Смешаннная задача для нагруженного уравнения Геллерстедта с оператором М. Сайго в краевом условии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК. 517. 956 О.А. Репин

СМЕШАНННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЛЕРСТЕДТА С ОПЕРАТОРОМ М.САЙГО В КРАЕВОМ УСЛОВИИ

Целью работы является доказательство существования единственного решения нелокальной задачи для нагруженного уравнения Геллерстедта. Краевое условие исследуемой задачи содержит линейную комбинацию обобщенных операторов дробного интегро-дифференцирования от следа искомой функции и ее нормальной производной на линии вырождения уравнения. Проблема разрешимости поставленной смешанной задачи с помощью преобразования Меллина эквивалентно сводится к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода.

Пусть D - конечная область евклидовой плоскости независимых переменных х и у, ограниченная характеристиками AC : £ = 0, BC : г/ = 1, где

2 m+2 2 m+2

£ = *-----г (- у h = x + 7---2) (“ у )_r > (1)

m + 2 (m + 2)

оператора

L(u) = uyy -(-y)mum = const > 0

и отрезком AB : 0 < x < 1 прямой у=0.

В области D рассмотрим линейное нагруженное интегро-дифференциальное уравнение Г еллерстедта

L(u)- /j(i 0‘+b’cu( t,0)) (x) = f (x, y), m = const. (2)

Здесь (l“;b,c f )(x) - обобщенный оператор дробного интегро-дифференцирования с гипер-геометрической функцией Гаусса F (a, ß;g; z), введенный в [l] (см. также [ 2] и [ 3]).

¥' (a)n (b)nzn.

2

-a-b x

(g)nn!

t

/ \ г~а~ь Х ( t Л

(I0а+Ь,с ) = —(-у | (г - t)а-1FI а + Ь,-е; а;1 — I/(t)#, (0 < х < 1, а > 0, Ь, Л е С);

1 (а у о V Х 0

(/0-+ь’с/|0 (/оа++ ^ Г)х), (0 < г < 1, а < О, Ь, с е С, п = [-«] + !

В дальнейшем через I будем обозначать единичный интервал (0,1), а через О - замыкание Б. Отметим, что с исследованием задач оптимального управления агроэкосистемой и логическом законе изменения вязкоупругих свойств полимера за последние годы вновь повысился интерес к нагруженным уравнениям [ 4 — 9]. В [10 — 12] дано (общее) определение нагруженных интегральных, функциональных и дифференциальных уравнений. Приведем это определение. Определение. Заданное в п- мерной области Б евклидова пространства точек

2 = (хр Х2, ..., Хп) уравнение Ь(о) = /(2) называется нагруженным, если оно содержит некоторые операции от следа искомого решения о = о(2) на принадлежащих замыканию О многообразиях размерности меньше п.

Заметим, что в [13 — 15] для уравнения (2) рассматривались задачи Гурса, Дарбу и задача А с краевым условием, включающим оператор (l0+b,c f )(х).

Настоящая работа продолжает эти исследования.

Ниже под регулярным решением уравнения (2) в области D будем понимать функцию u(х, у) е С2(D) и удовлетворяющую уравнению (2) в области D.

Задача А^смешанная задача). Найти регулярное в области D решение уравнения (2) из класса C(D) о C'(D ^ I), удовлетворяющее краевым условиям

uLC = j(n\ пе 1; (3)

a(i u( t,0)) (x) + b(i 0yb2,c Uy (t,0)) (x) = c(l a+,b3,>) (x), е I, (4)

где А,В, С - действительные числа, В Ф 0.

Будем предполагать, что

f (х,у) е С'(D)o С3(D), j,),y(>)е C'(I)оC2(I).

Пусть, как и принято, введены обозначения

т(х) = lim u( х, у) , v(x) = lim u ( х, у) .

V ’ у ®0—0 v ’ у®0—0 yv

Уравнение (2) и краевые условия (3), (4) в характеристических координатах (1) принимают

вид

ß_

n—x

4P

[m(i a+b,cr)(x)+F (x,h]

(6)

P = -^, 0<P<i;

2m + 4 2

V

X = 0

= j,), , е I;

(i 0+-^ t) (x)+b(i 0+v) (x) = c(i a+,b3,c1 y)(x) .

V (x,h = u

x+n In —x

1—2P

2 ' ^2 — 4P Имеет место следующее утверждение.

4P

f

X+, Im+2

(7)

(8)

1—2P

(— xX

—2P

Т е о р е м а. Пусть при m>0

2—m

а > 0, b <-----, с < 1 — а;

2+m

(9)

а2,а3 > 0, а1 > а2,а 3> а2, Ь1 -Ь2 + 2Ь > 0, с1 + а2 + 2Ь > 0, Ь3 -Ь2 + 2Ь > 0 (10)

2 - т

-1 < а < 0, Ь < с <-----, если 0 < т < 2.

2 + т

Тогда задача А1 всегда разрешима и притом единственным образом.

