CC BY
21
I
SCIENCE TIME
I
О РАЗРЕШИМОСТИ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРАМИ КОНТИНУАЛЬНОГО ПОРЯДКА В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Кумышев Радион Музаринович, Шокуев Рафаэль Артурович, Шокаров Али Анатольевич, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, г. Нальчик * •
E-mail:[email protected]
Аннотация. Исследована нелокальная задача для нагруженного
• параболического уравнения второго порядка с континуальными производными в граничных условиях. Задача редуцирована к разрешимости интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода.
Ключевые слова: нагруженное уравнение, континуальная
производная, система интегральных уравнений, производная дробного порядка.
В настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к исследованию краевых задач с операторами дробного и континуального порядка [1, 2]. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного и континуального интегро-дифференцирования при описании широкого класса физических и химических процессов [3]. Данная работа является обобщением работы [4].
Рассмотрим в области
уравнение
ЗАДАЧА. Найти регулярное в П решение u = u(_x,t) уравнения (1) из класса С(П) П C1(fiUx = 0Ux = O1^ С2(П) с начальным условием
и(х,0) = <р(х),0 < х < I (2) и граничными условиями:
197
-о
= ац(хдМ(и) + alz(x,t)u(U),0 < t < Г; (3)
£>^2 ^]4v(U) = a21(x,t)u(0,t) + azzCr,t)u(U),0 ^ t < Г, (4) где и — континуальные производные порядка
[cc2ji/?2 ] соответственно, (для данной задачи является верным) [1],
О < plffi2 < 1; at < /?i; </>(;*;), a12C^t), a21(x,t)^ а22(ж, t) — достаточно
гладкие заданные функции, Xi — const; 0 <x1<x1 < ■■■ < xt < l.
Как известно [2], интегральное представление решения уравнения (1) с использованием фундаментального решения уравнения теплопроводности можно представить в виде:
о
;,х-1
О
+Я0£
V.
I t
141
i=l 0 0
Г(х, t; f,7] )u(Ji, 7]) d^dT] + F (x, t), (5)
где F(x, t) = - J* T(_xf t; f,7/)u($if i/) dfd?/ , операторы
ДоГ/*0?) и
действуют следующим образом:
В (5) устремим х к xk (к = 1 ,п) соответственно, тогда имеем:
о
198
о
SCIENCE TIME
t i
u{xki t) + Afc J j T(xk,t, 7]Щ
u{$k,T])dTi = ^-R**ku{$,T))
Равенства (8) в предположение известности ее правой части можно рассматривать как систему интегральных уравнений Вольтерра относительно неизвестных функций u{xklt),k = 1,п, которую можно путем последовательного исключения неизвестных свести к системе интегральных уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим краевые условия (3) и (4). Считая правую часть этих соотношений известной, согласно [4], имеем:
^(0,0 = Doj*1'Pl][a11(x,t)u(0,t) + a12ix,t)u(l,t) + 1^(0], (9) ux(l,t) = D~la^][a21(xft)u(§fi) + a22(x,t)u(lft) +^2(t)] (10)
или, используя свойства данных операторов
199
а
-о
о
где £± —
- функция типа Миттаг-Леффлера [1].
Пользуясь определением свертки
АО *А0 = }*f(t - s)g(s)ds , преобразуем (11) и (12):
Нетрудно проверить, что
ХЕ° ! ((tj — s)^1 а±; p1)u(0,s)ds
о
Х£° ± ((77— s)^1 fii'juQ, s)ds.
Pi-ai
Меняя порядок интегрирования, и, сделав замену переменной
о
200
-о
т] = s + (t — s)z во внутреннем интеграле в (13), получим:
о
Аналогичными рассуждениями доказывается справедливость равенств:
- s)P2~2u(0,s)ds
DJu
о t
X
/■
J a21(z(t-s))
Df‘u =
(z^~a* (t - s) ^~a*; /?z )z^'-1 (1 - z}- 2 dz, (14) - s)P±~2u(0fs)ds
()
/'
11
(z(t-s)) X
(z^1 a±(t —s)^1 ffl; 1(1 — z) zdz,(15)
Q
201
о
о
Согласно [2], функция и = и(_х, t) удовлетворяет нелокальным условиям:
о
Таким образом, задача (1)-(3) эквивалентна в смысле разрешимости системе интегральных уравнений (17). Более сложным предполагается случай, когда уравнение (1) принимает вид:
В этом случае для получения интегрального представления решения используется функция Грина для уравнения дробной диффузии.
202
о
Щ SCIENCE TIME Щ
Литература:
1. Нахушев A.M. Некоторые факты из теории краевых задач со смещением. -Нальчик: Из-во КБНЦ РАН, 2005 г. - 63 с.
2. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.:Наука, 1981-448 с.
3. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение.Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. - 299 с.
4. Кумышев Р.М. Об одной нелокальной задаче для нагруженного параболического уравнения с континуальными производными в граничных условиях // Science Time. - 2015.—№ 5 (17).—С.239-245.
о
о
203
