Обратные задачи для гиперболических уравнений с неизвестными младшими коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕИЗВЕСТНЫМИ МЛАДШИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ*)

И, Р, Валитов

Работа является логическим продолжением работы [1], но отличается заданием граничного условия. В нижеприведенной постановке подобные задачи ранее не изучались.

Пусть В — интервал (0,1), Q — прямоугольник {(х, Ь) : х € В, Ь € (0,Т), О < Т <+ ж}.

Обратная задача I. Найти функции и(х,Ь) и ^Ь), связанные в прямоугольнике Q уравнением

и«(х,г) - ихх(х,Ь) + д(Ь)а(х,Ь)и(х,Ь) = /(х,Ь), (1)

при выполнении для функции и(х,Ь) условий

их (0 ,Ь) = их{ М)=0, 0<Ь<Т, (2)

и(х,0) = щ(х), щ(х,0) = щ(х), х € В, (3)

1

J K(x,t)u(x,t)dx = 0<Ь<Т. (4)

о

Обратная задача II. Найтп функции и(х,Ь) н ^Ь), связанные в прямоугольнике Q уравнением

иИ(х,Ь) - ихх(х,Ь) + д(Ь)а(х,Ь)щ(х,Ь) = /(х,Ь),

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 06-01-00439) и Сибирского отделения РАН (междисциплинарный проект N 48).

© 2006 Валитов И. Р.

при выполнении для функции u(x,t) условий (2)—(4). Пусть ^ и V — следующие пространства:

V0 = {v{x,t) : v{x,t) G ¿.„(О,T;W^(D)),

vt(x,t) G LTO(0,TW(D), vtt{x,t) G LTO(0,T; L2(D))};

V = {v(x,t):v(x,t) G Lœ(0,T; W(D)),

v?(x,t) G Lœ(û), v«(x,t) G L2{Q),vxxt{x,t) G L2{Q)}.

Нормы в этих пространствах определим равенствами

IMko = Il vN L^CO ,T;W|(D)) + IHIl^O.TWP)) + HvttML^C0 ,T;L2(D)) ' llvlki = ||v||L^(0,T;W|(D)) + ||vtNL^(0,T;W|(D)) + ||v«NL^(0,T;L2(D)) •

Для сокращения формулировок и выкладок введем некоторые обозначения. Именно, положим

1 1

= f K(x,t)f(x,t)dx, N = mах У K2(x,t)dx,

о ' о

1 1

N = max / K? (x,t)dx, N = max / K?t(x,t)dx,

,T t ,T tt

о 0

1 1 / x \ 2

N = max J K^x,t)dx, N = max j \ax(x,t)| I j K2(y,t)dy I dx, 0 0 \o /

N = vrai max \u0(x)\, N =---vrai max\F(t) — m''(t)\,

D Mi — MO [°-T]

1

N = ^ax \a(l, t)\, ^^ = ^^ + i f ul(x) dx

[o>T Mi — Mo W

ЛГ 2^ + ^T^ + N/

N — -,

Mi — Mo

T 1

Ba =

[(ж) dx + j u'(x) dx + j j f2(x, t) dxdt +

о о

Bi = [12N52N92 + 4N82T2 + 3], B2 = ml,

BB C0 = Bo + Ci = — + B2T,

M0 =

C

о

M = \/2TM+V2 \ ux ) dx I ,

1 - С1С^Т

\о

= 2ЩЩ + Щ И1 + ЩЩ.

Здесь ^о и суть заданные числа такие, что 0 ^ ^ < роль этих чисел будет объяснена ниже.

Теорема 1. Пусть для функций а(х, Ь), К(х, Ь), ^(Ь), щ(х) и щ (х) выполняются следующие условия: а(х,Ь) € С1{О), К(х,Ь) € С2{О), а(1,ф(Ь) > ^ > О, ЩИ < Мо, и0(х) € их{х) €

и£(0) = и£(1) = 0, Ц(0) = и'(1) = 0,

Nw =

T 1 1 1

f2 dxdt + j u$ dx + J u\ (x) dx .0 0 о о

T,

Mi = (2Ni0)^T + yft yj u2{x)dx

N12 = (2 N? + N )М*0 + N'Ni, mi = N7Nn + NN i

i K(x,0)uo(x)dx = ^(0), p(t) e C2([0,T]),

f(x,t) e l2(Q), ft(x,t) e l2(Q).