Доказательство. Предположим существование решения задачи Дарбу

\n~X?P(, — V,.lU =—(^f у(х). xе1,

= jh), n е i

V

x=0

(11)

(12)

для уравнения (2) в области А = {(X, л) : 0 < X < Л < 1}, являющейся образом области О при преобразованиях (1). Тогда оно удовлетворяет уравнению

и

І п т а,Ь,с () / д \2 Рі

V(і,п) + У^\2І -— І } г(£ )[ )( - І1 )]-в ]

0 її (1 Й) ^т 0 0

-І

<р

'(п) + в

?1 (П)

ї П

Н(кії,) + УоІ^| Н(І1,П1,її,)

0 І1 (1 Ь1)

у =-А ( - АВ)Ь У =_^__

У0 4 р ’ у д(2ь)д(1 - р)

и(^1,^1,^) - функция Грина - Адамара задачи (11) - (12) для оператора ЕV, определяемая формулой [16]

(П - х Ь (П - 1 )-РР(рЛ - Р'Х —), П ^ 1 г{гі1 - 1 ТР(-Х1 )-Р(п-п )-Рр{р’ р;2р;—1 п < 1

где

Н(1,П1’Х’П) =

_ = (х - Х1 Ъ - Л)

1 (^1 - 1 )(>^)'

Применив к обеим частям (8) оператор (10+а2’ Ь2’а2 + 1 /) (х) и воспользовавшись формулой

[1]-[з]

(10а+ь,7(1 >)) (х )=каа:м/Хх )к > 0),

определим функцию Щ:

/^ч ^ і тал -а2,Ь -Ъ2’а2 + С

ПІ) = -В\70+ 2 2

‘г) |) + С (/0а+ -а2’Ь3-Ь2’а2 + /) (X),

(14)

Подставляя (14) в (1з), после перехода в полученном выражении к пределу при г/ ®Х, 0< X <1, получим интегральное уравнение относительно функции т(х):

,(х)+г I (еф + г

г|)+Гп!(х-t)4b-' +к121 (х-t)2b

= г (І

(15)

где

Ун = УУ0М1 - р1- 2р)’ У12 = - ^ (—+т! ’

е 2 ^ т + 2 0

1 (Г а3 -а2 ’Ь3 -Ь2 ,а2+с1)//■ |Ж, ІГ /л(,)

г(Х)=У.з+ гГРІ *'(,)+ рРУ-

0 (| *) 0ё * -

+ У0У І(х - *)Р ЖІР (5)( - *\2Р ( - 5 )Р ^

, 2р(|- , )-РЖ +

(16)

у13 =

С у( 4

В 2 I т + 2

2Р

В работе [14] был рассмотрен оператор

Т((х)) = |(х -,у-рС-г),.

Доказано, что если а > 0, Ь <

2 - т 2+т

с < 1 - а при т > 0 , то справедливо следующее пред-

ставление:

где

а =

Т(т(|)) = |51 4р Ь К(а)т(5)й?5,

0

Х, К (г) = д(2—4Р) . (а -1)1++а - 4рр (а + Ь, а + с; 2 + а - 4Р;1 - ст).

5 У ; д(2 + -4рУ и У ’

(17)

[0, 7 < 0.

Если же -1 < а < 0, Ь < с < 1 - 4р при 0 < т < 2, то

0

0

і X

T(т(Х)) = — f s1-4ß-b k(<r)r(s)ds. a {

Для получения формул (17), (18) была использована методика вычисления интегралов с помощью преобразования Меллина, разработанная в [17].

Аналогично исследованию оператора Т (т(х)) рассмотрим оператор

(-(X))=і

(X-1)

2ß

который после смены порядков интегрирования представим в виде

X X -2Ь

iS ъ

Ті Ш) = Г---Ч і r(s)!sj (X -1)) t“2 +b-ai-b1 (t - s)“1-“2-1

Г(1 - “2 И s

xFI а1 + b1 -a2 -b2, -a2 -c1;а1 -а2;1 — Idt.

Известное свойство [18]

Р (а, Р;у; 7) = (1 - г)-а Р ^а,у-Р;у; —^ ^

гипергеометрической функции Гаусса дает право записать

1 І І -2в

Т1 (т(і)) = г( ) | Ф) +Ь1 ( - ,) (, - 5)а--“2-1

1 ^а! а2) 0

S - t

х Р|^а1 + Ь1 - а2 - Ь2, а1 + с1; а1 - а2;----

X

Произведя во внутреннем интеграле замену ґ = X 7, — = —, получим

ї 1 -2 в

Т1 (т(ї)) = Г---------)| ^1-2в^ Ь 1(1 - 2) (о7 - 1)а1-а2-1

Г (а 1 - а2) 1

а

х Р(а1 + Ь1 - а2 - Ь2, а1 + с1; а1 - а22;1 - 02)7 =

i 1 ^

------, f s b2-Ьі-2ß r(s)ds(a)1-2ß f (1 - z) (z - і)аі-а2-1

1 - a2 jJ0 1

х Р(а1 + Ь1 - а2 - Ь2, а1 + с11; а1 - а2;1 - ах).

