О построении потенциалов на кусочно-однородной анизотропной плоскости с параболической линией сопряжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956 ББК В 143

А. С. Зимнякова

г. Чита, Россия

О построении потенциалов на кусочно-однородной анизотропной плоскости с параболической линией сопряжения

Построены потенциалы плоских установившихся процессов на анизотропной плоскости с параболическим включением, когда процессы индуцируются заданными особыми точками (источниками, стоками и т.д.), расположенными внутри включения. Потенциалы выражены через гармонические функции при сохранении их особых точек.

Ключевые слова: краевые задачи, кусочно-однородная анизотропная плоскость, криволинейные области, особые точки потенциала.

A. S. Zimnyakova

Chita,Russia

The Construction of the Potentials on Piecewise Homogeneous Anisotropic Plane with a Parabolic Line Interface

Potentials of plane steady-state processes on the ani-sotropic plane with a parabolic inclusion, when the processes are induced by the given singular points (sources, sinks, etc.) located inside the inclusion are con-structed in the article. Potentials are expressed in terms of harmonic functions, while maintaining their singular points.

Keywords: boundary value problems, piecewise homogeneous anisotropic plane, curvilinear areas, singular points of the potential.

Рассмотрим на плоскости с декартовыми координатами x, у установившиеся динамические процессы, индуцированные заданными особыми точками (источниками, стоками и т.д.), когда плоскость состоит из двух анизотропных областей Di(y2 < 412(x + l2)) и D2(y2 > 412(x + l2)), разделенных параболой у2 = 412(x + l2), с тензорами проницаемости Tj в Dj. Здесь Di и D2 соответственно внутренняя и внешняя области, ограниченные параболой. Пусть особые точки потенциала расположены внутри области Di. Аналитическая функция z = Z2 конформно отображает полуплоскость П > 0 вспомогательной плоскости £, п на всю плоскость x, у с разрезом L(x > 0, у = 0). При этом области Gi(0 < п < 1) и G2(1 < п < го), £ € R отображаются соответственно на области Di и D2, где z = x + ¿у, Z = £ + *п,

x = £2 - п2, у = 2£п, (1)

—го < £ < го, 0 < п < го. Пусть в координатах £, п тензоры проницаемости Tj постоянны:

т=(a cj)’ <£’Щ£Gj, j-1’2’

где aj > 0, Cj > 0, ajCj — 62 > 0. В данном случае эллипсы анизотропии произвольны по величине и направлению в Dj, но они остаются неизменными при движении вдоль семейства парабол £ = const и п = const (1) в каждой области Dj.

В параболических координатах £, п (1) плоскости течения (или то же самое в декартовых координатах вспомогательной плоскости Z) для потенциалов Uj (£, п) задача имеет вид [1—3]:

ajЩи + 26jd^uj + cjd^uj = ° (£ п) £ Gj, (2)

© Зимнякова А. С, 2011

201

П = l : ui = U2, vi = V2, (3)

ui(£, 0) = ui(-£, 0), vi(£, 0) = -vi(-£, 0), (4)

где Vj = bj d^Uj + cj дпUj - нормальные к линиям n = const компоненты скорости, при этом функция ui(£, n) имеет заданные особые точки (уравнение (2) для функции ui выполняется вне особых точек), д^ = д”/д£”. Условия (3) и (4) выражают непрерывность потенциала и нормальной скорости на общей границе n = 1 зон Gj и на разрезе L плоскости течения x, у, т. е. этим разрезом можно пренебречь.

Для решения задачи (2)-(4) перейдем на плоскости Z = £ + in к новым переменным р, а:

п п

р = £ -j М(,)<(„, а = /N(„)*,, (5)

0 0

где М (n) и N(n) - кусочно-постоянные функции вида

М (x)=i bi/ci' 0 <n<i, N („)=( ki/ci' 0 <”<',

[b2/c2, n>1 [k2/c2, n>1

kj = ^j a,jCj — bПри этом функции /э(£, г/) и а (г/) (5) непрерывны на всей плоскости £ = £ + i?y,

включая линию разрыва проницаемости n = 1. Замена переменных (5) приводит к непрерывной деформации плоскости Z так, что ось £ остается неподвижной, т. к. при n = 0 имеем р = £, а = 0

(5). Общая граница областей Gj (прямая n = 1) переходит в прямую а = h = ki 1/ci. Обозначим на плоскости с декартовыми координатами р, а области, соответствующие областям Gi и G2, через Gi (р € Д, 0 < а < h) и G2 (р € Д, а > h).

