CC BY
3
УДК 517.956
Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедра ДУ ФГБОУ ВПО
«Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»
КБР, г. Нальчик ЗАДАЧА СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С ПЕРЕМЕННЫМ
КОЭФФИЦИЕНТОМ Аннотация: В предлагаемой статье исследуется краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка с неклассическими краевыми условиями. Разрешимость данной задачи сведена к исследованию системы линейных интегральных уравнений.
Ключевые слова: смешанно-параболическое уравнение,нелокальный оператор, интегральные уравнения.
Необходимо отметить, что некоторые прикладные задачи приводятся к рассмотрению уравнений третьего порядка с частными производными. В частности, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопереноса в почвогрунтах приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных гиперболического типа третьего порядка[1]-[7].
В односвязной области d = {(х, t): |x| < 1,0 < t < t} рассматривается уравнение Lu = - sgn x • ut = f (x, t). (1)
Задача. Найти регулярное в D \ {x = 0} решение уравнения (1) из класса C(D) о с1 (D) о с2 (D), удовлетворяющее краевым условиям
U (-/, t) = \u(0, t), ux (-/, t) = ^u(0, t), u(l, t) = 0, 0 < t < T (2) и нелокальным условиям
u(x,0) = axu(x, T) ,0 < x < / ; (3)
u(x,T) = a2u{x,0), -/ < x < 0, где , a,a - const. (4)
Пусть D = Dо {x > 0} D = Dо {x < 0}. Пусть решение задачи (1), (2), (3), (4) существует, принимая, что u(0, t) = r(t), ux (0, t) = v(t), причем r(t), v(t) e c[0,T] и следовательно r(0) = t(T) = 0 , V(T) = v(0) = 0, тогда решение задачи u(0, t) = T(t), ux (0, t) = v(t), u(/, t) = 0, u(x,0) = (x), x e [0, l]
в области d+ допускает интегральное представление
ли(x,t) = JGg (x, t;0,v)T(v)dv - JG++(x, t;0,v)v(v)dv
0 0
l
+ JG+ (x, t; 0)u(£,0d - JJ G + (x, t; v)f g, Tj)d&4,
где 0(х,г- функция Грина данной задачи и решение задачи
и(0, г) = т(г), и(-1, г) = 0, ых (-1, г) = 0, ы(х,Г) = ут (х), х е[-¡,0]
допускает в области б представление
T о
ли(x, t) = JG; (x, t; 0, rj)r(if)dф + JG- (x, t; T)u(;, T)d; -
t -i
-JJ g - (x, t;,r)f (;,r)d;dr.
(6)
Известно, что 0+ (х,г;%,ф = Щх,4;г-ф-Ж(х,%,г-ф, где и(х,£;г-ф- одно из фундаментальных решений уравнения ^ - щ = 0, а ж(х,4, г -ф - регулярное решение сопряженной по отношению к выше рассмотренной задаче краевой задачи для уравнения - = 0. Тогда
/■ л
G+ (x, t;0, r) = Uee (x,0; t -ф - W££ (x,0; t -ф = -
a
ssv
4/ f
3(t -фА
f
3(t -ф
- Wss (x,0; t -ф ,
J G+; (x,0; t -r)r(r)dr = -J
3(t -r)
rf
\
3(t -r
z(r)dr - J W; (x,0; t - r)r(r)dr
t
Jr(r)d
Jf ( z)dz
(t-r)1/3
-J W; (x,0; t -r)r(r)dr = J
(t-vf3
J f ( z)dz
r'(v)dv-
(t -щ)У3
J W; (x,0; t -ф)т(ф)йф = Jt'ф) J f (z)dzdv + Jx(v) — J W; (x,0; t - z)dzdv
0 0 0 дф v
x
(t
(7)
Л
Jt\v) J f (z)dzdv - Jt'ф) — J W; (x,0; t - z)dzdv
дф ■
Полагая в (6) t = T, с учетом нелокального условия (3) для определения и( x,0) получаем соотношение
T T
ли(x,0) = JGg (x, T;0,v)T(v)dv - JG++ (x, T;0, v)v(v)dv +
0 0 (8)
l l T v 7
+J g + (x, t; ;,0)u(;,0)d; - J J g + (x, tv)f; v)d;dv.
0 0 0
С учетом равенства (7) представление задачи области d+ можно записать в виде
0
D
+
D
x
3
x
x
0
0
0
x
0
x
0
0
x
0
0
7
г (г-?)1' г
ли(х,г) = |г '(?) |/(z)dzd? - |т'(?)N(х,0;г -
0 0 (9)
г I
-1О+ (х, г;0, ?)v(?)d? +1О+ (х, г; + / (х, г),
00 г
где N(х,0; г - ?) = | ^ (х,0; г - z)dz, / (х, г) = -ДО О + (х, г; £ ?)/(£, ?)d£d? .
— //I _ I Г р ^ ( 1 II / — /I/// / I * / — I
? в+
Продифференцируем полученное равенство почленно по переменной х и полагая в нем х = 0, имеем
- т' (?)
пих(0,г) = /d? -\т'(?)Мх(0,0;г - -
" 4 1 (10)
0 (г -?)/3 0
г I ~
IV ' (?) Г (0,0; г - ?М? +1 Ох+ (0, г )ы(4,0Щ + /и (0, г) - - V).
Продифференцируем равенство (9) почленно по переменной х два раза,
полагая в нем х = 0, имеем:
г 1 г
(0, г) = / (0)[7-т^ т (?)d?-íт' (?)М'хх (0,0; г-?)d?+
0(г -?)/з о (11)
+ / (0)1^)^ V V (?*. (0,0; г-?М?+|о; (0;£, г )п£,0^ + /1хх (0, г).