Для вычисления внутреннего интеграла введем в рассмотрение функцию

к1 (ст)=&1-2Ь ¥ /1 Ыл

где

f1 (s) = (sz - 1)+ “1-“2-1 F (а1 + Ь1 - а2 - Ь2 ’ а1 + ^ а1 - а21 - SX /2 (z) = (1 - z }

-2ß

Для нахождения К1(—) воспользуемся преобразованием Меллина [17]:

¥

/(х) « / * (5) = І /(х)х5-1іх.

0

Учитывая формулу [ 2]

¥

Xа І,Р /1 (хґ)/2 « /1* (5 + а/2* (1 - 5 - а + р),

имеем

< (s ) = /1* (s +1 - 2ß) /2* (2ß- s).

Теперь, применяя последовательно формулы [17]

/ \c_i / \ Г1 + а - c - s, 1 + b - c - s

(x -1)+ F(ü,b;c;1 - x)« Г(с)Г

[1 - s, 1+а+b-c-s

(Re > 0, Re s < 1 + Re( - c); 1 + Re(b - c));

(19)

(20)

x

x

0

0

(1 - х )+-1 « Г (с)Г

S

s + с

(Re c > 0, Re s > 0),

находим

K1* (s) = Г ( - a2 )Г (1 - 2ß)

b1 - b2 + 2ß - s, c1 + a2 + 2ß - s

1 - s, a1 + c1 + b1 - b2 + 2ß - s

Откуда, опираясь на (19), получим

Тогда

К'М= ГС/а!'-2ß)-2ß)^' -a"Sß «

x F(a1 + b1 - a2 - b2, a1 + c1; 1 + a1 - a2 - 2ß; 1 - er).

x

Т1 (r(x))=j sb2 b1 2ß(ctMsVs-

(22)

(23)

Далее, на основании (10), (19) и (20) можем записать

^ |Та3-а2>Ь3-Ь2>а2+с1 л.г|dt С

т2 (¥(Х)) = } ----)2Ь ^ ^-Ьз-2Ь ж 2 (?)v(s)ds,

0 ( V 0

где К2 (СТ)= Г 2Ь) -я)-1)+а3-а2-2Ь Р (а 3 + Ь3 - а 2 - Ь2 ’ а 3 + с1;+ а 3 - а 2 ■

1 (1 + а3 - а2 -2р)

Учитывая условия (5), соотношения (16) и (22), получаем

ё (<?)е С (I) п С 2(1).

Принимая во внимание (17) - (21) заключаем, что уравнение (15) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, которое однозначно и безусловно разрешимо в пространстве С(1) и его решение т(!)е С2(1). Таким образом, задача А1 эквивалентно редуцируется к задаче Дарбу для уравнения (2), единственное решение которой было получено в работе [14].

о

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Saigo M. A certain boundary value problem for the Euler -Darboux equation // Math. Japan, 1980. Vol. 25. №2. Р.211 - 220.

2. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987 .668 с.

3. Репин О.А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: Са-рат. гос. ун-т, 1992. 161 с.

4. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 2. С. 230-237.

5. Дженалиев М. Т. Об одной краевой задаче для линейного нагруженного параболического уравнения с нелокальными граничными условиями // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. №10. С. 1825-1827.

6. Нахушев А.М., Кенетова Р.О., К проблеме математического моделирования социально-исторических и этнических процессов. Нальчик: Эль-фа, 1998. 171 с.

7. Нахушев А.М., Тхакахов Р.Б. О континуальных аналогах реологических уравнений состояния и логическом законе изменения вязкоупругих свойств полимера // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. АН. Майкоп: Мео-ты, 1995. Т.1. №2. С. 6-11.

8. Нахушев А.М. Об уравнениях состояния непрерывных одномерных систем и их аналогах в дробном исчислении // Докл. Адыгской (Черкесской) Междунар. АН, 1994. Майкоп: из-во "Меоты". С.22 - 26.

9. Керефов А.А., Кумышев Р.М. О краевых задачах для нагруженного уравнения теплопроводности // Доклады Адыгской (Черкесской) Межд. АН. Майкоп: Меоты, 1996. Т.2. №1. С. 13-15.

10. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. №1. С. 103-108.

11. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференциальные уравнения. 1982. Т.18. №1. С.72 - 81.

12. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19. №1. С.86 - 94.

13. Репин О.А. О задаче Гурса для нагруженного уравнения Геллерстедта // Дифференциальные уравнения и их приложения Тр. 2-ого Междунар. сем. Самара, 1988. С. 133 - 139.

14. Virchenko N.A., Repin O.A. On Darboux problem for the weighed Gellerctedts equation // Докл.: НАН Украины. 1996. №7. С.21 - 25.

15. Репин О.А. О смешанной задаче для вырождающегося нагруженного интегродифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения и их приложения: Тр. 3 -й междунар. конф. Саранск, 1998. С. 161 - 162.

16. Gellerstedt S. Sur une equation lineaire aux derivees partielles de type mixte. // Arciv Mat., Astr. Och Fisik, 1937. 25 A. 29. P. 1 -23.

17. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций. Минск: Наука и техника, 1978. 310 с.

18. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Т1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.