О решении смешанных краевых задач типа (1, 3) для уравнения Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, показано, что микроволновые свойства льда на частоте 3,3 ГГц имеют ряд особенностей:

- обнаружено резкое уменьшение мнимой части комплексной диэлектрической проницаемости льда при приближении его температуры к температуре фазового перехода лед-вода, которые сопровождались первоначальным ростом;

Список литературы

1. Богородский В. В., Гаврило В. П. Лед. Физические свойства. Современные методы гляциологии. Л.: Гидрометеоиздат,. 1980. 384 с.

2. Бордонский Г. С. Электромагнитные свойства вблизи температуры фазового перехода вода-лед // Физика твердого тела. 2005. Т. 47. №4. С. 691-695.

3. Бордонский Г. С., Истомин А. С., Цыренжапов С. В. Зависимость действительной части диэлектрической проницаемости пресного льда от температуры и времени в сантиметровом диапазоне // Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. ХЬУ. №12. С. 1043-1048.

4. Лебедев И. В. Техника и приборы СВЧ: учебник для студентов вузов по специальности «Электронные приборы». М.: Высшая школа, 1970. 440 с.: ил.

- при резонаторных исследованиях необходимо учитывать поведение резонансной кривой, особенно при температурных измерениях;

- отношение полуширин резонансной кривой может нести в себе информацию о состоянии льда и процессов в нем протекающих, что требует дальнейшего исследования.

УДК 510 (022)

ББК В 11

И.А. Ефимова

О решении смешанных краевых задач типа (1, 3) для уравнения Лапласа

Рассмотрены смешанные краевые задачи в различных областях с граничными условиями первого и третьего рода на различных участках их границ. Методом свертывания разложений Фурье решения задач непосредственно выражены через решение классической задачи Дирихле в полуплоскости.

Ключевые слова: смешанные краевые задачи с граничными условиями первого и третьего рода, метод свертывания разложений Фурье.

I.A. Ephimova

On Solving Mixed Boundary Value Problems of (1, 3) Type for Laplace Equation

The author considers mixed boundary value problems with boundary conditions of the first and the third types. The problems were solved by means of Fourier method and expressed through Dirichlet problem solution.

Key words: mixed boundary value problems with boundary conditions of the first and the third types, , a method of convolution of Fourier expansions.

Известно, что смешанные краевые задачи, особенно с граничными условиями третьего рода, вызывают большие математические трудности, как в смысле построения аналитических решений этих задач, так и в смысле практического использования полученных решений [1; 2]. Именно построение функции Грина для таких задач достаточно сложно. Применение к указанным задачам метода потенциалов простого или двойного слоя приводит к интегральным уравнениям с неизвестной плотностью, которые решаются приближенно итерационными методами. Решения же, полученные методом Фурье, малоэффективны для приложений, т.к. содержат бесконечные промежутки интегрирования от сильно осциллирующих функций, что затрудняет их аппроксимацию. Отметим, что граничные условия третьего рода моделируют неидеальный контакт с внешней средой, что в частности соответствует наличию слабопроницаемой пленки [3].

В данной статье методом свертывания разложений Фурье [3-5] построено эффективное решение смешанной краевой задачи в полосе, полуполосе, квадранте и других областях с граничными условиями третьего и первого рода.

1. Рассмотрим в полосе (х е Я,0 < у < I) смешанную краевую задачу Ди = 0, ии=| = Цх), дуи - у и}у=о = 0, С1)

Ученые записки ЗабГГПУ

где у > 0 - постоянная, ду = д/ду, Д - оператор Лапласа по переменным Х,у. Наряду с данной задачей рассмотрим в полуплоскости (х е Я, - 00 < у < 0) классическую задачу Дирихле с граничной функцией f(x) (1):

ДF = 0, Р]у=0= f(x), (2)

решение которой считаем известной функцией F(x,y). Отметим, что для кусочнонепрерывных граничных функций, составленных из многочленов, решение задачи (2) строится по формуле Пуассона в конечном виде:

F(x,У) = У | ( [(2) 2 ^.

п £ (х - У + у

Предположим, что граничная функция ^х) раскладывается в интеграл Фурье с коэффициентами Фурье f¡:

¡(х) = | д(х, X)бк,

о

д = ^ віп Xх + f2 сов Xх.

(3)

Отсюда для функции Р(х,у) имеют место формулы

Р(х,у) = | вкудск,

(4)

Є у д

фк+1(х,у) = Г . + дк+с, к = °1,-

о (Ь + У)

(5)

где

ф.

(х,у) = ^~ Г в-<?2кР(х,у - 1)С1 к!

(6)

у < 0, у > 0 (равенство (4) выражает решение задачи Дирихле (2), полученное методом Фурье, а равенство (5) следует из (4)). Представим решение исходной задачи (1) в виде

и = $ а( у вії X у + X сґі 1 у)дС X,

(7)

где функция д имеет вид (3), а( X) - искомая функция, при этом функция и удовлетворяет уравнению (1) и однородному граничному условию (1) при у = 0 (в предположении сходимости и дифференцируемости интеграла

(7)). Из второго граничного условия (1) находим

а =

2 в'1

—, д = в'2X11 1 - 2 І, (8)

( X + у )(1 + д) { X + у)

при этом | д | < 1 при 0 < 1 < да. В данном случае при 1 ^ 0 имеем а ^ да, при этом множитель при этом коэффициенте в подынтегральной функции (7) стремится к нулю так, что интеграл (7) в точке 1 = 0 сходится.

