О решении краевых задач в полупространстве, ограниченном многослойной пленкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК 143 С. Е. Холодовский

г. Чита, Россия

О решении краевых задач в полупространстве, ограниченном многослойной пленкой

Для определенного достаточно широкого класса дифференциальных уравнений рассмотрены краевые задачи в полупространстве, ограниченном многослойной пленкой. Выведены обобщенные граничные условия на этой пленке, которые соответствуют граничным условия n-го рода. Решения задач выражены в однократных квадратурах через решение соответствующей краевой задачи с граничными условиями первого рода.

Ключевые слова: краевые задачи, многослойные пленки, сильно проницаемые трещины, слабо проницаемые завесы, метод свертывания разложений Фурье.

S. Ye. Kholodovsky

Chita, Russia

On the Solution of Boundary Value Problems in Half-space Limited Multilayer Film

Boundary value problem in a half-space bounded of the multilayer film are considered for rather a wide class of differential equations. We derive the generalized boundary conditions on this film, which correspond to the boundary conditions of the n kind. The problems solutions are expressed in single quadratures through the solution of the corresponding boundary value problem with boundary conditions of the first kind.

Keywords: boundary value problems, multilayer films, strongly permeable cracks, weakly permeable screens, the method of convolution of Fourier expansions.

В решении многих прикладных проблем большую роль играют материалы с пленочными покрытиями. Это связано с широким применением композитных материалов, развитием нанотехнологий и т. д. Поэтому большой интерес имеют краевые задачи тепломассопереноса в областях, ограниченных многослойными пленками.

1. Обобщенные граничные условия на многослоной пленке. Постановка задач. Рассмотрим в полупространстве D(y < 0, х = ) G Rm) класс краевых задач относительно

уравнения

djju + L[u] = 0, (1)

когда граница y = 0 является многослойной пленкой. Здесь L - произвольный линейный дифференциальный оператор по переменным xj, ду = дп /дуп. Для вывода граничных условий на пленке y = 0 предположим, что на внешней стороне границы у = +0 можно определить значения потенциала и нормальной скорости

у = 0 : и = у>(х), kdyи = ф(х), (2)

где k > 0 - постоянная, характеризующая проницаемость области D, у>(х) и ф(х) - некоторые заданные функции. Пусть пленка у = 0 состоит из i примыкающих друг к другу трещин и завес, которые моделируем бесконечно тонкими слоями с бесконечно большой для трещин и бесконечно малой для завес проницаемостью [1-4]. Рассмотрим граничные условия на данной пленке вида

у = —0 : ^(х) — и = Fi [u], -0(х) — kdyи = Gj[u], (3)

160

© Холодовский С. Е., 2011

где ^ и С* - искомые линейные операторы с постоянными коэффициентами.

Добавим к данной пленке трещину или завесу у = +0, которую заменим слоем До(0 < у < I) толщины I и проницаемости ко. Тогда с учетом (2), (3) на границах слоя До для потенциалов ио(ж, у) в До и и(ж,у) в Д выполняются условия

у = I : Мо = ¥>(ж), кодуио = ^(ж),

у = 0 : uo — u = Fj[u], kodyuo — kdyu = Gj[u]. (4)

При этом предполагаем, что функции uo в Do и u в D удовлетворяют уравнению (1). Отсюда на границах слоя Do получим условия

V — м|у=0 = u0\y=l — u0\y=0 + ^М|у=0 = —koÖyWQI^ci + ^¿Ы|г/=СЬ (5)

Ф kdy u|y=o kody uo|y=1 kody uo|y=o + Gi[u]|y=o lkodyuo|y=C2 + Gi[u]|y=o? (6)

где Cj € (0,l). Пусть слой Do вырождается в трещину с параметром A [1—3], т. е. l ^ 0, ko ^ то, kol ^ A. Отсюда с учетом (5), (4) получим limuo|y= = limuo|y=o = lim(u + Fj[u])|y=o. Полагая, что для уравнения (1) имеет место принцип максимума, из последних равенств найдем

limuo|y=c2 = lim(u + Fj[u])|y=o для Vc2 € (0, l). Применяя оператор L к последнему соотношению, с учетом уравнения (1) получим limd2u%=c2 = lim(djju + Fj[d2u])|y=o. Тогда из равенств (5), (6) следуют граничные условия на данной пленке с дополнительной трещиной у = +0 вида

у = —0 : у>(ж) — u = Fj+i[u], ^(ж) — kdyu = Gj+i[u], (7)

где

Fj+i[u]= Fj[u], Gj+i[u]= A^u + Fj^u]) + Gj[u]. (8)