В переменных р, а (5) с учетом равенства Vj = bjд^Uj + cjдпUj = kjдоUj задача (2)-(4) примет

вид

d^Uj + д2Uj = 0, (р, а) € Gj, (6)

а = h : Ui = U2, kidCTUi = k 2 до и 2, (7)

Ul(р, 0) = и^-р, 0), дстUl(р, 0) = -до-и^-р, 0), (8)

при этом функция мх(р, а) имеет заданные особые точки в G/1.

Пусть на всей плоскости р, а определена гармоническая функция / (р, а), имеющая заданные особые точки при 0 < а < Н. Функция /(р, а) является потенциалом рассматриваемых динамических процессов на однородной плоскости. Наряду с функцией / рассмотрим функцию

Р(Р,а) = /(Р,а) + /(-P, -а) (9)

которую также считаем заданной функцией.

Методом работ [4; 5] выразим решение задачи (6)-(8) непосредственно через заданную гармоническую функцию Р(р, а). Предположим, что функция Р(р, Н) разлагается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье /j. Отсюда на плоскости р, а гармоническая функция Р(р, а) при а > Н (где Р не имеет особых точек) представима в виде

СЮ

Р(р,а) = У е-^-^/^ + /2в2)ЙА, а > Н, (10)

о

где si = sin Ар, S2 = cos Ар. Данная формула представляет собой решение задачи Дирихле в полуплоскости а > h с граничной функцией F(р, h), полученное методом Фурье. Представим решение задачи (6)-(8) в виде разложений Фурье

СЮ

ui = F(р, а) + ^*(«151 sh Аа + a2S2 ch Aa)dA, 0 < а < h, (11)

о

со

U2 = j e h)(bisi + 62S2)dA, a > h, (12)

0

при этом функции (11), (12) удовлетворяют условиям (6), (8) и функция м в имеет особые точки

заданной функции /(р, а). Из условий сопряжения (7) с учетом (10) найдем = (кх — к2)р^, 6^- =

к1бЛ^, Где = /х(к2 sh АЛ. + еИ АЛ)-1, р2 = /2(кх sh АЛ + к2 еИ АЛ)-1. Отсюда следует

2е~Л/1/?' -2АЛ. /г1-/г2 /10^

й = №1 + ад[1-(-1М. « = - ■ "= (13)

где |д| < 1 при 0 < А < то. Разлагая р^- в геометрические прогрессии, получим

Т). — _____ '^(Л)ЗГ1п-\к{2п+1)

Ро~к +к 1) ” е •

П = 0

Выделяя в разложениях (11), (12) интегралы вида (10), выразим функции м непосредственно через заданную гармоническую функцию /(р, а) в виде

ТО

мі = Р(р, а) + ^ V” [Р((-1)”-1р, -а + 2Лп) + Р((-1)”р, а + 2Лп)] , (14)

”= 1

ТО

м2 = (1 + *)£ v”F((-1)”р, а + 2Лп), (15)

”=0

где постоянная V имеет вид (13), функция Р(р, а) равна (9).

Теорема. Если гармоническая функция /(р, а) имеет произвольные особые точки в полосе 0 < а < Л и удовлетворяет условию /(р, а) = 0(ар) при а ^ +то, Ур € N, то решение задачи

(6)-(8) строится по формулам (14), (15).

Доказательство. В условиях теоремы функция /(р, а) может иметь в бесконечности полюс произвольного порядка, при этом ряды (14), (15) и их производные мажорируются сходящимися числовыми рядами ^^=0 v”np, где ^| < 1 (12), т. е. ряды (14), (15) сходятся и допускают дифференцирование необходимое число раз. Условия задачи (6)-(8) для функций (14), (15) проверяются непосредственно.

Решение исходной задачи (2)-(4) в параболических координатах (1) строится по формулам (14), (15), (5) без квадратур.

Список литературы

1. Качанов М. Л. Об анизотропии фильтрационных свойств трещиноватой среды // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1975. №4. С. 171-173.

2. Ромм Е. С. Структурные модели порового пространства горных пород. Л.: Недра, 1985. 240 с.

3. Тихонов А. Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

4. Kholodovskii S. E. The Convolution Method for Fourier Expansions. The Case of Generalized Transmission Conditions of Crack (Screen) Type in Piecewise Inhomogeneous Media // Differential Equations, 2009, Vol. 45, No. 6, pp. 873-877.

5. Kholodovskii S. E. The convolution method for fourier expansions: The case of a crack (screen) in an inhomogeneous space // Differential Equations, 2009, Vol. 45, №. 8, pp. 1229-1233.

Рукопись поступила в редакцию 16 апреля 2011 г.