых координатах плоскости £. Для потенциалов Uj (£, п) в Dj (вне особых точек) имеет место уравнение Лапласа

д|и + = 0, (£,п) Є Dj, і = 1,2, (1)

где д^ = д”/д£”. Следуя работам [2; 3], завесу (трещину) моделируем бесконечно тонким слоем с бесконечно малой (большой) проницаемостью. Для вывода условий сопряжения на трещине ^2(£ Є Д, п = 0) заменим ее слоем Do(£ Є Д, 0 < п < I) проницаемости ко при выполнении классических условий сопряжения при п = I : ио = Uj, кодпио = kjдпUj (і = 1 при £ < 0, і = 2 при £ > 0) и условий вида

© Игнатьева Н. В., 2011

205

мо(£, 0) = Мо(—£, 0), дпмо(£, 0) = дпМо(—£, 0),

где м®(£, п) - потенциалы в ^, г = 0,1, 2. Указанные условия выражают непрерывность потенциалов и нормальных скоростей на контакте зон и До , а также на разрезе ^(ж > 0, у = 0) плоскости г, т. е. этим разрезом можно пренебречь. Вычисляя приращения потенциала и нормальной скорости на дДо и переходя к пределу при / ^ 0, ко ^ то, ко/ ^ А, аналогично работам [2; 3] получаем условия сопряжения на трещине Ь2(£ € Я, П = 0) вида

М2(£, 0) = М1(—£, 0), МпМ2(£, 0) + к\дпМ1(—£, 0) = АдП«1(-^, 0), (2)

где А - параметр трещины. Рассуждая аналогично (при / ^ 0, ко ^ 0, ко// ^ В), получаем условия сопряжения на завесе Ь1(С = 0, п > 0):

£ = 0 : М2 — М = Вк1д^М1, к2д^М2 = к1д^М1, (3)

где В - параметр завесы.

Далее полагаем, что особые точки потенциала расположены в одной из зон , например, в зоне ^(£ > 0, п > 0). Пусть на всей плоскости £ = £ + гп определена гармоническая функция / (£, п), которая имеет указанные особые точки в ^2. Функция / (£, п) является потенциалом данного течения на однородной плоскости £. Отсюда в окрестности особых точек

М2 — /(^ ^- (4)

Таким образом, для потенциалов м в ^ задача имеет вид (1)-(4). Представим решение этой задачи в виде [2; 3]:

СЮ

2

1о

СЮ

И2(С,??) = ¥>(£,??) + ¥>(■-£,??) - I -t,'n)dt, (6)

2о

где

к1 + к2

7 = №В! (7)

при этом функции м тождественно удовлетворяют условиям сопряжения (3) на завесе £ = 0. Отсюда для функции у>(£, п) в однородной полуплоскости п > 0 получим задачу

д|^ + д^ = 0, ^ - /(£, п), (8)

СЮ

<?(£, 0) + <?(—£, 0) = 2^ ^ е-^(— £ — £, 0)Л, (9)

о

СЮ

^(£,0) + а^у>(-£,о) = у J е )'г;^^(—£ — о)^, (ю)

о

где

0=^. (и)

Предположим, что заданная функция f (С, 0) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье fi:

СЮ

f (С, 0) = | fjCTjdA, ai = sin A£, 72 = cos A£. (12)

Здесь и ниже по повторяющимся в одной части равенства индексам i = 1, 2 суммируем. Отсюда в полуплоскости п < 0, где функция f (С, п) не имеет особых точек, выполняется равенство

СЮ

f (С,п)^у* eAnfi^idA, п< 0. (13)

о

Представим решение задачи (8)-(10) в виде

СЮ

^(С,п) = f (С,п) + У e-XriaiaidA, п> 0, (14)

о

при этом функция ^ удовлетворяет условиям (8). Отсюда с учетом равенств

СЮ СЮ

[ e~xt sin At dt = —т,--о, f cos At dt = ^

А2 + 72 ’ У А2 + 72 ’

оо

сравнивая коэффициенты при 71 в условии (9), получим уравнение

(/1 + а1)7 + (/2 + а2)А = °- (15)

При этом сравнение коэффициентов при 72 в условии (9) дает тождество. Сравнение коэффициентов при 71 в условии (10) также дает уравнение (15), при этом сравнение коэффициентов при 72 в условии (10) с учетом (15) дает уравнение

г А(/2+а2)

/ 2 — «2 —

в

Отсюда параметры а* найдем в виде

, 2/ЗА/а ( 2/3 Л ,

а1 “ “Л “ ^0) ’ 02 “ 1аТ^ “1) я

Тогда решение ^ (14) задачи (8)—(10) с учетом разложения (13) примет вид

СЮ

72 А71

¥>(С, n) = f (С, n) - f (С, —n) + 2в | е-Лп

A + в y(A + в).

f2dA. (16)

Полученное решение (16) содержит две квадратуры - внешнюю и внутреннюю (в коэффициентах Фурье /*) от сильно осциллирующих в бесконечности функций 7* (12). Следуя методу работ [2; 3], выразим функцию (16) непосредственно через заданную гармоническую функцию /(£, п) (без разложений Фурье). Из разложения (13) следует равенство

СЮ

^(£,п) = 2/еЛп/272ЙА, п < 0, (17)

о

где ^(£, п) = /(£, п) + /(—£, п). Отметим, что функция ^(£, п) - четная, а функция д^^(£, п) -нечетная по £. Заменяя в равенстве (17) п на п — £ (£ > 0), умножая полученное равенство на е-в* и интегрируя по £ € (0, то), получим формулы

то оо

оо

СЮ

1 [ -втъ т?<г w [ ЛеЛпf2ai

Ю

2 е dHF(^ V ~ T)dT = ~ —-—dX.

оо

Отсюда функция (16) примет вид

СЮ СЮ

(fi = Ф(£, г/) + /3 j e_/3r_F1(£, —г/ — r)dr + — j е~!3тd^F(^, —г/ — r)dr.

Y

о

где Ф(£, п) = /(£, п) — /(£, —п). Тогда решение (5), (6) исходной задачи (1)-(4) приводится к виду

СО

оо

СЮ СЮ

2

u2 = F(€,v)-F(€,-r}) -j e 7*Ф(-£ -t,rj)db + ^ j e —rf — r)dr, (19)

2о

где постоянные 7, в имеют вид (7), (11). Можно непосредственно проверить, что функции (18), (19) удовлетворяют условиям задачи (1)—(4) для любой гармонической функции f (С, п), удовлетворяющей условиям f (С, п) = O(ea1^) при С ^ и f (С, п) = O(e“2n) при п ^ +то, где а1 < 7, а2 < в.

Решения (18), (19), с одной стороны, проще решений, полученных в виде разложений Фурье (5), (6), (16), т. к. функции (18), (19) содержат по одной квадратуре без осцилляций. С другой стороны, формулы (18), (19) справедливы для более широкого класса особых точек заданной гармонической функции f (С, п), которая в бесконечности может иметь полюсы произвольного порядка или существенную особенность указанного выше порядка.

Список литературы

1. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

2. Kholodovskii S. E. The Convolution Method for Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations, 2009, Vol. 45, № 6, pp. 873-877.

3. Kholodovskii S. E. The convolution method for fourier expansions: The case of a crack (screen) in an inhomogeneous space // Differential Equations, 2009, Vol. 45, №. 8, pp. 1229-1233.

Рукопись поступила в редакцию 16 апреля 2011 г.