CC BY
20
Лесев В.Н.1, Желдашева А.О.2 ©
1К.ф.-м.н., доцент, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений; ст. преподаватель кафедры дифференциальных уравнений. ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»,
г. Нальчик
ЗАДАЧА ТИПА СТЕКЛОВА ВТОРОГО КЛАССА ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Аннотация
В настоящей работе предлагается решение нелокальной краевой задачи путем редукции к системе интегральных уравнений. Получена система интегральных уравнений Вольтерра II рода с ядрами, содержащими слабые подвижные особенности. Из разрешимости полученной системы интегральных уравнений Вольтерра следует существование и единственность решения поставленной задачи.
Ключевые слова: нагруженное уравнение, задача Стеклова, доказательство разрешимости, система интегральных уравнений.
Keywords: loaded equation, Steklov problem, proof of solvability, system of integral equations.
Введение. В теории уравнений с частными производными значимое место занимают исследования краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Их исследованию посвящено не мало работ (например [1,2,3]).
В последние годы появляется новые работы [4,5,6], где исследованы краевые задачи для нагруженных уравнений основных типов второго и высшего порядков, актуальность и значимость которых можно объяснить широкими возможностями теоретического и прикладного значения.
В настоящей работе методом интегральных уравнений устанавливается разрешимость задачи Стеклова для нагруженного уравнения второго порядка с параболическим оператором в главной части.
Постановка задачи. В односвязной области W = {(x, t) : 0 < x < L,0 < t < T} рассмотрим нагруженное уравнение теплопроводности
Lu ° ut - ux =1u (0, t) + 1ux (0, t) + f (x, t). (1)
Для уравнения (1) исследуется следующая Задача N: Найти регулярное решение уравнения (1) в области W , непрерывное в W и непрерывно дифференцируемое по х в W вплоть до прямых х=0, x = L и удовлетворяющее условиям:
u( x,0) = j( x) (2)
ux (0, t) = a1u(0, t) + a2u (L, t) (3)
ux (L, t) = bu (0, t) + b2u(L, t), (4)
где f (x, t) и j( x)- заданные непрерывные функции, ai, Д - заданные постоянные.
Доказательство разрешимости. Используя дифференциальные и конструктивные свойства функции
- x-XL
4(t -h) _
которая является фундаментальным решением уравнения Фурье, нетрудно доказать справедливость следующей леммы.
G(x, tX,h) = -K= (t - h)-2 exp
24 p
h< t,
© Лесев В.Н., Желдашева А.О., 2016 г.
Лемма. Пусть существует регулярное в О решение и(х, г) уравнения (1), которое непрерывно в О и имеет непрерывную при 0 £ х £ е, 0 < 1 < Т производную по переменной х. Тогда и(х, г) является решением интегрального уравнения:
и(х, г ) = ■
1
2=
I
| (г -л)
4(г-Л)
их (0, л)
X
2 (г -Л)
и(0, л)
ёл +
+
24=
I
| (г -л)
-2 (х-е)
2
4(г-л)
Х - I
и%(е,л) -^и(£,л)
2( -л)
ёл +
+ -1= | и(0,л^л\0(х,г;%,л)3% + ^1= | их(0,л)^л| 0(х,г,%,л№ + 3 (х,г), (5) 24 = 0 0 24 = 0 0
12
где
е г
3 (х, г) = Ц / (%, л)Р(х, г; %,л№л+| и(£,0)а(х, г; %, л№.
е
г +1 и(
0 0 0 Доказательство леммы проводится аналогично доказательству леммы 6.3.1. [7] при условии, что и( х, г) =
В уравнении (5) переходя к пределу при х ® +0 и при х ® е, получаем:
-1
' 2
1 Г 2
'(0,г) = -—!= Г(г-л) и%(0,л)4л + 24 = 0
+
24=
I
| (>-л)
е2
" 4(г-л)
их (е, л) +
2( -л)
и(е,л)
+■
Ги(0,л)с1л\е 4(г-л)+ Ги%(0,лУл1е 4(г-л)
2л/ = п П 2V = 0 0
е
11
йл +
е
Ч 3(0,г), (6)
1 (.
