О решении краевых задач в двухслойной анизотропной полуплоскости с особыми точками потенциала в нижнем слое Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В 143

А. А. Тупякова

г. Чита, Россия

О решении краевых задач в двухслойной анизотропной полуплоскости с особыми точками потенциала в нижнем слое

Рассмотрена первая краевая задача в двухслойной анизотропной полуплоскости при заданных особых точках потенциала, расположенных в нижнем слое. Потенциалы выражены через заданные гармонические функции.

Ключевые слова: краевые задачи, двухслойная анизотропная полуплоскость, особые точки потенциала.

A. A. Tupjakova

Chita, Russia

Boundary Value Problems in Two-layered Aniso-tropic Half-plane with Singular Points of the Potential in the Lower Layer

We consider the first boundary value problem in a two-layered anisotropic half-plane at the given singular points of the potential, which are in the lower layer. Po-tentials are expressed in terms of the given harmonic functions.

Keywords: boundary value problem, two-layered anisotropic half-plane, singular points of potential.

Рассмотрим в двухслойной анизотропной полуплоскости < 0) = < —1) и ^2(-1 < у <

0), х € Д первую краевую задачу [1-3]:

+ 2biдxy+ сгдуиг ° (х у) € и2|у=0 0 (1)

У = —1 : «1 = «2, VI = «2, (2)

где функция ui(x,y) в Di имеет заданные особые точки (источники, стоки и т.д.), при этом уравнение (1) для функции ui выполняется вне особых точек, дП = dn/dxn, vi = bidxUi + Cjdyui -нормальные к y = const компоненты скорости; x, y - декартовы координаты, Ti - постоянные в Di тензоры проницаемости вида

Ti = ( bi bi ) , ai > 0, ci > 0, aici — b2 > 0, i = 1, 2.

bi ci

В данном случае эллипсы анизотропии произвольны по величине и направлению в каждой зоне Di, но они не меняются при движении вдоль координатных линий системы х,у [2]. Условия сопряжения (2) выражают непрерывность потенциала и нормальной скорости на общей границе зон А.

Для решения задачи (1), (2) перейдем на плоскости х, у к новым переменным £, п:

у у

С = х — ^ М(у)йу, п = J N(у)^у, (3)

00

© Тупякова А. А., 2011

213

где М (у) и N (у) - кусочно-постоянные функции вида

М (у) Л б1/Сь у< — , N (у) Л у< — ,

[&2/С2, -I < У < 0 1^2/02, -I < У < 0

/г* = •\/а*с* — 6?. Функции £(ж, г/) и г](у) (3) непрерывны на всей плоскости ж, у, включая линию разрыва проницаемости у = -I. При этом ось ж остается неподвижной: при у = 0 имеем £ =

ж, п = 0 (3), прямая у = —I переходит в прямую п = — Н = — ^2^/02. На плоскости с декартовыми координатами £, п областям А и А соответствуют области Сх(£ € Д, п < —Н) и С2(£ € Д, — Н < П < 0).

В переменных £, п (3) с учетом равенства V* = 6*дхм + с*дум* = к*дпм* задача (1), (2) примет вид задачи относительно уравнения Лапласа с классическими условиями сопряжения:

д|м + д^м = 0, (£, п) € С*; М2|п=о = 0, (4)

п = —Н : их = м2, кхдпм = к2дпм2, (5)

где функция «].(£, п) имеет заданные особые точки в Сх(£ € Д, п < —Н).

Пусть на всей плоскости £, п определена гармоническая функция Р(£, п), имеющая заданные особые точки в полуплоскости п < —Н, т. е. функция м имеет особые точки заданной гармонической функции Р. Например, для фундаментального решения, моделирующего источник-сток в точке (£о, по), функция Р имеет вид

Р(£,п) = Ф Ц(£ — £о)2 + (п — по)2], по < —Н. (6)

Предположим сначала, что функция F (£, — h) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье /¿:

СЮ

F(£, —,h) = J g(£, A)dA, g(£, A) = / sin A£ + /2 cos A£, (7)

0

при этом функция F(£, —h) должна удовлетворять условию

F(£, —h) ^ 0, £ ^ ±то. (8)

Отметим, что условие (8) существенно сужает класс особых точек, в частности, фундаментальное решение типа источника (6) не удовлетворяет условию (8). Из равенства (7) следует, что функция Р (£, п) при п > — Н, где она не имеет особых точек, представима в виде

СЮ

Р(£,п)=У е^+^А, п> —Н. (9)

о

Интеграл справа является решением задачи Дирихле в полуплоскости п > — Н с граничной функцией Р(£, — Н), полученным методом Фурье.

