О разрешимости параболической обратной задачи нахождения коэффициента поглощения специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НАХОЖДЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПОГЛОЩЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

О, В, Ефременкова

Пусть В — интервал (0,1) оси Ох Я — прямоугольник {(х,Ь) : х € В, Ь € (0,Т), О <Т<+ те}. Далее, пу сть На(х, Ь), Н\(х,1),..., кт( х,Ь), ио(х), /XI (£),..., /хт(£) — функции, заданные при х е В, < £ [О, Т]. Наконец, пусть х1,..., хт — точки В такие, что 0 < х < • • • <

хт < 1 •

Обратная задача. Найти функции и(х,Ь), ^(Ь),..., Ь), связанные в прямоугольнике Я уравнением

иг - ихх + {Н0{х,Ь) + -----Ь дт(Ь)Нт(х,Ь)]и = ¡{х,Ь), (1)

при выполнении для функции и{х,Ь) условий

и(0,Ь) = и(М) =0, 0<Ь<Т, (2)

и(х,0) = щ(х), х € В, (3)

и(хк ,г)=^к(г), к = 1,... ,т, 0 <Ь <Т. (4)

В обратной задаче (1)-(4) условия (2) и (3) — условия обычной начально-краевой задачи для параболического уравнения, условия же (4) — условия переопределения, обусловленные наличием дополнительных неизвестных функций ..., цт{Ь). Подобные задачи ранее изучались лишь в случае т = 1 (см. [1,2]).

© 2006 Ефременкова О. В.

Пусть Уо и V — следующие пространства:

Уо = {ь(х,г) ь(х,г) е д(д) п ьто(о,т-,ту\(Б))}, У = |«(х,г) : «(х,г) е Уо, Ух(х,г) е У0, «хх(х,г) е У0};

нормы в этих пространствах определим естественным образом:

1Мк = \Мк22 -1 ($) + \M\wo , \Мк = \Мк + \К\к + \Кх\к •

Пусть г>к(х), к = 1, • • •, ш, — заданные при г е (О, Т) функции. Рассмотрим следующую линейную систему относительно неизвестных функций рк( ¿):

т

У2ы(хк,г)^к(г)рг(г) = /(хй,г) - - н0{хк+ ¿=1 (5) к = 1, 2,. .., ш.

Предполагая, что определитель ¿о(^) этой системы не обращается в нуль на отрезке [0,Т], найдем функции рк(г):

т

Рк(г) = А кф + ^^к^Нф, к = 1,...,ш; (6)

¿=1

функции Ак(Ак(г) в равенствах (6) вполне конкретно вычисляются через функции /(х,г), Н0(х,Ь), Мх,г),..., Лт(х,г), ^(г),... г)-Положим

т

а0(х,г) = ^0(х,г) + Х^А¿(х,г),

г=1

т

ак{ х, г) = х,г),

¿=1

6о(х,г) = а0х(х,г), с0(х,г) = а0хх(х,г), 6к(х,г) = акх(х,г), Ск{х,г) = акхх(х,г), к = 1, . .., ш,

ак = \К(х,г), А = \\Ых,г),

7к = \Ых,г).

Далее, пусть Ао, Ai и ^о — заданные положительные числа, роль которых мы поясним ниже. Положим

Кг = max |-^||/жж||Ьоо(д), |\u%\\L<x>{D)

4 1

к2 = Т-[А) + MPl + ■ ■ ■ + М] + тЫ + Мо(71 + • • • + 7т)], АА

1 - к

Теорема. Пусть выполняются включения

/{х,г) € (Я), /х(х,г) € (Я), /хх(х,г) € (Я), и0(х) € В) п шЦв), нк{х,г) € Я, нкх(х,г) € (Я), Ькхх(х,Ь) € Ьж(Я), к = 0,1,...,т,

МЬ) € -ШК[0,Т}), /хк,г) € £то([0,Т]), к =!,...,т.

