CC BY
27
ность полученной программы может превышать производительность эквивалентной программы на языках типа C/C++. Время же, затраченное на разработку и отладку, а также качество и читабельность кода просто несопоставимы.
Функциональное программирование - раздел дискретной математики и парадигма программирования, в которой процесс выгчисления трактуется как выгчисление значений функций в математическом понимании последних (в отличие от функций как подпрограмм в процедурном программировании).
Императивные программы имеют склонность акцентировать последовательность шагов для выполнения какого-то действия, а функциональные программы к расположению и композиции функций, часто не обозначая точно последовательность шагов. В отличие от императивного стиля, описывающего шаги, ведущие к достижению цели, функциональный стиль описывает математические отношения между данными и целью.
В выборе средств обучения курсу «Численные методы» надо основываться на целях и задачах вуза. Но нельзя выбирать только одну ветвь направления (только изучение математических пакетов или только программирование и теория). Необходимо использовать все средства обучения, чтобы учащиеся могли сделать для себя выбор, чем пользоваться в дальнейшем.
Сегодня представляется целесообразным начинать обучение с применения численных методов и лишь после овладения каким-либо из стандартных пакетов переходить к программированию численных методов. Первыпй этап можно условно назвать уровнем пользователя, а второй - уровнем профессионала. На первом этапе студенты учатся применять стандартные численные методы, заложенные в пакет, а на втором - программировать численные методы и создавать интерфейс.
К сожалению, не все преподаватели данной дисциплины знают программирование и/ или математические пакеты на достаточном уровне, чтобы использовать на занятиях оба подхода. Таким образом, можно сделать вывод, что курс «Численные методы» можно и нужно изучать в два этапа, вначале с помощью любого математического пакета, а после того как студенты поймут суть методов, можно переходить к их программированию на функциональных языгках программирования.
Список литературы
1. Беликов В. В. Обучение численным методам в условиях информатизации образования. URL: http://cis.rudn.ru/document/show.action
2. Водолазская И. В. Об одном из вариантов использования компьютеров в процессе обучения в техническом университете / / Физическое образование в вузах. 2001. № 1, С. 98-106.
3. Ляхов А. Ф. Современные IT технологии и проблемы преподавания курса «Численные методы» на математических факультетах/ URL: http://www.it-education.ru/2008/reports/Lyakhov.htm
4. Ляхов А. Ф., Петрова О. С. Основы методов проектирования систем компьютерного назначения / / Мат. вестник пед. вузов и университетов Волго-Вятского региона. 2004. № 7. СЧ. 12.
5. Розина И. Н. Педагогическая коммуникация в электронной образовательной среде: исследовательские и образовательные подходы / / Педагогическая информатика. 2004. № 1.
УДК 517.956 ББК В 311
С. Е. Холодовский, Н. Н. Шадрина
Решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в полосе с трещиной (завесой)
Вытедены1 формулы, позволяющие по известному решению классической задачи Дирихле в полуплоскости, строить решения первой краевой задачи в кусочно-однородной полосе с трещиной (завесой), параллельной границам полосы.
Ключевые слова: краевые задачи, трещины, завесы, метод свертывания разложений Фурье.
S. Ye. Kholodovskiy, N. N. Shadrina
Solution of the first boundary value problem for Laplas equation in the strip with a crack (screen)
There have been derived formulas that make it possible with the known solution of the Dirichle task in the semiflatness to construct solutions of the first boundary value problem in the piece-homogeneous strip with a crack (screen) that is parallel to the boundaries of the strip.
Key words: boundary value problems, crack, screen, a method of convolution of Fourier expansions.
Пленочные включения моделируют естественные трещины и завесы, а также искусственные мембраны, дренажи, проводники, изоляторы и т. д., которые используются для управления потоками тепломассопереноса.
1. Случай трещины. Рассмотрим первую краевую задачу в полосе Ц(х є Я,-1 < у < I), разделенной сильно проницаемой трещиной у = 0 на две зоны ц (-I < у < 0) и Ц(0 < у < I), х є Я проницаемости к в Ц. Для функций щ(х,у) в ц задача имеет виц
Ли,, = О u2/y=l = f(x) uI/y=-l = О
(1)
у = 0 : и2 = щ, к2дуи2 - к,дщ = АдуЩ, (2)
где А - параметр трещины [1], дпу = дп/дуп . Задачу (1), (2) будем решать методом свертывания
разложений Фурье [1, 2]. Для этого наряду с данной задачей рассмотрим классическую задачу Дирихле в полуплоскости Ц(х є Я,у < 0) с граничной функцией /(х) (1):
AF = О Fly=о = f(x)
(З)
Решение задачи (3) строится по формуле Пуассона и далее считается известной функцией F(x,y).
да
Предположим, что функция F(x,0) разлагается в интеграл Фурье, т. е. F(x,0) = J g(x> A)dA, где
0
g = f sin Ax + f2 cos Ax, (4)
f - коэффициенты Фурье функции F(x,0). Отсюда функция F(x,y) представима в виде
да
F(x,y) = jeAygdA, y < 0 (5)
о
(интеграл (5) является решением задачи Дирихле (3), полученным методом Фурье). Представим решение задачи (1), (2) в виде
щ =| a gsh A(y + l)dA, щ = F(x,y) + j a2 g sh A(y -1) dA, (6)
0 0
при этом функции щ удовлетворяют уравнению и граничным условиям (1). Из условий (2) с учетом (5) для параметров а получим систему алгебраических уравнений (a + a2)s = 1, а (кc + AAs) - a2k2c = к2, решение которой имеет вид
_ k2(s + c) , а _ (AA - k2)s + kic , (7)
ai s[AAs + c(k + k2)] 2 s[AAs + c(k1 + k2)]
где s = sh Al, c = ch Al.