Если слой Do вырождается в завесу с параметром B [1-3], т. е. l ^ 0, ko ^ 0, l/ko ^ B, то из равенств (6), (4) получаем limkodyuo|y= = limkodyuo|y=o = lim(kdyu + Gj[u])|y=o. Отсюда limkodyuo|y=ci = lim(kdyu + Gj[u])|y=o для Vc1 € (0, l). Тогда из равенств (5), (6) следуют граничные условия на данной пленке с дополнительной завесой у = +0 в виде (7), где

Fj+i [u] = B(kdy u + Gj[u]) + Fj [u], Gj+i[u] = Gj[u]. (9)

Пусть пленка у = 0 состоит из n трещин и завес. Тогда для уравнения (1) в D можно рассматривать два типа задач при граничных условиях соответственно вида

у = —0 : ¥>(ж) — u = F„[u],

у = —0 : ^(ж) — кдуи = Сп[м], (10)

где операторы ^ и С* строятся по рекуррентным формулам (8), (9), в которых F0 = Со = 0, г = 0, ..., п — 1.

В полученных граничных условиях порядок производных от искомого потенциала может быть произвольным. Это позволяет определять граничные условия п-го рода с указанием их физического смысла.

2. Решение краевых задач второго типа для двухслойной пленки. Рассмотрим краевые задачи (1), (10) в случае двухслойной пленки у = 0, состоящей из трещины у = +0 и завесы у = —0, при этом граничное условие (10) примет вид

у = —0 : ^(ж) — кдуи = А(д^и + Вкд^и). (11)

Решение этой задачи определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Пусть известно решение F(ж, у) классической первой краевой задачи в Д с граничной функцией ^(ж) (11):

+ Ь[^=0, у< 0, Fy=о = ^(ж). (12)

Методом работ [1-4] выразим решение задачи (1), (11) с многослойной пленкой непосредственно через функцию F(ж, у) (12). Следуя указанному методу, для вывода общих формул рассмотрим частные (модельные) случаи задач (1), (11) и (12), допускающие применение метода Фурье. Пусть ь = д2, ж £ Д. Отсюда в полуплоскости Д(у < 0) получим задачи (1), (11) и (12) соответственно вида

д^м + = 0, у< 0 (13)

при граничном условии (11), и

+ djjF = 0, у< 0; F|y=Q = ^(ж). (14)

Решая задачу Дирихле (14) методом Фурье, представим функцию F в виде

СЮ

F(ж, у) = У eAygdA, у < 0, g = / sin Аж + /2 cos Аж, (15)

где /¿(А) - коэффициенты Фурье граничной функции ^(ж). Из разложения (15) следуют равенства (см. [1-3])

СО

—- [е 'JttnF(x,y — t)dt = í -----------------f 1 dX, 7>0, n = 0,1,2,.... (16)

n\J v 7 J (A + 7)«+i ’ ' ’ ’ ’ ’ v 7

QQ

СО СО ^

J[F(ж, у - t) - F(0, -t)]dt = J e Vg~ h dA, (17)

0 0

где g имеет вид (15) (последний интеграл сходится при А = 0 за счет аддитивной постоянной). Представляя решение задачи (13), (11) в виде

СО

u = j aeAygdA, y < 0. (18)

0

из условия (11) с учетом (15) при y = 0 найдем

1

a =

A(ABkA2 + AA + k)'

Пусть A = 4Bk2. Тогда, раскладывая дробь (19) на простейшие, из (18) получим

(19)

СЮ

(ж, y) =

eXyg—f2 eXyg eXyg

A k (А + 71)71 Vd (А + 72)72 Vd_

dA, (20)

где g(ж, A) = /1 sin Аж + /2 cos Аж (15), 7j = [A + ( —l)J4/d]/(2Ai>k) > 0, d = A(A — ABk2) (интеграл

(20) сходится при A = 0 за счет аддитивной постоянной).

Формула (20) содержит двукратные квадратуры внешнюю и внутреннюю в коэффициентах / от сильно осциллирующих тригонометрических функций. С учетом формул (16), (17) решение (20) задачи (13), (11) непосредственно выражается через функцию F(ж, у) (без разложений Фурье):

СО

ЛЯ С

- J F(x, у -t) (72e_7li - 7ie-72i) dt, (21)

00

где F(ж,у) - решение задачи Дирихле (14). В случае комплексных корней 7* (20) (при d < 0) функция (21) действительна.