Раскладывая (1 + щ) 1 в геометрическую прогрессию, а также используя формулу бинома Ньютона, представим а (8) в виде

£ п / О \к

а = 2 £(-1)пе1(2п+1) 1:вкп 12)к +1,

п= 0 к = 0 (1 + У)

где с - биномиальные коэффициенты. Отсюда с учетом формулы (5) окончательно решение задачи (1) приведем к виду

£ п

и(х, у) = -1)п £ск(2)к[ Фк(х, у - (2п + 1)1) +

п=0 к=0

+ Фк(х,-у - (2п + 1)1) - 2уФк+1(х,-у - (2п + 1)1)],

(9)

где Фк(х,у) при к = 1,2,.. имеет вид (6), Ф0(х,у) = F(х, у), F(x,y) - решение задачи Дирихле (2).

2. Рассмотрим в данной полосе (х е Я,0 < у < I) смешанную краевую задачу с однородным граничным условием первого рода и неоднородным граничным условием третьего рода:

ли = о, и = 0, дуи - у и о = f(x)

(10)

Представим решение задачи (10) в виде

да

и = J адэЬ 1( у -1)61, (11)

0

где функция д имеет вид (3), при этом функция и удовлетворяет уравнению (10) и однородному граничному условию (10) при у = I . Из второго граничного условия (10) с учетом разложения граничной функции f (х) (3) найдем параметр а в виде (8). Отсюда, рассуждая аналогично п.1, решение (11) задачи (10) приведем к виду

£ п

и(х,у) = 2(-1)п 2ск(2)к[ Фк +1(х,у - 21 (п + 1)) +

п=0 к=0

+ Ф к +1(х,- у - 2п1)], (12)

где функции Фк+1(х,у) имеют вид (6).

Если в данной задаче граничные условия неоднородны на обеих границах, то решение строится в виде суммы полученных решений

(9), (12).

да

0

я

о

'Л

о

3. В полученных решениях (9), (12), как и в граничных условиях (1) и (10) переменная X остается свободной, при этом формулы (9), (12) представляют собой операторы, действующие на заданную функцию F(X, у) по одной переменной у. Отсюда заданную и искомую функции F(x,y) и u(x,y) по свободной переменной x можно подчинить дополнительным условиям. Именно, если функция F(x,y) удовлетворяет однородному граничному условию 1-го, 2-го или 3-го рода при X = const, то этому же условию удовлетворяют и функции (9) и (12), что проверяется непосредственно.

Рассмотрим, например, смешанную краевую задачу в полуполосе (х > 0,0 < у < I)

Ли = 0, ulx=0 = 0 (13)

U\y=i = f(x), dyU - у Цу=0 = 0 (14)

и соответствующую задачу для функции F(x,y) в квадранте (x > 0,y < 0)

ЛF = 0, Fy=0 = f(x), Fx=0 = 0. (15)

Решение последней задачи строится по формуле Грина в виде

F(x,y) = y f f($)

nr О

1 1

(x - $)2 + y2 (x + $)2 + y2

d$

0

Отсюда решение задачи (13), (14) также строится по формуле (9), где F(х, у) - решение задачи (15), что проверяется непосредственно. Аналогично решение задачи (13), и^ = 0,

дуи - у иу=0 = f(x) строится по формуле (12).

Применяя метод конформных отображений, можно расширить класс областей, в которых смешанные задачи строятся по формулам

(9), (12).

Так, аналитическая функция £ = ег отображает полосу (х е Я,0 < у < I) на произвольный угол (р > 0,0 < а < I), где г = х + ¡у, £ = ре'а, I < 2п. Отсюда решения смешанных краевых задач типа (1,3) в указанном угле строятся по соответствующим формулам (9), (12), в которых х = п р, у = а.

Аналитическая функция С = отобра-

жает полосу (х е Я,0 < у < I) на область между прямой п = 0 и окружностью

Ц42 + п2) + П = 0, где г = х + ¡у, С = 4 + ¡П . Отсюда решения смешанных краевых задач типа (1,3) в указанной области строятся по формулам (9), (12), в которых х = 4(42 + п2),

у = -п( 42 + п2).

Список литературы

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. - 431 с.

2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

3. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье в решении краевых задач с пересекающимися линиями сопряжения // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2007. - Т. 47. - № 9. -С. 1550-1556.

4. Холодовский С.Е. Метод рядов Фурье для решения задач в кусочно-неоднородных средах с прямолинейной трещиной (завесы) // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48. - № 7. -С. 1209-1213.

5. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференциальные уравнения. - 2009. - Т. 45. - № 6. -С. 855-859.

УДК 510 (022)

ББК В 11

Н.В. Игнатьева

О решении краевых задач в полуплоскости и полосе при наличии трещины

Методом свертывания разложений Фурье решены первые краевые задачи в кусочно-

однородной полуплоскости и полосе с сильно проницаемой трещиной, перпендикулярной границам. Решения выражены через известное решение задачи Дирихле в однородной полуплоскости (полосе).

Ключевые слова: метод свертывания разложений Фурье, трещина.