Кроме того, пусть выполняется условие CqC\T < 1. Тогда обратная задача I имеет решение {u(x,t),q(t)} такое, что u(x,t) e Vg, q(t) e

L<»([0 ,T]).

Доказательство. Для заданной функции v(x, t) определим

функции <^(t, v), ф\ (t, v) и ^ (t, v):

v)

111

= 2 ¡КЛx DMx » «x + J K„xx tHx,,)dx -1ВДx,<)<,(x .) «x,

1

^i(t, v) = J ax(x,t)

K(y,t)u(y,t) dy

dx,

<7i (t , v) =

F(t) - м''(t) + ^(t,v)

а(1,г)м(г) - 'фг{г, V) Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(ж,г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

utt - uxx q t, u u f x, t

(5)

и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Для доказательства разрешимости этой краевой задачи воспользуемся методом срезок, методом регуляризации и методом неподвижной точки. Определим срезающие функции G (С) и G (С) с помощью чисел Mo и

С, если |С| < шь i С, если |С| < мо,

G(0 = S mi, если С > m, G(C) = S M, если С > M,

-mi, если £ < —mi;

—Mo, если £ < —Mo-

Определим функцию

çi^, v) =

F(t) — м'Ч ^GMt,v))

а(1,г)м(г) - С2(ф1(М)) '

Рассмотрим уравнение

и«(ж, г) - ижж (ж, г) + и)и(ж,г) - еижх(ж, г) = /(ж, г) (5е)

с параметром е, принадлежащим полуинтервалу (0, £о] с фиксированным числом £о- Рассмотрим также краевую задачу: найти функцию

и(х,~Ь), являющуюся в прямоугольнике ^ ^^^^^^^^ уравнения (5е) и такую, что для нее выполняются условия (2) и (3).

Используя метод неподвижной точки и теорему Шаудера, нетрудно установить, что краевая задача (5е), (2), (3) имеет при фиксированном £ и при выполнении условий теоремы решение ие(х, £), принадлежащее пространству V (подробное доказательство в аналогичной ситуации проведено в работе [1]).

Рассмотрим равенство г 1

J J [итт{х, т) - ихх{х, т) + ^ (т, и)и{х, т)

о о

г 1

— £иххт(х,г)]ит ЗхЗт = / /(х,г)ит(х,г)ЗхЗг. (6)

о о

Заметим, что имеет место неравенство

М1,и)| < Ж8 + Ж9

и* (х, £) Зх

Ю

.

+ УУ ит (х,г)ЗхЗг + J иХ( х,Ь) Зх

00 о

Интегрируя в (6) по частям и используя неравенство Юнга и неравенство (7), нетрудно от равенства (6) перейти к неравенству

1 г

а(Ь) < В0 + В! J а(т) Зт + В2Т ^ а2(т) Зт,

где

1 г 1 1

= / и* (х,1)Зх + J J ит (х,т)ЗхЗт + J и2Х{х,1)Зх.

о о

Тогда в силу свойства решений интегральных неравенств [2, гл. III >4] для функции а(Ь) имеет место оценка

С

1 — СхСйТ

= м.

(8)

С помощью данной оценки получаем оценку для и)

и | <2Щ Щ + Щ М + Щ Щ = т,

(9)

где Щ = V2ТМ0 + у/2 (/ щ(х) ¿х

Аналогично оценим |ф1(£, и)|:

ФМ I < N

и2(х, £) ¿х

(10)

Из оценок (9), (10) и из условий теоремы вытекают равенства 0\((р(1,и)) = <р(1,и), С2('ф1^,и)) = ф\{Ь, и), а также <?1 (1,и) = ,и). Используя оценку (8) на функцию придем к оценке

1 1 4 1

J и%х{х,Ь) ¿х + J и2х4{x,t)¿x + еJ ! и2ххт ¿,х¿т ^ М2 (11)

О О 0 0

М

висящей от е. Далее, помимо оценок (8) и (11) имеет место оценка

4 1

У У иТт ¿x¿т < М3 (12)

о о

М

е

шений ие(х, ¿) краевой задачи (5е), (2), (3) можно извлечь последовательность, сходящуюся к решению и(х,1) краевой задачи (5), (2), (3). Имея решение и(х,~Ь), определим функцию = ц\{1,и). Очевидно, что функции и(х,~Ь), связаны уравнением (1) и принадлежат требуемым классам и для них выполнены условия (4). Теорема доказана. Пусть

ш1 = ((и{х,г),^г)}: и{х,г) е у0, д(г) е ьто([о,Т}),

- ф!(г,и) > к0>ог е [о ,Т]}.

