Об интегральных уравнениях Вольтерра с дельта-образными ядрами дробно-нагруженных краевых задач Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Об интегральных уравнениях Вольтерра с дельта-образными ядрами дробно-нагруженных краевых задач

1 2 3

Искаков С. А. , Рамазанов М. И. , Токешева А. С.

1Искаков Сагындык Абдрахманович /Iskakov Sagyndyk Abdrahmanovich - докторант PhD; 2Рамазанов Мурат Ибраевич /Ramazanov Murat Ibraevich - доктор физико-математических

наук, профессор;

3Токешева Айжан Саясатовна / Tokesheva Ayzhan Sayаsatovna - магистрант, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, Карагандинский государственный университет им. Е. А. Букетова, г. Караганда, Республика Казахстан

Аннотация: в статье рассматривается первая краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности в четверти плоскости. Нагруженное слагаемое -след производной дробного порядка на многообразии x = t. Решение задачи сводится к исследованию особого интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром, имеющим сильную особенность. Показано, что особое

интегральное уравнение Вольтерра имеет непустой спектр при ^— Р< 1, т. е. имеет ненулевые собственные функции.

Ключевые слова: нагруженное уравнение, дробная производная, особое интегральное уравнение Вольтерра, нетривиальное решение.

Дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка являются математическими моделями различных процессов и явлений в средах с фрактальной структурой [1]. При этом существенно то, что в рамках математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка удается не только более глубоко осознать известные данные, но и получить принципиально новые результаты.

В монографии [2] нагруженные дифференциальные уравнения интерпретируются как слабые или сильные возмущения дифференциальных уравнений. В работах [3] -[6] показано, что если в дифференциальном уравнении параболического типа нагруженное слагаемое - значения искомой функции или ее производных первого порядка на многообразии x = t , то нагруженное слагаемое - слабое возмущение. Если же нагруженным слагаемым является значение производной второго порядка искомой функции на многообразии x = t, то нарушается единственность решения первой краевой задачи, то есть в этом случае нагрузку можно интерпретировать как сильное возмущение [2].

Целью данной работы является выяснение характера нагрузки дробного порядка

(l + Р), 1 — Р < 1 в вопросах разрешимости первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

В области Q = {(x, t), x > 0, t > 0j; ^ — Р < 1, рассмотрим краевую задачу

u - Ux+Л-{о Dl;pu(x, t)}= = f(x,t), (1) u(x,0) = 0; u(0, t )= 0. (2) Здесь Л - комплексный параметр,

0 (X, г ) =

г(1 -р)

д2 } и (£, г)

л

— Г

дх2 Г

V

Лиувилля порядка (1 + р), 0 <р< 1, г"11 е- •[ 0Б1^Ри(х,г) \=( е Ц_(0,да)

( х-¿Г

-дробная производная Римана-

Б1;р\\о(х,%, г-т) / (¿,т)й&т

0 0

е ^(0, да), (3)

О( г) =

24ж

ехр

(X

4г

ехр

(х + £)

,2 V

4г

- функция Грина.

Обратим дифференциальную часть задачи (1) - (2),

м(х, г) = -л|| о(х,Е, г -■

'(х,гМГ <*,,,-т|г(Т-Р)д1 ГШ

й^йт +

$=г

г да 0 0

и с учетом соотношения:

гда

ГГ о(х,£ г-т) / (§,т)й&т,

Г О (х,£, г-т) = ег/

2^7-'

получим следующее представление решения задачи (1) - (2):

и (х, г ) = -л!е,/ ]{ ' ^ ¡и(Щ

(,) Г Ч 2>/Г-7Лг(1-р)дх' I (х-{)"

йт +

$=г

г да

о о

гда

ГГ о(х,^, г-')• / (4,т)й&т.

(4)

Введем обозначение

и(т) =

1_^

V2 Г

Г(1 - р)дх2 Г (х

(5)

тогда соотношение (3) запишется в виде:

(6)

и(х, г) = -ЛГ ег/^-J•^(т)dт + / (х, г).

Для нахождения неизвестной функции /и(г) произведем следующую процедуру:

возьмём производную порядка (1 + Р) по переменной х в обеих частях соотношения (5) и положим затем х = г, тогда с учётом обозначения (4) получим:

(7)

ж(г ) = -А{ К1+р(г,ф(т)йт = /2 (г).