Кроме того, пусть выполняются условия

\МЬ) I > <1о>0 прпЬ € [О,Т\, ао(х,Ь) > А0 + А1 при (х,Ь) € С

А1 - м0(а н-----н ат) > О, К < 1, N < мо;

ио(0) = и0(1) = <(0) = <(1) = 0, /(0,Ь) = /(М) = 0 прпЬ €[0,Т], щ(хк) = Ик(0), к =!,...,т.

Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {и(х,Ь), 91(Ь),..., дт(Ь)} такое, что и(х,Ь) € V, Чк(£) € Ьто([0, Т]), к = \,...,т.

Доказательство. Воспользуемся комбинацией метода срезающих функций и метода неподвижной точки (см. [3]). Определим срезающую функцию 0(£):

£, если \£\ < мо, &(£) = { Мо, если £ > мо, -мо, если £ < -мо.

Рассмотрим следующее «нагруженное» [4, 5] уравнение составного типа:

т

+ а0(х,г) + ^2ак(х,г)С(ихх(хк пхх

к=1 т

+ 2 Ь0(х,г)+ ^2ьк(х,Ь)0{пхх{Хких

пххЬ пх

к

е0(х,г) + х,г)С(пхх( Хк ,£))

к

п = !хх{ х,ь), (7)

и краевую задачу для него: найти решение уравнения (7), для которого выполняются условия (2), (3), а также условия

ихх(0 ,Ь) = ихх{ М) = о, о<г<т.

(8)

Пусть у(х,Ь) — произвольная функция из пространства V, для которой выполняются условия (2). Положим

Fv{х,г) = /хх(х,ь) -2

ь0(х,г) + '^21Ьк{х,г)0(юхх{хк

к

Ъх( х,ь)

- е0(х,г)+ '^2ск(х,г)С(Ухх(хк ,£)) к

Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения

т

пххг - Пхххх + [ао(х,£) + ^^а^х,Ь)0(Ухх{хк,^)}пхх = х,Ь), (7„)

к

для которого выполняются условия (2), (3) и (8).

Очевидно, что краевая задача (7У), (3), (8) является первой начально-краевой задачей для линейного относительно функции пхх параболического уравнения. Как хорошо известно [6,7], данная краевая задача имеет решение т = пхх такое, что т € Уо- Найдя функцию т, мы можем найти саму функцию п{х, Ь) с помощью условий (2). Очевидно, что найденная функция п(х,Ь) будет принадлежать пространству

У-

Проведенные рассуждения означают, что краевая задача (7v), (2), (3), (8) порождает оператор Ф, переводящий пространство V в себя (точнее говоря, подпространство V,о функций v(x,t), для которых выполняются условия (2), в себя).

Построенный оператор Ф будет вполне непрерывным, что доказывается аналогично доказательству соответствующего факта в работе [3]. Если мы теперь покажем, что для всевозможных решений краевой задачи (7), (2), (3), (8) имеет место равномерная в пространстве V

разрешимость в том же пространстве (см. [7, гл. VI, §3]).

Заметим, что для решений краевой задачи (7), (2), (3), (8) имеет место оценка

hxx\\L^(Q) <max|^-||i1„||LCTo(Q),|K||LCTo(B)| . (9)

Используя вид функции Fu{x,t), очевидные неравенства

IMIWQ) < \\uxx\\b^(Q), IKHl^(q) <2\\uxx\\l^{q) ,

a также неравенство IGOI < l£l> нетрудно вывести из неравенства (9) неравенство

hxxh^, Q < K + K WuxxWl^q Q . Условие K < 1 дает априорную оценку

WuxxUlU.Q < N0. (10)

Используя оценку (10) и технику интегральных неравенств (см., например, [3,6], нетрудно получить интегральную оценку

xx

W1 (Q) + \uxxwl^,t.,wimm) < n (11)

с постоянной N, определяющейся лишь входными данными исходной задачи. Оценки (10) и (11), а также условия (2) дают результирующую оценку

\\и\\уг < N (12)

с постоянной N, вновь определяющейся лишь входными данными рассматриваемой задачи (1)-(4).