Если A = 4Як2, то с учетом (16) и (17) решение задачи (13), (11) примет вид

— j [F(ж, у — t) — F(0, —t)]dt

1 Г 1

и = - J у -і)[ 1-е 7‘ (1 + 7і)] - ^(0, -і)} <М, 7 = (22)

Полученные решение (21), (22) имеют вид операторов, действующие на функцию F(ж, у) по одной переменной у (переменная ж остается свободной). Отсюда решение исходной задачи (1), (11) в соответствующих случаях также строится по формулам (21), (22), где F(ж, у) - решение задачи (12), что проверяется непосредственно.

3. Решение краевых задач первого типа типа в кусочно-однородных областях. В качестве примера задачи 1-го типа рассмотрим полупространство Д(у < 1,ж £ Дт), ограниченное слабо проницаемой завесой у = I, когда область Д состоит из двух зон ^(у < 0) и Д2(0 < у < I), ж £ Дт проницаемости к* в Д*. Задача для потенциалов и* в имеет вид

ду2и* + Ь[и*] = 0, (23)

у = I : м2 + Вк2дум2 = ^(ж), (24)

у = 0 : М1 = М2, кхдуМ1 = &2дуМ2. (25)

Выразим решение данной задачи через решение классической задачи (12). Для вывода общих формул рассмотрим модельные случаи задач (23)-(25) и (12) в полуплоскости Д(у < 0), ж £ Д соответственно вида

д^м + д^м = 0, у < 0 (26)

при условиях (24), (25) и (14). Представляя решение задачи (23)-(25) в виде

СЮ СЮ

и1 = J реЛу g ¿А, м2 = J (а вИ Ау + Ь еИ Аy)g ¿А, (27)

оо

из условий (24), (25) найдем

а = ^1^, Ь = р = &2^,

где

1 27Є'

-ллг

^(Д^А еИ А/ + вИ А/) + А;2(ДА;2А вИ А/ + еИ А/) (А + 7 )(&і + &2)(1 — д) ’

А — 7 _2лг ^2 — &і 1

9 = ХТ76 2X1 ^ Тк?

функция g имеет вид (15), при этом |д| < 1 при 0 < А < то. Раскладывая дробь (1 — д)-1 в геометрическую прогрессию, получим решение (27) задачи (24)-(26) в виде

СЮ

,п / "Тр г\(у — 1 — 2п1)(

(Л + 7)П+Х

М1 = (1 + ,)7Е-” (\+1+і

= 0 0

м2 = 7 ^ / 7^-—Т^ХТ [еЛ(у_г_2”г)+е_Л(у+г+2”г)г/1 §йА.

2 ' ^ -і- лЛ^1 °

_0 . (А + 7)”+1

00

Из разложения заданной функции F(ж, у) (15) следует формула

СЮ СЮ

[ е-27^п|!_ [е^р(х, у-ь)]аь= [ ел^А, у < 0.

п! У <%" 1 V J (Л + 7)П+1 б >

оо

а

Отсюда решение задачи (24)-(26) примет вид (без разложений Фурье):

СЮ

Ю (_1)п Г дп

гх! = (1 + и)7 »гЛ—^~ е-2Пп— [е^(ж, у - I - 2п1 - *)] <й,

■V-, —Л П" ^

^ (_1)n f dn

ui = ^ -^r e~2lHnW>{e7t[F{x’y~l~2nl~*)+

=0 ' 0

(ж, —у — I — 2п1 — £)]} Л. (28)

Решение задачи (23)-(25) также строится по формулам (28), где ^(ж, у) - решение классической задачи (12), что проверяется непосредственно.

Список литературы

1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1550-1556.

(Kholodovskii S. Ye. A Method of Convolution of Fourier Expansions as Applied to Solving Boundary Value Problems with Intersecting Interface Lines // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, Vol. 47, No. 9, pp. 1489-1495).

2. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.

(Kholodovskii S. Ye. The Convolution Method of Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations, 2009, Vol. 45, No. 6, pp. 873-877).

3. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1204-1208.

(Kholodovskii S. Ye. The Convolution Method of Fourier Expansions. The Case of a Crack (Screen) in an Inhomogeneous Space // Differential Equations, 2009, Vol. 45, No. 8, pp. 1229-1233).

4. Холодовский С. Е., Гуримская И. А., Игнатьева Н. В. О решении краевых задач на неоднородной плоскости с трещиной и завесой, соединенными последовательно // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 3. С. 396-404.

(Kholodovskii S. E., Gurimskaya I. A., Ignat’eva N. V. On the Solution of Boundary Value Problems on an Inhomogeneous Plane with a Crack and a Barrier Connected in Series // Differential Equations, 2011, Vol. 47, No. 3, pp. 393-401).

Рукопись поступила в редакцию 14 апреля 2011 г.