О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

В сборнике: инновационное развитие современной науки сборник статей международной научно-практической конференции. Ответственный редактор: Сукиасян А.А.. 2015. С. 11-14.

2. Кумышев Р.М. О разрешимости краевой задачи для нагруженного смешанно-параболического уравнения. //Российская наука в современном мире Сборник статей международной научно-практической конференции. Ответственный редактор: Соловьев В.Б.. 2015. С. 197-200.

3. Битова А.А., Кумышев Р.М. О нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения параболического типа.//_ В сборнике: инновационное развитие современной науки Сборник статей Международной научно-практической конференции. Ответственный редактор: Сукиасян А.А.. 2015. С. 3-5.

4. Кумышев Р.М. Краевая задача для уравнения смешанного типа с меняющимся направлением времени в параболической части.//Международный научно-практический журнал «Теория и практика современной науки». Выпуск № 5(5) (НОЯБРЬ, 2015).

5. Кумышев Р.М. О разрешимости краевой задачи для нагруженного уравнения смешанного типа // Наука. Мысль. - 2015. - № 8; Кумышев Р.М., Маршенова Р.М., Тхашугоева О. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения третьего порядка. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.

6. Кумышев Р.М., Пантелеева М. О разрешимости краевой задачи для уравнения третьего порядка со знакопеременным коэффициентом.//ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.

7. Кумышев Р.М., Шомахова А.Ж., Ажахова Л.С. Краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа. //ФЭн-наука. 2015. № 11 (50). С. 6-8.

УДК 517.956

Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедры ДУ ФГБОУВПО «Кабардино-Балкарский государственный

университет им. Х.М. Бербекова» Россия, КБР, г. Нальчик О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С

ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Аннотация: доказана однозначная разрешимость краевой задачи для одного уравнения в дробных производных третьего порядка. Методом Фурье доказывается существование и единственность. Ключевые слова: оператор дробного интегродифференцирования, задача Штурма-Лиувилля, метод вариации произвольной постоянной.

При решении многих задач, возникающих при математическом моделировании различных физических, химических и биологических процессов в средах с фрактальной структурой широко используются элементы дробного исчисления [1]. Особенно широкое применение это нашло в нелокальных и внутреннекраевых задачх[2]-[6].

Оператор , который действует на функцию <р(1) по формуле:

sign(х - а) х ((?

Daaxç(t) H

, a < 0

J (у- i\a+1

Г(-а) a (x -1)a p(x), a = 0 (1)

Я [a]+1

sign(x - a)^T Da-la]-1, a > 0,

г

где символ 8щт определяется равенствами sign0 = 0, signz =— (2 ^ 0)

121

называется оператором дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифференцирования порядка а с началом в точке а.

д

Рассмотрим уравнение: = — ихх + и( х, ?) (2)

д?

с начальным и(х,0) = ((х), 0 < х < I,

(3)

ux (0, t) - u(0, t) = 0, 0 < x < l,

и граничными условиями (4)

(l,t) -u(l,t) = 0, 0 < t < T.

Решение ищем в виде произведения: u(x,t)=X(x)T(t) (5)

Подставляя (5) в (2) получим:

РрУ (t ) - T (t ) X"(x) . _

-= —— = -Я (6)

T\t ) X ( x)

X"(x)-AX(x)=0, (7)

DltT (t ) + ЯТ '(t ) - T (t ) = 0. (8)

Граничные условия (4) дают: X(0)=X(x), X(l)=X(l). (9) Отыскание функции X(x) приводит нас к задаче Штурма - Лиувилля

X"(x)+AX(x)=0, X(0)=X(x), X(l)=X(l).

1. При Я< 0, X(x) = cе4Zïx + с2е~4Zlx (10)

и нетрудно проверить, что X(x)=0.

2. При Я=0 имеем X(x)=c¡x+ c2 (11)

с = сп [с = 0

12 ^ Г 0 ^ X(x) - 0.

С = C1l + С2 {С 2 = 0

3. При Я>0 общее решение выглядит следующим образом: X(x) = С CQsVXx + с2 sin *Jàx . (12)

Собственным значениям X Хп (x) = c

г л2

' 7т л

l

соответствуют собственные функции

V l J

í7П 7т . 7П ^

— cos—x + sin — x l l l

V

J

7т 7т 7т

Положив с2=1, получим: Хи(x) = — cos—x + sin—x,

XT*(t) + D0tT(t) - T(t) = 0

Xt\t) - t (t) = - D0,tT (t).

(12') (13)

Решим дифференциальное уравнение (12') в предположении, что правая часть - Д^Т(г) является известной функцией. Решение ищется методом

вариации постоянной.

Решение однородного уравнения ХТ'(1)-Т@)=0 имеет вид:

Т (г) = ев' Х.