Представим решение задачи (4), (5) также в виде разложений Фурье

СЮ СЮ

м1(£,п) = Р(£, п)+У а1 е^+^д^А, м2(£, п) = У а2 9 ^ Ап ¿А, (10)

где функция д(С, А) имеет вид (7). Отсюда функции м удовлетворяют условиям задачи (4). Из условий сопряжения (5) с учетом разложения (9) найдем

АЛ. — к2 еИ АЛ 2^1

Я1 = ---------- ------, Я2 =-------—, а = К2 сп \п + «1 эп АЛ, (11)

а а

где й > 0 при 0 < А < то. Тогда решение задачи (4), (5) строится по формулам (10), (11).

Полученное решение (10), (11) содержит две квадратуры - внешнюю и внутреннюю (в коэффициентах Фурье /¿) от сильно осциллирующих тригонометрических функций. Кроме того, как отмечалось, решение (10), (11) справедливо для достаточно узкого класса особых точек.

Следуя методу свертывания разложений Фурье [4; 5], выразим функции м непосредственно через заданную функцию Р(С, п) без разложений Фурье. Представим дробь 1/й (11) в виде

1 2е-ЛЛ- _9\ь &1 — &2

5=№ТЫ0Г^)’ Ч = е "= кг + к2 ’ ( }

при этом |д| < 1 при 0 < А < то. Разлагая (1 — д)-1 в геометрическую прогрессию, найдем

1 2 ^

^ ^ >,пр~А/1(2п+1)

а ^1 + ^2

Отсюда функции м (10), (11) примут вид

Хл'е

сю ” /

еА(п+Ь-2Ьп}^ е^(п —Ь —2Ьп)

д<іА,

СО

«2(£,п) = (1 + V) V”

Є — А(п+Ь+2Ь”) е^(п — Ь — 2Ь”)

д^А.

Свертывая с помощью формулы (9) полученные интегралы, приведем решение задачи (4), (5) к виду

”

м1(С, п) = Р(С, п) + (С, —П + 2Лп — 2Л)^ — Р(С, —п + 2Лп)], (13)

п=0

то

м2 (С, п) = (1 + V) ^ Vй [Р(С, п + 2Лп) — Р(С, —п + 2Лп)]. (14)

п=0

где постоянная V имеет вид (12).

Теорема. Если гармоническая функция Р (С, п) имеет произвольные особые точки в полуплоскости п < —Л и удовлетворяет условию Р(С, п) = 0(пр) при п ^ +то, Ур € N, то решение задачи (4), (5) строится по формулам (13), (14).

Доказательство. Функция Р(С, п) может иметь в бесконечности особую точку типа полюса произвольного порядка. При этом ряды (13), (14) и их производные мажорируются сходящимися числовыми рядами ^^=0 v”np, где ^| < 1 (12), т. е. ряды (13), (14) сходятся и допускают дифференцирование необходимое число раз. Условия задачи (4), (5) для функций (13), (14) проверяются непосредственно.

В частности, формулы (13), (14) имеют место для фундаментального решения Р (6).

Список литературы

1. Качанов М. Л. Об анизотропии фильтрационных свойств трещиноватой среды // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1975. №4. С. 171-173.

2. Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. 426 с.

3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

4. Kholodovskii S. E. The Convolution Method for Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations, 2009, Vol. 45, №. 6, pp. 873-877.

5. Kholodovskii S. E. The convolution method for fourier expansions: The case of a crack (screen) in an inhomogeneous space // Differential Equations, 2009, Vol. 45, №. 8, pp. 1229-1233.

Рукопись поступила в редакцию 20 апреля 2011 г.