Выразим функции щ непосредственно через заданную функцию F( x,y) (без разложений Фурье). С учетом очевидного равенства
(k + k2)c 1 AA
s[AЛs + c(kj + к)] s AЛs + c(k + к) представим параметры (7) в виде
к7
а =
О 1-у л
к + к2
а 1а + ус)
к1 ! к2(1-у) , (8)
(к + к2)я (к + к )(1 + ус)
где
к1 + к2 Ю\
у = 12 • (9)
Раскладывая дроби (8) в геометрические прогрессии, получим
1 = 2 = 2в 11 = 2'У в-х1(2«+1)
а в11 - в-11 1 - в-211 {=0 '
1 — у 2( 1 — у) 2е ~л'(1-у)
1 + ус в (1 + у) - в (1-у) (1 + у)(1 - ц)
= 2{ е-1'(2п+1) (1 2у
{ I 1 + у
где
ц = в -211 (1 --^-1, !ч!< 1 •
I 1 + у)
да
Из равенства (5) следует Е(х,у - I) = | е 1(у—t)gd1, t > 0. Умножая это равенство на в~г‘гп и интег-
о
рируя по ? е (0, да), находим (см. [1])
7 да да ?1у
— [в-Пгп¥(х,у - = { —------—+т gdl, у> 0, у < о, п = 0>1>2,...,
и/ •’ ( 1 4- у I
п! 0 0( 1 + у)п
где g имеет вид (4). Отсюда с учетом формулы бинома Ньютона окончательно решение задачи (1), (2) получим в вице
и да [ п+1
и1 = ,. 2,_ {\р(х>У1) - Р(х,У2)-{ ТПк[Фк(х,у1)-Фк(х,У2)]\,
к1 + к2 п =0 I к = 0
1 да с
и = Р(х, у) + ---------------— { {к^Г(х, у3) - Г(х, у4)] +
к1 + к2 п=0
п + 1 1
+ к2 { Тпк[Фк(х’Уз) - Фк(х'У4)]\, (10)
к = 0 }
где Тпк = Скп+1(-2у)к, Скп+1 - биномиальные коэффициенты, у = у - 2п1, у =-у - 21(п +1),
Уз = у - 21(п + 1), у4 =-у - 2п1, Ф0(х, у) = Г(х, у),
1 да
Фк(х, у) = — |в“V 1Е(х,у - , к = 1>2,-,
Р(х,у) - решение задачи Дирихле (3) в полуплоскости, у имеет вид (9).
2. Случай завесы. Пусть в рассмотренной задаче (1) зоны д разделены слабопроницаемой завесой. Отсюда для функций и.(х> у) в д задача примет вид (1),
у = 0: и2 - Щ = Бк1дуы1,
к2д уи2 = к\д уЩ,
(11)
где В - параметр завесы [1]. Представляя решение задачи (1) в виде (6), из условий (11) для параметров а получим систему алгебраических уравнений а1(8 + Вк1 Лс) + = 1, (а1к1 — а2к2)е = к2,
решение которой имеет вид
а =___к2(* +с)__________, а =_______(рЛ — к1)е + к** , р = ккВ, (12)
с[ рЛс + я(к} + к)] с[ рЛс + 8(к1 + к2)]
где £ и С определены в (7). С учетом очевидного равенства
(к + к)8 _ 1 рЛ
с[ рЛс + 8(к + к )] с рЛс + 8(к + к)
параметры (12) примут вид
а = к2 (1 Л — у 1, а =---------------------------к-к1( Л — г)—-
1 к + к Iс Лс + ув)) (к1 + к2)с (к1 + к2)(Лс + у8)
где
7 =
к + к2 к к 2 в
Отсюда с учетом разложений
1 2е-Л1
= 2£ (-1)пе-л,(2п+1).
1 + е-2А1 .. „
( \п+1
А-7 = 2^(—і)Пр-Щ2.+1)
Лс + У8 п=0
решение задачи (1), (11) приведем к виду
1 —
27
к К2
к1 + к2 п=0
А + 7
X (—1)п { Г(Х,У1) — ¥(х,у2)
— X Тпк[Фк(Х,У1) — Фк( X, у 2)]
к = 0
1
1 (
Ы2 = ґ(х, у) — —— X (—1)п{к2[¥(х, у3) — ґ(х, у4)] +
к1 + к2 п=0
(13)
п+1
+ к1 X Тл[Фк(х, у3) — Фк(х, у4)]\, (14)
к = 0
где !ТП£ , у, Фк (х, у) определены в (10), у имеет вид (13).
Отметим, что формулы (10) и (14) проще соответствующих формул (6), (7) и (6), (12), полученных методом Фурье. Именно формулы (6), (7), (12) содержат две квадратуры: внешнюю и внутреннюю (в
коэффициентах Фурье £ (4)) от сильно осциллирующих подынтегральных функций), а формулы
(10), (14) содержат одну квадратуру без осцилляций и имеют вид быстросходящихся рядов со скоростью геометрических прогрессий.
Список литературы
1. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах / / Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 6. С. 855-859.
2. Холодовский С. Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай трещины (завесы) в неоднородном пространстве / / Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 8. С. 1204-1208.
да