Подставляя функцию Т*(г) = е(гв (13) получим:

к

V

V 1 V c\t )ey х + — c(t )e7 X X

c(t e x=-diT (t),

J

1 t /

1 r - s/

c(t) = - - J e /XDIT(s)ds + c.

(14)

t

t/ 1 r - s/

Подставим (14) в (13) T(t) = ce/x — Je /xD0sT(s)ds. (15)

XJ ,

0

Мы пришли к интегральному уравнению (15) относительно Т^). Воспользуемся следующим свойствами оператора дробного дифференцирования ё [д^-1 и(0, б)] = и(0, б). С учетом последнего, (15) имеет вид:

T(t) = ce^X - - Je~sXdDPT(s)]ds. (15')

К интегралу в правой части (15') применим метод интегрирования по частям:

Je-S/x\D«--T ф = e DtfT (s)\[ + -Je ~sXD0a-1T (s)ds =

/ 1 t / = e " ^D^T (s) + - J e " 7xd£t (s)ds.

X 0

0

1 Г -s/ _i

Рассмотрим интеграл — I e D«s T(s)ds, где

/ J '

0

1 5 Т (л)

да-1т(5) = \(-а йЛ - оператор дробного

1 (1 а) 0 — Л) дифференцирования порядка а-1.

I}.-^=К1—а)Л*} (1б)

Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле в правой части

(16)

' -s/ 1 ' ' _s/ 1

Ie-/¿D^T(s)ds = —--1T(?)d?Je"Я-- ds. (16')

0 r(1 -a)0 o (s -q)«

Во внутреннем интеграле в правой части (16') сделаем замену:

s = t(q-1)u, ds = (q-1)du,

fe " V ds = fe "+('-t )U (t -q)du = L "t+('-t )u (t -q)1-« (1 - u )« du. 0 (s o [t + (q-1)u -q]« o

t „/ i t

ya-

о 0'S V ' r(l -a)o l

t W 1 * Таким образом, |e sxDaslT(s)ds =-1T(q)K(t,q)dq,

где K (t,q) = | e -r+(q-t)u (t-q)1-a(1 - u)a du.

o

А уравнение (15') учётом замечаний сводится к следующему:

T(t) = 1 e ——1 - j"-^ dq + 1 |T(q)K(t,q)dq. ( 17) Я T (1 -a)J0(t -q) ЯГ(1 -a)g

Таким образом, для определения функции T(t) мы получим

интегральное уравнение Вольтера 2-го

'/ 1 г

T (t) = ce +-f T (q)

¿T (1 -a) |

эода:

-t/

ce

K (t ,?)

(t Г

dr¡, (18)

1

где К(?,л) = }е—+(л-г)и(? — л)1-а(1 — и)айи - ядро.

0

Уравнение (17) всегда разрешимо. Следовательно, обе функции Х(х) и определяемы. Для определения постоянной с остаётся использовать начальное условие:

u( x,0) = 0, u( x, t) = £ CnTn (t)

^m m . m л — cos—x + sin — x

n=1 V l l l J

Использованные источники:

1. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение.Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. - 299 с.

2. Кумышев Р.М., Битова А.А. Краевая задача для дифференциального уравнения дробного порядка с отклоняющимся аргументом. //Приволжский научный вестник. 2015. № 5-1 (45). С. 9-12.

3. Кумышев Р.М. //ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С КОНТИНУАЛЬНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ. //Science Time. 2015. № 5 (17). С. 239-245.

4. Кумышев Р.М., Шокуев Р.А., Шокаров А.А. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЧАСТИ. // ВЫСШАЯ ШКОЛА. 2015. № 9. С. 90-93.

5. Кумышев Р.М., Шокуев Р.А., Шокаров А.А. ОБ ОДНОЙ АПРИОРНОЙ ОЦЕНКЕ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА. //ВЫСШАЯ ШКОЛА. 2015. № 9. С. 94-96.

6. Кумышев Р.М. О разрешимости системы уравнений дробного порядка. //Международный научно-практический журнал «Теория и практика современной науки». Выпуск № 5(5) (НОЯБРЬ, 2015).

УДК 330.43

Кунашева Д.В. студент 3 курса факультета «Учет и аудит» Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации

Эрендженова С.В. студент 3 курса факультета «Учет и аудит» Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации Научный руководитель: Айбазова С.Х., к.э.н.

старший преподаватель кафедра «Системный анализ и моделирование экономических процессов» Финансовый Университет при Правительстве Российской Федерации

Россия, Москва

ОЦЕНКА ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩЕЙ ВЛИЯНИЕ ФАКТОРОВ НА ФОРМИРОВАНИЕ ВАЛЮТНОГО КУРСА

Статья посвящена анализу зависимости курса доллара США к рублю от влияния определенных факторов. В качестве таких факторов выбраны: