О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Кумышев Р.М., Шомахова А.Ж., Ажахова Л.С. Краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.

7. Кумышев Р.М., Пантелеева М. О разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка со знакопеременным коэффициентом.// //ФЭн-наука. 2015. № 12 (51). С. 6-8.

УДК 517.956

Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедры ду

Пантелеева М.В. студент ФФ 2 курс ФГБОУВПО «Кабардино-балкарский государственный

университет им. Х.м. бербекова»

КБР, г. Нальчик

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМ

КОЭФФИЦИЕНТОМ Аннотация: доказана однозначная разрешимость краевой задачи для одного неоднородного смешанно-параболического уравнения второго порядка с двумя перпендикулярными линиями изменения знака и коэффициента при временной производной в ограниченной области..

Ключевые слова: смешанно-параболическое уравнение, оператор дробного интегрирования, линия изменения типа, интегральное уравнение Фредгольма ,сингулярное уравнение нормального типа.

Пусть область Q = {(x, t): -l < x < l, - T < t < T; l,T - const}

и Lu = uxx - sign(xt)ut = f (x, t). (1)

Очевидно, что (1) - смешанно-параболическое уравнение в Q с двумя перпендикулярными линиями изменения знака и коэффициента при временной производной . Нетрудно заметить, что оно будет уравнением с прямым ходом времени при xt > 0 и с обратным ходом времени при xt > 0 . Задачи подобного плана рассмотрены в работах [1]-[7].

Для уравнения (1) в области Q рассмотрим следующие задачи: Задача 1

Требуется найти функцию u(x, t) со следующими свойствами:

1) u(x, t)e c(Q) П С1 (Q);

2) u(x, t) - регулярное решение уравнения (1) в Q \ {x = 0 U t = 0};

3) u(x, t) - удовлетворяет начальным

u(x, T) = (pT (x), u(x,-T) = (p_T (x), -1 < x < 0 (2)

и граничным условиям u(-1, t) = (t), u(l, t) = щ (t), - T < t < T,

(3)

где /(х,г), рт(х),р_г(х), \\(г), \(г) - заданные достаточно гладкие функции, причем (рт (-/) = \_1 (Т), (р_т (-/) = \_1 (Т). Задача 2:

Требуется найти функцию и(х, г) со следующими свойствами:

1) и(х, г )е С(О) П С1 (О);

2) и(х, г) - регулярное решение уравнения (1) в О \ {х = 0 и г = 0};

3) и(х, г) - удовлетворяет начальным

и(х, Т) = арт (х), и(х,-Т) = у3(р_т (х), -/ < х < 0 (4)

и граничным условиям и(- /, г) = и(/, г), их (/, г) = 0, - Т < г < Т., (5) Более подробно изучим первую задачу. Задача 3:

Требуется найти функцию и(х, г) со следующими свойствами:

1) и(х, г )е С(О) П С1 (О);

2) и(х, г) - регулярное решение уравнения (1) в О \ {х = 0 и г = 0};

3) и(х, г) - удовлетворяет начальным

и(х, Т) = а(х)рт (х), и(х,-Т) = У(х)р (х), - / < х < 0 (6)

и граничным условиям и(- /, г)=м(/, г), их (/, г)=м(/, г), - Т < г < Т.,

(7

Более подробно изучим первую задачу.

Обозначим О+ = О П {х > 0, г > 0} и О+ = О П {х < 0, г < 0} - области прямой параболичности уравнения (1), а О-=О П {х < 0, г > 0}, О- = О П {х > 0, г < 0} - области обратной параболичности уравнения (1).