1

г да

е

0

х=г

1

0

х=г

Ядро интегрального уравнения (6) имеет вид:

K1+p(t т) =

f (^ ) =

,2 хеГ/

í"

z

24t-

dz

Г(1 -p)dx2 J (x -z)

t w

(x,z, t-t)-f(z,r) dZdr

0 0

Найдем явный вид ядра, для этого вычислим:

дх2

z

dZ

l^tr) (x-z)

— erf dx

f

x-ц 2Л—Т

_d_ dx

x-z = V

z = x-ц

x-ц 2y¡t-v

dd^x-dx2

x-ц ^ dц

2TT

(x-ц)2 ~4(í-t)

4ж 22 r

d_ dx

x-l=z ц = x-z

1

x (x-ñt л

1e Ц

1

j^t-T) xp J^t-T) 4(t-t)'o ñ

(x-ц)2

íxZñ^ 4(t-T) dñ =

4n(t-t)-xp 24^{t-t)2O

(

íz-(x-zyP-e 4{t-T)dz =

B(1 -p, 2)

^(t-t)-xP 24¿(t-T)2

•x

2-P

F

2F 2

1,

3 3-p 4-p

2

v

2 ' 2 ' 4 (t-t)

Здесь 2F2 («, «; ¿, ¿;z)- гипергеометрическая функция, представимая в виде

обобщенного гипергеометрического ряда:

2 F2 fe К К Z )=S

00 («X -k X zk

0 (b )k -(¿2 )k k!

/ч / ч/ ч Г(а + £)

где (аj = а ^а +1J... ^а + £ — 1J = —N - символПохгаммера,

B(1 -Р,2) =

Г(а)

Г(1 -Р)-Г(2) Г(1 -p) г(з-p) Г(3-p).

Значит окончательно, имеем:

K1+p(t r) = -

>/^-Г(1 -p) tp*Jt-r

+

,2-p

+-----F 1 — •-:--— •--

2^[ñ-Г(3-p) (t-r)3 2 21 '2' 2 ' 2 ' 4(t-r)

33-p 4-p

2

1

x=t

2

2

1

e dz

1

1

1

1

z

k

1

Определим порядок особенности ядра интегрального уравнения (6) - Kl+ß (t, z)

t

(при z —> t и t — 0). Очевидно, что если lim fK1+^ (t, z)dz = 0, то данное ядро

t—0 •

0

имеет слабую особенность, в противном случае интегральное уравнение (5) будет особым интегральным уравнением Вольтерра, которое может иметь неединственное решение. Воспользуемся следующим представлением ядра:

Г(1 -Р)К1+р(г, т)=

1 1 1 П х . (г

J__±__1__хг^^

I / ч - Л - I / ч тт-^f Цт « 4(t-z)d„ = K(t,z) -^z).

4n(t -z) tß ^(t -z) 4(t -z) ü „ß

Очевидно, что f k (t, z)dz = f ,—ч—— dz = —2=1 J0 J0 -Jn(t -z)-1ß

2 .K-ß

t

f k2 (t,z)dz =

2 z2 dz =f * rfc f d„

Ж „ß L f „ß l 2Л/_ J

0 ' t_-q_

л t , x (*~„f . x , t ( -

1 r dz xx~v„ «t _ 4 , r x-

f „33 „ ^¡-^M- ~~dz =

(_-z)2 0 „ ^Ж0 „ 0^t-z)2

:f (t-£)-ß-erfc[^\dZ =

i

3/-ß

^2ß -B(2,1 -ß)3F3ilA-;3^+1,3;-t | +11 ß^(1,1 -ß)

l'2'2' 2 ' 2 '2' 4 (8)

Здесь

F(a1,a2,a3;V¿2,b3;z^У^ f'2} '(°3} - —.

^ 2, 3; 1, 2, 3; ' ¿0 6 )k '(¿2)k "fe)k k!

Таким образом, имеем (1 < ß < 1):

t

lim f K+o (t,z)dz -

t—0

0

2 Л 1

—, если ß = — ж 2

1 (9)

да, если — < ß < 1. 2

Раньше мы показали, что если дифференциальный порядок нагруженного слагаемого есть производная целого порядка на многообразии х = г, то единственность решения соответствующей задачи нарушалась, начиная со второго

0

порядка (наличие сплошного спектра, количество собственных функций растет с возрастанием |Л|) [3], [7] - [10]. Теперь из соотношений (9) выясняется, что

- 1/

«нарушения», по всей видимости, начинаются «раньше» (5 = ), то есть когда нагруженное слагаемое есть производная порядка 3/2.

Рассмотрим случай 5 = ^^. В этом случае интегральное уравнение (5) будет

особым интегральным уравнением вида:

г

¡и()-—\К 3/2 (г,т)Дт)йт = / (г), (10)

К3/2 ( ,т) = 1 • /, ^ , + ^ ^ .3/ -2

' — Г 1/2

32 ^ ^ -7

где

+ ^ V _____

Норма интегрального оператора, определяемого ядром К3/ (г, т) и действующего

3 5 7 г1 1,-1 — , — ! — -

в пространстве суммируемых функций равна ^ 0. Поэтому, интегральное

уравнение (10) не разрешимо методом последовательных приближений и покажем, что соответствующее однородное уравнение при некоторых значениях параметра — будет иметь ненулевые решения.