и(е, г) = - Г (г-л) е 4(г-л)
0 1
2 -е
и%(0, л)■
2( -л)
и(0,л)
dл +
+
7= Г (г-л) и%(е,л№
24=
+
1 2 __
+ Г(г-л) и(0,лМл|"е 4(г-л)dX +
2л/ = 0 0
3 (е,г).
е (е-Х)2
е
0 0
Используя краевые условия второго класса (3), из (6) и (7) соответственно находим:
-1
' 2
(7)
1 2
и(0, г) = —Г (г-л) [«1и(0,л) + а2и(е,л)кл + 24=
+
= Г ('-л)
2-
е2
4(г-л)
24=
Ь1и(0,л)+ь2и(е,л)+
2( -л)
и(е,л)
dл +
1 2 __
Г (г-л) и(0,лМлГ е 4(г-л) dX+3 (0,г), 24 = 0 0
е X2
1 г, -2 -— и(е,г) = -|(г-л) е 4(г-л)
0
1 2 -е
а1и(0,л) + а2и(е,л)-
2( -л)
и(0,л)
dл +
X
2
е
0
1
е
0
е
е
1
е
2
е
0
е
0
0
0
е
е
0
е
0
_ 1
1 t 2 + f (t _h) [bu(0, h) + b2u(L,h)]dh + 2V ж J0
0 1
t
0
Из полученных выражений получаем:
п t 2 * ^ я
+ f (t _h) u(0—)d—f e 4(t_h)dX + J(L, t). 2V ж J0 0
1 Г 2
'(0, t ) + —ж f (t _—) Pi(t,h)u(0,h)dh
12
= —ж f (t _h) P2(t,h)u(l,h)dh + J (0, t ), (8)
2л/ж 1
2л/ж 1
2л/ж 1
2л/ж
0
_ 1
* 2
12
i(L, t ) + —Г f (t _h) Nx(t—)u{i—)d— =
0
1 2
Ж f (t _h) 2 Ni(t, h)u(0, h)d h + J (*, t), (9)
где
l2 l
P(t,—) = « _b1e 4(t_h) _lf e 4(t_h)dÇ
0
P2(t,h) = _«4(t_h) + e 4(t_h)
_ l 2
N1(t,h) «4(t_h) _b,
N2(t,h) = _a1e 4(t_h) e 4(t_h) + b e 4(t—)dÇ
L2 * L2 l (l _ X)2
4(t_h) + L r 4(t_—)
2(t _h) 0
Система (8), (9) представляет собой систему интегральных уравнений Вольтерра
второго рода.
Так как
L 9 _2tJ t _h f.
f e 4(t_h) dÇ = iJî_— f dz1, где z1 = Ç_,
0 0 W t _h
L
L (L _X)2 n S ' - _____L _X
I/Х = |, где = ^ ,
0 0 2Л/1 — Л
то заключаем, что если а (1 ),Д (1), 1=1, 2 есть непрерывные функции е [0, Т], то и функции Рх(, Р2(1 , (1 ,Л), будут непрерывными функциями в треугольнике
0 <ц< 1 < Т, а следовательно будут и функциями ограниченными. Следовательно, система (8), (9) будет иметь единственное непрерывное решение.
Литература
1. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 1. С. 103-108.
0
0
X
L
2. Нахушев А.М., Борисов В.Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод// Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С. 105.
3. Дикинов Х.Ж., Нахушев А.М., Керефов А.А. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности// Дифференциальные уравнения.1976.Т.12. №1. С.177-179.
4. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка// Дифференциальные уравнения. 1994.Т.30.№2. С.230.
5. Кумышев Р.М. О разрешимости краевой задачи для нагруженного смешанно-параболического уравнения// Российская наука в современном мире. Сборник статей международной научно-практической конференции. 2015. С. 197-200.
6. Кумышев Р.М. О разрешимости краевой задачи для нагруженного дифференциального уравнения//Фэн-наука. 2015. № 4 (43). с. 6-8.
7. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М., 1995. -301 с.
