О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Кумышев Р.М., Пантелеева М. //О разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка со знакопеременным коэффициентом.// //ФЭн-наука. 2015. № 12 (51). С. 6-8.

УДК 517.95

Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедра ДУ ФГБОУ ВПО

«Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

КБР, г. Нальчик

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА Аннотация. Исследована система уравнений. В зависимости от показателей порядка дифференцирования и интегрирования доказана разрешимость данной системы.

Ключевые слова: система интегро-дифференциальных уравнений, оператор дробного дифференцирования и интегрирования, уравнение Вольтера второго рода.

В последние годы возрос интерес многих математиков к исследованию дифференциальных уравнений и систем с производными дробного порядка.

Рассмотрим следующую систему интегро-дифференциальных уравнений:

i

X

<р(х) = А(х)Х>0х^(х) + i0 k1(x, t)p(t)dt +

+ SXk2(x,t)iP(t)dt + f1(x),

i (1) ^(x) = B(x)&0xp(x) + iX k±(x,t)ip(t)dt +

+ iX k2(x, t)p(t)dt + f±(x),

X

v +Jok2

ii

где Ъ20х и Ъ20х - операторы дробного дифференцирования в смысле Римана-Лиувилля.

Обозначим единичный интервал 0 < х < 1 через 0.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функции

А(х),В(х),^(х),^(х) е С(0); к^х^к^г) е С(0*0)Л = 1,2,} = 1,2. Тогда система уравнений (1) имеет и притом единственное решение классаС(О). В этом случае система (1) представляет собой систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Второе уравнение системы перепишем в виде 'ф(х) — к1(х, €)$(€)& = Р(£), (2)

где Р(х) = ЪЮ+^Го^ + ^^х^Ыт. (3)

1 ( 2) (Х-г)2

Считая предварительно правую часть Р(х)уравнения (2) известной и обозначая через Я(х, ¿^резольвенту ядра к1(х, €), после обращения имеем ^(х) = Р(х) + ^К(х>1)Р(1)(И. (4)

Подставляя значения Р(х) из (3) в формулу (4), получим

1( 2) (Х-г)2 (х-г)2

гдеК(х) = А(х) + ¡¿Я(х, 1)Ш(И, (6)

я (х г) = /1 в(,:+(Х-,:)Ок(Х*+(Х-щщ ^

0 '

Я2(х,1) = ^ В(х,Ь)к2(Ь,№1. (8)

Значение гр(х) из (5) подставим в первое уравнение системы (1). После несложных преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра

второго родаср (х) = ¡0 + Р1 (х), (9)

где Р1(х) + к2(х^Ж(№, (10)

Г(-2) 0 (Х-1)2 0 1

С(х.С)=4%! В(С + (х-3С)РЫ( + (х - Мх, С),

( ш 3 3

Г(-2)° (1~02 &

А(х)№(хД) А(х)к2(хД) Г 0

Ы(х^)= ('1( , )1+ ()1( , ) 1+ I к2(х,оя;а1,№ +

Г(-±)(х-ф г(-2)(х-ф \

Й(ХХ) А(х)и}(х,г)

(Х-О-! К-Ух-о1' )

П1(х,1) = к2(х^)+Я2(х^),Я1(х^) = ¡1«1(<+1Х-)1з^, (12)

11 0 (1-Я3 '

- 11к2(х{+(х-УОК1(1+(х-1)^Щ ^^

' 0 '

]с2(х _ в(1+(х-1)0к2(хх+(х-1)0а% ^

0

В силу свойств заданных функций и резольвенты К(хД) ядра к1 (х, 1) уравнения (2), в формуле (6)-( ), (10)-(14) заключаем , что Р^_(х) Е С(0), Р^О) = 0,С(х,г) Е С(3*3).

Таким образом уравнение (9) однозначно разрешимо и его решение у(х) Е С(3).

Обозначив через Г1 (х, 1) резольвенту уравнения (9), решение этого уравнения мы можем представить по формуле

<(х) = Р1(х) + ¡0 Г1(х, (15)

Подставляя выражение (15) для<(х)в формулу (5), находим ф(х). В

силу свойств функций Р1(х) и Т1(х, Ь) легко заключить, что ф(х) Е С(3).