Как уже говорилось выше, вполне непрерывность оператора Ф и априорная оценка (12) означают, что краевая задача (7), (2), (3), (8) действительно имеет решение и(х, 4), принадлежащее пространству у. Покажем, что с помощью этого решения можно построить решение исходной обратной задачи (1)-(4).

Прежде всего заметим, что оценка (10) и условие N ^ Мо означают, что найденная функция и(х,4) является решением уравнения

иххЬ их

- а0(х,4) + 53ак( Х,г)ихх{ Хк ,4) к=1

т

+ 2 60(х,£) + ^6й(Х,г)ихх(Хк _ к=1

т

+ с0(х,4) + ^2ек(х,г)ихх(хк

к=1

Положим

Цх, 4) = щ(Х, 4) - Их^Х, 4)

т

+ а0(х,4) + ^2о,к(х,г)ихх(хк

и = ¡хх{ х,ь). (7')

к

¿(х,^ - /(х,г).

'

»х^ 0.

(13)

Условия (2) и условия /(0,4) = /1,4) = 0 теоремы означают выполнение равенств

»(0,4) = »(1,4) = 0. (14)

Равенства (13) и (14) очевидным образом означают, что в прямоугольнике ^ выполняется равенство

»(х, 4) = 0.

и

х

Другими словами, для функции и (ж, 4) в прямоугольнике Q справедливо уравнение

и - их

а0(ж,4) + 53ак(ж,4)ижж(жк ,4)

к=1

и = /•

(15)

Положим

9к(4) = Ак(4) + Ак(4)ижж(ж4,4), к = 1,.. •, т.

¿=1

Очевидно, что уравнение (15) означает, что функции и(ж, 4), ®_(4), •.., 4) связываются в прямоугольнике Q уравнением (1). Положим

¥>к(4) = Цжк ,4) - Мк(4). ж жк

равенство (5), мы придем к соотношениям

^к(4)=0, к = 1, • • •, т. (16)

^'к(4) + Мжк ,4) + 53М жк ,4)^(4)

¿

Вследствие условий теоремы и оценки (10) функция

т

Фк{4) = Ь0{жк,4) + 53 жк,4)^(4)

¿

будет равномерно ограничена на отрезке [0, Т]. Далее, вновь из условий теоремы следует, что имеют место равенства ^к(0) = 0. Очевидно теперь, что из равенств (16), ограниченности функций фк(4) и равенств ^к(0) = 0 следует, что выполняется тождество ^>к(4) = 0 при 4 € [0,Т], к = 1,..., т. Эти тождества означают, что для построенной функции и ж, 4

Все проведенные выше рассуждения дают выполнение для функций и(ж,4) и #1(4), • • •, цт{4) соотношений (1)—(4) и принадлежность их требуемым классам. Другими словами, функции и(ж,4), #1(4),..., дт(4) представляют собой требуемое решение обратной задачи (1)-(4).

Теорема доказана.

Замечание 1. Требуемые в условии теоремы неравенства использовались по ходу доказательства, требуемые же включения необходимы прежде всего для того, чтобы величины ak, fiki Yfcj K и K были бы конечными.

Замечание 2. Все требуемые в условии теоремы неравенства, кроме неравенства |do(t) | ^ do > 0, будут выполняться, если числа Ао и Ai велики (что возможно).

Замечание 3. Функции hk{ x,t), к = ... ,m, очевидно, не могут быть линейно зависимыми, так как в этом случае определитель ^(t) системы (5) будет обращаться в нуль.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ivanchov M. Inverse problème for équations of parabolic type. VNTL Publ. 2003.

2. Lamos H. Inverse problem of determining the coefficient depend times for heat équation // Тихонов и современная математика. Обратные и некорректно поставленные задачи. М., 2006.

3. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, № 4. С. 722-744.

4. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

5. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.

6. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

7. Ладыженская О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

г. Рубцовск

7 июля 2006 г.