CC BY
33
SCIENCE TIME
ОБ одной нелокальной задаче
ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ С КОНТИНУАЛЬНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ В ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
Кумышев Радион Музаринович, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова, КБР, г. Нальчик
E-mail: [email protected]
Аннотация. Исследована нелокальная задача для нагруженного параболического уравнения второго порядка с континуальными производными в граничных условиях. Задача редуцирована к разрешимости интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода.
Ключевые слова: нагруженное уравнение, континуальная производная, система интегральных уравнений, производная дробного порядка.
В настоящее время наблюдается заметный рост внимания исследователей к исследованию краевых задач с операторами дробного и континуального порядка [1, 2]. В первую очередь это обусловлено многочисленными эффективными приложениями дробного и континуального интегро-дифференцирования при описании широкого класса физических и химических процессов [3, 4], протекающих во фрактальных средах [5], при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений. В данной работе исследована краевая задача с оператором континуального порядка в граничных условиях для нагруженного уравнения теплопроводности в прямоугольной области.
Рассмотрим в области О. = [0 < х < 1,0 < t < Т] уравнение:
Задача. Найти регулярное в ft решение и = и(х, t) уравнения (1) из
SCIENCE TIME
класса с(П) П С1 (ft U х = О U х = О П С2 (П) с начальным условием: и граничными условиями:
где D^1'^1' и D^2'^2'— континуальные производные порядка [a [ а2 ,р2 ] соответственно, [ 1 ],
достаточно гладкие заданные функции, — const; 0 < х1 < х2 < ■■■ < х{ < I..
Как известно [2], интегральное представление решения уравнения (1) с использованием фундаментального решения уравнения теплопроводности можно представить в виде:
х ^
1-х 1.1
u(_xft)=-R2otu(0fV) + ——R2ot u(lfV)-R2otu^0fi]) +
п
I t
I '-II i= 1 0 0
Пх
t; ^r^u^ ^d^dq 4- F(x, t), (5)
где F(_xf 0 = - Г(х, t; ^ i?)«(£,77) df d?/ , операторы Яц^!?) и
JV07 Vf) действуют следующим образом:
В (5) устремим х к хк (к = 1,л) соответственно, тогда имеем:
SCIENCE TIME
Равенства (8) в предположение известности ее правой части можно рассматривать как систему интегральных уравнений Вольтерра относительно
неизвестных функций и(хк,1Хк = 1/п, которую можно путем последовательного исключения неизвестных свести к системе интегральных уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим краевые условия (3) и (4). Считая правую часть этих соотношений известной, согласно [4], имеем:
или используя свойства данных операторов
SCIENCE TIME
где
- функция типа Миттаг-Леффлера [1].
Пользуясь определением свертки: /СО * git) = /0 fit ~ s)g(s)ds преобразуем (11) и (12):
Нетрудно проверить, что:
ХЕ° ! ((?? )u(0,s)ds
Меняя порядок интегрирования, и, сделав замену переменной
SCIENCE TIME
7; = s -+- (t — s)z во внутреннем интеграле в (13), получим:
Аналогичными рассуждениями доказывается справедливость равенств:
DJu
ot
х
О
I-
I a21(z(t-s))
Dfu =
Ot V-
(t - sf*-"*- I32)z^~1 (1 - zT2dz, (14) s/1s)ds
a
S
11
(z(t-s)) X
- Ptjz^1 (1 - z)~2 dz, (15)
SCIENCE TIME
Согласно [2], функция и = и(х, t) удовлетворяет нелокальным условиям:
Теорема
Если а11Ю,а12(т1а21(_О,а12Юе[0,Т]1 0 < р1гр2 < 1, задача(1)-(3) эквивалентна в смысле разрешимости системе интегральных уравнений (17).
Литература:
1. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. - Высшая школа, 1995. -301 с.
2. Нахушев A.M. Некоторые факты из теории краевых задач со смещением. -Нальчик: Из-во КБНЦ РАН, 2005 г. - 63 с.
SCIENCE TIME
3. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.:Наука, 1981-448 с.
4. Нахушев А.М. Элементы дробного исчисления и их применение.Нальчик: КБНЦ РАН, 2000. - 299 с.
5. Самко С.Г, Килбас А. А., Маричев О.И. «Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения». - Минск, 1978 г