1

В связи с тем, что - > 0, то второе уравнение системы (1) является

итегро-дифференциальным, которое перепишем в следующем виде

1

Ъ0Мх) = к1(х, ОФСОЛ - ^ £ к2(х, - ьш. 06)

_1

На обе части равенства (16) подействуем оператором Получим

ш

ГЫ 0 (х-02 Т(Ю

^f*k22(x,t)(p(t)dt + F2(x), (17)

где k\{x,t) =

0 (1-022 к2(х t) = (х- t)1 f1 k2(t+(x-t)^,t)/B(t+(x-t)^)d^

1

(1-02

F2(x) =-ЪпШх) / B(x)]

0x>

1 X о

Запишем уравнение (17) в виде p(x) +——J k^(x, t)p(x)dt = 6(x),

ГУ

Ш

где 6(x) = F2(x)-^JX^--1-JZk1i(x,t)№dt (18)

ГЫ 0 (x-t)2 Г(2) 0 и решим полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, как если бы правая часть была заданной функцией.

В результате получим (p(x) = 6(x) + f 3(x, t)6(t)dt, (19)

где 3(x, t) - резольвента ядра k^(x, t).

Подставляя p(x) из (19) в первое уравнение системы (1) и, заменяя 6 (x) его значением из (18), будем иметь

S^JX^ + ^J;*^^ = f0X M(x, t)№dt + F3(x), (20)

^^ 0 (x-t)2 Г(2) 0 (x-1)2 0

Где

M(x, t) =

i

1 ki(x rt 1 (x-t)2 rxz(x,t+(x-t)0dt___—rX4(xt)ki(xt)dt +

^i^k1(x,L) B{t) J0 r(1)f L1)K1(x, L)dL1 +

i

- k2(x, t) + + t1)k1(x, t)dk +

3 1

(x-t)2f k1(x,t + (x-t)t1)*

i

1......5

■ ' --vi- ■ ' -N— Г1

tföiit + (x- t)tlt t)dt± + (x- t)2 J k1(x, t + (x- t)t!)

t^iit + (x- t)t1t t)dt±, (21)

i

[•1 (23(t,ti + (t-ti)()k1(ti+(t-ti)(,ti)d( JÖ i ,

Fs(x) =

p2(x) + !*Жх, t)F2(t)dt - ft k2(x, t)F2(t)dt -

-x

- ^ к1(х, о аг - А(х). (22)

Из представлений (21) и (22) легко заметить, что М(х^) Е С(Э*3), Р2(х) Е С(3) и М(х, х) Ф 0, так как к2(х, х) Ф 0. Уравнение (20) перепишем в виде

i i 4xV(x) = iX Mi(x,t)iP(t)dt + Ai(x)V-l[^] + F4(x)

где M1(x,t) = M(x,t) /A(x),A1(x) = -1 /A(x), F4(x) = F3(x) /A(x).

2

Действуя на обе части полученного уравнения оператором , получим интегродифференциальное уравнение, которое всегда разрешимо.

Использованные источники:

1. Кумышев Р.М., Битова А.А. Краевая задача для дифференциального уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом. //Приволжский научный вестник. 2015. № 5-1 (45). С. 9-12.

2. Кумышев Р.М. //Ооб одной нелокальной задаче для нагруженного параболического уравнения с континуальными производными в граничных условиях. //Science Time. 2015. № 5 (17). С. 239-245.

3. Кумышев Р.М., Шокуев Р.А., Шокаров А.А. Ккраевая задача для уравнения смешанного типа с дробной производной по времени в параболической части. // Высшая школа. 2015. № 9. С. 90-93.

4. Кумышев Р.М., Шокуев Р.А., Шокаров А.А. Ооб одной априорной оценке решения первой краевой задачи для обобщенного уравнения переноса. //Высшая школа. 2015. № 9. С. 94-96.

5. Кумышев Р.М. О разрешимости системы уравнений дробного порядка. //Международный научно-практический журнал «Теория и практика современной науки». Выпуск № 5(5) (НОЯБРЬ, 2015).

i