Теорема 2. Пусть для функций a(x, t), f(x, t), K(x, t), выполняются включения теоремы 1. Тогда в множестве обратная задача I не может иметь более одного решения.

Доказательство. Пусть {u(x,t),gi(t)} и {v(x,t),q2(t)} — два

W

w(x, t) = u(x,t) — v{x,t), fi(x,t) = [q2{t) — qi(t)\v{x,t).

Имеют место равенства

wtt{ x,t) — x,t) + ^(t)w(x,^ = h{x,t),

w(x, 0) = wt(x, 0) = 0, x £ D,

w^O, t) = wx( 1, t) = 0, 0 < t < T.

Рассмотрим равенство t i

//Кт (x,t)—wxx( x,T)K {x,T)dxdT о 0

t 1

= j j[a(q2 — qi)u(x,r) — aqiw(x,r)]wT dxdT. о 0

Интегрируя в нем по частям и применяя неравенство Юнга, а также

qq

{u x, t , q t } {v x, t , q t } W

/И« + < NI/м + wx> dxdT

О 0 0

с постоянной N, зависящей лишь от функций a(x,t), f(x,t), K(x,t), ^{t). Из этого неравенства и леммы Гронуолла следует тождество w(x, t) = const. Очевидно, что на самом деле выполняется тождество w x, t u x, t v x, t

в прямоугольнике Q. Из совпадения функций u(x,t) и v(x,t) вытекает совпадение функций qi(t) и q2(t) та отрезке [0, Т]. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть для функций a(x,t), K(x,t), ¡(t) выполняются следующие соотношения:

a(x,t) е C(Q), K(x,t) е C2{Q),

е C2([0,T]), F^) - м'Ч^ < -m <0, a(l,ty(t) < -тг<0,

m1<m1, N12 < m, u0(x) е W$(D), щ^) е W2(D),

1

u'(0) = u^(l) = о, u'(0) = u'(l) = О, ^ K(x,0)uo(x)dx = ¡(0),

о

f(x,t) е l2{Q), ft(x,t) е UM). Тогда обратная задача II имеет решение {u(x, t), q(t)} такое, что

u(x,t) е V1; q{t) е LTO([o,T]).

Доказательство. Для заданной функции v(x, t) определим функции и q2(t,v):

1

^2(t, v) = a(l ,t) J Kt( x,t)v(x,t)dx

ax( x,t)

K(y,t)ut(y,t) dy

LO

q t, v

F(t) - t) + cp(t,v)

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и{х,Ь), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

utt - uxx + ft (t, u)ut = f(x, t)

(13)

и такую, что для пее выполняются условия (2) и (3). Для доказательства разрешимости этой краевой задачи мы вновь воспользуемся методом срезок, методом регуляризации и методом неподвижной точки.

x

Определим срезающие функции Ох (С) и С2(С) аналогично вышеприведенному, но с числами шо и соответственно:

{С, если |С| < ш, ( С, если |С| < шь

Ш, если С > шо, О2(0 = \ Ш\, если С > —ш, если С < —шо; [ —Ш1, если С < —

Определим теперь функцию

а(1,гу(г) — а2(ф2(г,у))'

Рассмотрим краевую задачу: найти функцию и(х,г), являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

ии — ихх + и)щ — £иххЛ = /(х, г)

и такую, что для нее выполнены условия (2) и (3).

Дальнейшие рассуждения в целом аналогичны первой части статьи. Опираясь на априорные оценки и теорему Шаудера, показываем решение вспомогательной задачи. Далее показывается возможность предельного перехода и разрешимость исходной обратной задачи.

Вопрос о единственности задачи II рассматривается так же, как и в задаче I. Итак, пусть

ш2 = {{и(х, г), д(г)}: и{х,г) е ¥1; д{г) е ьто([о,т}),

а(1, г)ц\г) — фг (г, и) > к0>о, г е [о, т]}.

Теорема 4. Пусть для функций а(х,г), /(х,г), К(х,г) н ^(г) выполняются включения теоремы 3. Тогда в множестве Ш2 обратная задача II не может иметь более одного решения.

Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 2.

Замечание 1. Все условия теорем 1 и 3, использующие неравенства, выполняются, например, в случае, если числа Т и \\К(х,г) малы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Валитов И. Р., Кожанов А. И. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. С. 3^18.

2. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

г. Стерлшпамак

1 ноября 2006 г.