Используя свойства функции и(х, г), из уравнения (1) для распределения функции и(х,0) = г(х), получаем нагруженное дифференциальное уравнение

г"(х) = / (х,0),

в силу чего и граничных условий, можно определить значение г(х). Изучая в областях О+ и О- для уравнения (1), соответственно задачи и(х,0)=т(х), 0 < х < /, и(/, г)= \ (г), 0 < г < Т и и(х,Т )= р(х), - / < х < 0, и(- /, г )=\(г), 0 < г < Т

и переходя в полученных решениях к пределу при х ^ 0 +, соответственно, получаем соотношение, связывающее их (0, г) и и(0, г):

-Г \тЩи, (0,^ //^и^,^ = 0 (г -^)1/2 5 4 ж г г)1/2 5

= "Т 1К%2и(0,^ + + /(г), (8)

i

Где 5! (t,r) = e t-r -1+ J

e 4(t-i) - e 4(t-r)

,2 Л

52 (i, t) = 1- e i-t + J

2

0

r-t

' 42

l

_ (4+2l)

e 4(i-t) - e 4(t-i)

2

Ki (t ,r) = l (t -r)-1 e_t-i

аЩ

? (4-21) e 4(t-r) - e 4(t-r)

,2 Л

d4

f ir2

K2 (r,t) = l(r-1)-1 e i-t +a(r)J

-i

-(4+2l) e 4(r-t) - e 4(t-r)

У

2

d4,

а /(^) - функция, зависящая от заданных граничных и начальных

условий задачи. После элементарных преобразований последнее уравнение окончательно принимает вид:

-ux (0, t) + - J

1 г(гЛ2 ux(0,r)

i -1

Ж 0 V t

di + J K (t ,r)ux (0,i)di = D+ F (t), (9)

где

K (t ,i) =

Jz 2(1-z)-2 d«0(z(t-i)+i,i)dz +

r(1/2)-

+

1 d_ r(1/2) dt

1

r(1/2) dt

r/1 1

J

z 2 n

i,

V

r — zt 1-z

dz при r < t,

<» 1

J

r/f

z 2 n

' r-ztЛ

г-л—

1-z

V

dz при r > t.

Нетрудно показать , что индекс ^ уравнения (9) в классе уравнений, ограниченных при t = 0 и t = T, равен "0". Тогда это уравнение эквивалентно в смысле разрешимости уравнению Фредгольма относительно функции ux (0, t). Определив из него искомую функцию, и используя след при x ^ 0 + решения u(x, t) в области задачи

u(x,0)=r(x), 0 < x < l, u(l, t)=^(t), 0 < t < T

для уравнения (1), получить для нахождения функции u(x, t) интегральное уравнение Вольтерра второго рода. Аналогично доказывается существование и других задач.

Использованные источники: 1. Сабанчиева А.А., Кумышев Р.М., Сурамова Ж.Х. О разрешимости нелокальных краевых задач для уравнения теплопроводности//

2

l

l

0

l

0

2

l

0

T

0

0

В сборнике: инновационное развитие современной науки сборник статей международной научно-практической конференции. Ответственный редактор: Сукиасян А.А.. 2015. С. 11-14.

2. Кумышев Р.М. О разрешимости краевой задачи для нагруженного смешанно-параболического уравнения. //Российская наука в современном мире Сборник статей международной научно-практической конференции. Ответственный редактор: Соловьев В.Б.. 2015. С. 197-200.

3. Битова А.А., Кумышев Р.М. О нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения параболического типа.//_ В сборнике: инновационное развитие современной науки Сборник статей Международной научно-практической конференции. Ответственный редактор: Сукиасян А.А.. 2015. С. 3-5.

4. Кумышев Р.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа с меняющимся направлением времени в параболической части.//Международный научно-практический журнал «Теория и практика современной науки». Выпуск № 5(5) (НОЯБРЬ, 2015).

5. Кумышев Р.М. О разрешимости краевой задачи для нагруженного уравнения смешанного типа // Наука. Мысль. - 2015. - № 8; Кумышев Р.М., Маршенова Р.М., Тхашугоева О. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.

6. Кумышев Р.М., Пантелеева М. О разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка со знакопеременным коэффициентом.//ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.

7. Кумышев Р.М., Шомахова А.Ж., Ажахова Л.С. Краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.

УДК 517.956

Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедры ДУ ФГБОУВПО «Кабардино-Балкарский государственный

университет им. Х.М. Бербекова» Россия, КБР, г. Нальчик О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С

ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Аннотация: доказана однозначная разрешимость краевой задачи для одного уравнения в дробных производных третьего порядка. Методом Фурье доказывается существование и единственность. Ключевые слова: оператор дробного интегродифференцирования, задача Штурма-Лиувилля, метод вариации произвольной постоянной.