О решении задачи Неймана в полуплоскости с трещиной (завесой) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В 143 Н. Н. Шадрина

г. Чита, Россия

О решении задачи Неймана в полуплоскости с трещиной (завесой)

Выведены формулы, позволяющие по известному решению классической задачи Неймана в полуплоскости строить решения второй краевой задачи в полуплоскости с трещиной или завесой, параллельной границе.

Ключевые слова: краевые задачи, трещина, завеса, метод свертывания разложений Фурье.

N. N. Shadrina

Chita, Russia

Solution of the Neumann Problem in the Half Plane with a Crack (Screen)

There have been derived formulas that make it possible in the half plane to build the second boundary value problem in the half plane with a crack or a screen, parallel to the boundary using the known solution of the classical Neumann problem.

Keywords: boundary value problems, crack, screen, the method of convolution of Fourier expansions.

Во многих прикладных задачах математической физики большой интерес имеют задачи в средах, содержащих пленочные включения в виде сильно проницаемых трещин и слабо проницаемых экранов-завес. Пленочные включения существенно изменяют пластичные свойства материалов, что широко используется в промышленности. В данной статье рассматриваются краевые задачи в полуплоскости с трещиной (завесой), параллельной границе, с граничными условиями второго рода.

1. Случай трещины. Рассмотрим в однородной полуплоскости D(y < 0) = Di_(y < —l) U D2( —l < y < 0), x € R с трещиной y = —l задачу Неймана вида [1; 2]:

Aui = 0, (x, y) € Di; dyU2|y=o = f (x), (1)

y = —l : м2 = ui, dyм2 — dyui = Adjjui, (2)

где A - параметр трещины [3; 4]. Пусть известно решение F(x, y) аналогичной задачи Неймана в полуплоскости D без трещины

AF = 0, (x,y) € D; dyF|y=o = f (x). (3)

Методом свертывания разложений Фурье [3; 4] выразим решение задачи (1), (2) через функцию F(x,y). Предположим, что функция F(x, 0) разлагается в интеграл Фурье:

СЮ

F(x, 0) = j g(x, A)dA, g(x, А) = f1 sin Ax + f1 cos Ax, (4)

© Шадрина Н. Н., 2011

217

где /® - коэффициенты Фурье функции Р(ж, 0). Рассмотрим задачу Дирихле в полуплоскости В(у < 0) с граничной функцией Р(ж, 0) вида Дм = 0, М|у=о = Р(ж, 0), решением которой является функция Р(ж, у). С другой стороны, решая эту задачу методом Фурье, получим разложение функции Р(ж, у) в интеграл Фурье вида

СЮ

Р(ж, у) = J еЛудйЛ, у < 0, (5)

где функция д(ж, Л) имеет вид (4). Представим решение задачи (1), (2) также в виде разложений Фурье:

СЮ СЮ

М1 = J ах еЛ(у+г)дйЛ, м2 = Р(ж, у) ^ У а2 д сЬ Лу ЯЛ, (6)

оо

при этом функции (6) удовлетворяют уравнению и граничному условию (1). Из условий сопряжения (2) с учетом разложения (5) для параметров а* получим систему алгебраических уравнений, решение которой имеет вид

1 е-Л1АЛ

«1 = —, 0-2 = —

Я 2 й ’

где

й = АЛсИЛ1 + ел > 0, 0 < Л< то. (7)

Отсюда решение (6) задачи (1), (2) получим в виде

СЮ

Г еЛ(у + 0 д

и\ = ---d\ у < —(8)

о

м2 = Р(х,у) — А У 6 Л^сЬЛ^А, —1<у<0, (9)

о

где функции й, д равны (7), (4), Р(ж, у) - решение задачи Неймана (3). При этом подынтегральные функции (8), (9) при Л ^ 0 ограничены и при Л ^ то имеют соответственно асимптотику 0(Л-1еЛу) при у < —1 и 0(е-Л(у+21)) при —1 < у < 0. Отсюда интегралы (8), (9) в соответствующей зоне В* сходятся и допускают дифференцирование необходимое число раз. Условия задачи (1), (2) для функций (8), (9) проверяются непосредственной подстановкой.

Приведем решение (8), (9) к виду, не содержащему разложений Фурье (сильные осцилляции). Из равенства (7) следует

1 _ 7е~лг

2 (Л + 7)(1-д)’

где

2 Ле-2л . .

7 = “Г > 0, 9=—г-—, Ю

А Л + 7

при этом |д| < 1 при 0 < Л < то. Разлагая дробь (1 — д)-1 в геометрическую прогрессию, найдем

1 хЮ е-л1(2п+1)Лп

= 7Е(-1Г

Заменяя в разложении (5) переменную y < 0 на y — z (z > 0), умножая полученное равенство на е Yzz”(n!)-1, где y > 0, n = 0,1, 2,..., и интегрируя по z € (0, то), аналогично [3; 4] получим формулу:

СЮ СЮ

1 / = j » < О

oo Дифференцируя последнее равенство по y, получим

СЮ СЮ

1 f -yz w feXvXkg{x,\)

- J e -У z dyF(x,y-z)dz = J (A + 7)n+i A (11)

oo

где функция g имеет вид (4). Отсюда решение (8), (9) задачи (1), (2) приведем к виду

on Ю

Ю ( — 1)” Г

щ = 7 V ^ e-~lzzndr;iF(x, y-2nl- z)dz, n! y

”=0 o

СЮ

Ю (_1)” /•

м2 = Fix, у) + У --— е l'z2n_1d™[.F(£, у — 2nl — z) + Fix, —у — 2nl — z)\dz,

(n — 1)! J y

n-1 o

где y имеет вид (10), F(x, y) - решение задачи Неймана (3).

2. Случай завесы. Пусть в рассматриваемой полуплоскости D зоны Di разделены слабо проницаемой завесой y = —l с параметром B. Отсюда для потенциалов ui в Di получим задачу (см. [3; 4]) вида: (1),

y = —l : м2 — М1 = Bdyu1, dyU2 = dyu1. (12)

Представляя решение задачи (1), (12) в виде (6), из условий сопряжения (12) с учетом разложения (5) для параметров ai получим систему алгебраических уравнений, решение которой имеет вид

1 е-Л1ВА

al — a 2 — -----j--,

d d

где

d = BA sh Al + еЛ (13)

Отсюда функции ui (6) примут вид

СЮ

f e^y+^ g

u\= -------dA, у < —(14)

o

M2 = F(x,y)+B J G X'XgdChXy dX, -l<y< 0, (15)

где функции d, g равны (13), (4). Из равенства (13) следует

1 _ 7е~лг

d (Л + 7)(1-g)’

где

А + 7 ’

(І6)

при этом |д| < 1 при 0 < Л < то. Разлагая дробь (1 — д) 1 в геометрическую прогрессию, найдем

1. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1974.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

3. Kholodovskii S. E. The Convolution Method for Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations, 2009, Vol. 45, № 6, pp. 873-877.

4. Kholodovskii S. E. The convolution method for fourier expansions: The case of a crack (screen) in an inhomogeneous space // Differential Equations, 2009, Vol. 45, № 8, pp. 1229-1233.

Отсюда с учетом формулы (11) функции ui (14), (15) приведем к виду

СО

где y имеет вид (16), F(x, y) - решение задачи Неймана (3).

Список литературы

431 с.

Рукопись поступила в редакцию 18 апреля 2011 г.