В представлении (11) перейдем к пределу при г ^ 0, и с учетом нелокального условия (4) получим соотношение
Т 0
+
лы(х, Т) = IО- (х,0,0, ?)т(?)d? + IО- (х,0; Т)и(£, ТЩ -
(12)
0 -I
0Т
IIО - (х,0;£,?)/(£,?)d£d?.
Для функции и(х, г), определенной выражением (11) можно получить следующие соотношения:
1 , 1 0 шх (0, г) = -/(0)Т--— т'(?)<? +1 Ьх (0,0; ? - г )т '(?)й? +| О- (0, г; Т )и(£, Т ^ +
•г (?- г)/' -г -I (13)
+ / х (0, г),
Т , Т
(0, г) = -/ '(0)[--т ' (?)d? + | Ьхх (0,0,?-г )т ' (?)d? +
г(?- г)/з ' (14)
+ | О- (0, г;£, Т )и(£,Т )d£ + /2 хх (0, г),
Л'Л' 1
-I
?
где Ь(х,0; ? - г) = I Ж,- (х,0; z - г)dz, /2 (х, г) = -Ц О- (х, г;?)/(£, ?)^<Л? .
г В
В результате получаем, что
0
0
T , T
nv(t) = -f (0) Г-— г ' {rf)dV + J Lx (0,0, r -t )г ' {rj)dV +
J(r-t)I3 J x (15)
+ J G- (0, f,4,T )u£, T )d£ + f2 x (0, t),
t 1 t t 1 f' (0)Ь-^ г'(r)dr - J г'(r)Nxx (0,0; t - rj)dn + f (0) J --— к '(r)dr -
о (t -r)/s 0 о (t -r)13
0 у - '// 0
i /
f к' (r)^x (0,0, t - r)dr + J G; (0, t>(£,0)d£ + fta (0, t) = -f '(0) f —^ г' (n)dn + (16) J J Jt (r- t)/s
00
T
+ JLxx (0,0;n - t)r'(r)dr + JG- (0, t;£,T>(£,T)d£ + f2„ (0, t).
t -/
К полученным соотношением необходимо добавить следующие
уравнения:
t t rnx (/, t) = J G^+^x (Z, t; 0, n)r(n)dn-J G^ (Z, t,0,V)v(V)dV +
0 0
/
+ J Gx+ (/, t; £ 0M£,Q)d£ - JJ Gx+ (/, t; n)f (£, nddn
(17)
D+
T 0
^ (-Z, t) = J G£ (-Z, ^0,п)гГГ + J Gx - (-Z, T)u(£, T)d£
x
-Z
-JJ Gx - (-/, t£,n)f £,n)d£dn,
(18)
x
D_
Таким образом, вопрос существования решения задачи (1), (2), (3) эквивалентно редуцирован к разрешимости системы интегральных уравнений (13), (l6), (17), (18).
Использованные источники:
1. Кумышев Р.М., Шокуев Р.А., Шокаров А.А. Ннелокальные краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего прядка.//Апробация. 2015. № 6 (33). С. 9-12.
2. Кумышев Р.М. //Ооб одной нелокальной задаче для нагруженного параболического уравнения с континуальными производными в граничных условиях. //Science Time. 2015. № 5 (17). С. 239-245.
3. Жабоев Ж.Ж., Кумышев Р.М., Кулиев Р.С. неклассическая внутренне-краевая задача для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Современные проблемы науки и образования. - 2015. -№ 2;
4. Кумышев Р.М., Маршенова Р.М., Тхашугоева О. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.
5. Кумышев Р.М., Пантелеева М. О разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка со знакопеременным коэффициентом. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.
6. Кумышев Р.М., Шомахова А.Ж., Ажахова Л.С. Краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.
7. Кумышев Р.М., Пантелеева М. О разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка со знакопеременным коэффициентом.// //ФЭн-наука. 2015. № 12 (51). С. 6-8.
УДК 517.956
Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедры ду
Пантелеева М.В. студент ФФ 2 курс ФГБОУВПО «Кабардино-балкарский государственный
университет им. Х.м. бербекова»
КБР, г. Нальчик
О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМ
КОЭФФИЦИЕНТОМ Аннотация: доказана однозначная разрешимость краевой задачи для одного неоднородного смешанно-параболического уравнения второго порядка с двумя перпендикулярными линиями изменения знака и коэффициента при временной производной в ограниченной области..
Ключевые слова: смешанно-параболическое уравнение, оператор дробного интегрирования, линия изменения типа, интегральное уравнение Фредгольма ,сингулярное уравнение нормального типа.
Пусть область Q = {(x, t): -l < x < l, - T < t < T; l,T - const}
и Lu = uxx - sign(xt)u = f (x, t). (1)
Очевидно, что (1) - смешанно-параболическое уравнение в Q с двумя перпендикулярными линиями изменения знака и коэффициента при временной производной . Нетрудно заметить, что оно будет уравнением с прямым ходом времени при xt > 0 и с обратным ходом времени при xt > 0 . Задачи подобного плана рассмотрены в работах [1]-[7].
Для уравнения (1) в области Q рассмотрим следующие задачи: Задача 1
Требуется найти функцию u(x, t) со следующими свойствами:
1) u(x, t )е c(q) П С1 (Q);
2) u(x, t) - регулярное решение уравнения (1) в Q \ {x = 0 U t = 0};
3) u(x, t) - удовлетворяет начальным
u(x, T) = (pT (x), u(x,-T) = <p_T (x), -1 < x < 0 (2)
и граничным условиям u(-1,t) = (t), u(l,t)=^l(t), - T < t < T,
(3)