Характеристическим уравнением для полного интегрального уравнения (10) будет

—

¡л(г) — I кь (г т)^(т)йт = % (г), (11) ж 0

где

К (г ,7) = 1

ф (г — т) '

Данное интегральное уравнение возникает, например, при решении различных краевых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений, когда часть границы области задания уравнения освобождена от граничных условий [11]. В работе [10] исследован вопрос о спектре и разрешимости уравнения (11) при условиях

— £ С и г £ = (0,+^) . Для соответствующего однородного уравнения

— '

ц(г) — — | кк (г, т) ц(Т) = 0 (12) ж о

справедлива

Теорема 1. [10]. Для У—, при Ке — > 0, однородное интегральное уравнение

(12) (наряду с тривиальным) имеет нетривиальное решение вида

*

м(г) = С • г7 ,

при этом 7 (—) определяется из трансцендентного уравнения

—

А(7) - 1 — — к(7) ж

о

^ к^-1,k(7)=^|,7+,], *А- е^ же

Re— < 0, то однородное уравнение (12) имеет только тривиальное решение.

Теперь найдем частное решение неоднородного интегрального уравнения (11). Введем обозначение

1(7) = — ^ (13) k (7)

Это величина, обратная логарифмической производной функции к(7) . Если Яе — > 0, то частное решение уравнения (11) можно записать в виде

г

К(г) = % (г) + / (у) | г (г,т)% (т)ёт,

0

где

7

г (г, т) =

7*+1

г7

Если же Ке— < 0 то решение уравнения (12) будет иметь вид

Т7

г « 7

Кг) = % (г) + [Т / (7) (т^т,

1 (7к ) 0+!с

0 к=1 I

—

где 7° = 71к + 7, к = 1,2,... нули функции А(/) = 1--к(7),

ж

расположенные в полуплоскости Ке 7 < — 1. Значит справедлива

Теорема 2. [10]. Для любой функции g(t) (е— • g(t) £ ^ (0,+^)),

неоднородное интегральное уравнение (12) имеет решение

К(г) (е— К(г) £ А(0,+да))

г 7 * Г 7

К(г) = % (г) + (7) + | (т)ёт + сг'

г7'

г «

если Ке—> 0, к(г) = % (г) + / (/0) (тТ)йт, если Яе — < 0.

•I Г—' 4 7к +1

0 к=1 I

Теперь уравнение (10) перепишем в виде

—г г

К(г) — [ кн(г, тЖт)Л 7 = Л(г)——[к з/тЖт)Л 7

ж о о 32

где

ку(г,т) = —I —| 2 Р2 /2 3ж I г — т

2 Г г ^32 „ Г 3 5 7 г2 ^

'2'4'4' 4(г — т)

Теорема 3. Для интегрального уравнения (10) в пространстве (3) 0, если Ке— < 0 , если Ке— > 0, то ё1ш|кег(Ку)|= 1.

Таким образом, для задачи (1)- (2) будет справедлива

10

7

0

Теорема 4. Краевая задача (1)-(2) при КеЛ > 0 является нетеровой с индексом 1. Если же Ке Л < 0, то задача (1)-(2) имеет единственное решение в (3).

Перейдем теперь к случаю — < Р < 1. Характеристическим интегральным

уравнением, соответствующим уравнению (6) будет следующее уравнение

г

ц(г) - Л\Кь (г, т)^{т)йт = g(г), г > 0 (14)

0

где

К {1,т) = Л-Г— -Р)' А/Ът (15)

Замечание 1. Оставшаяся часть ядра К1+^ (г, т), которую обозначим

1 г 2-Р 33 -Р 4 -Р г 2 К (г т) =_1___-__F (13-3_Р 4 Р-__-_)

К к (-т) /— 3/ 2 '2(1, 0 , 0 ; Л)

2л/ ж • Г(3 -Р) (г -т)Т2 2 2 2 4(г -т)

будет иметь слабую особенность при 0 <т < г < да.

Используя оператор дробного интегрирования уравнение (14) можно записать в виде

Л 1 -1

=7ГГЛГР)1Р-°В<2*') <|6)

или же

о А 2ж(-) = ЖГ(1 -Р) • г Рж(г) (17)

Если к обеим частям уравнения (16) применим оператор 0О 2 и с учетом соотношения (17) получим

Г2(1 -Р) • гР ж(г) О2^-^р 0О2Мг» (18)

Л2 ^ Ж г [гР 0 г

Преобразуем правую часть равенства (18) 1 Г 1 1

о А2 Ж) = [-Р о А 2 Ж = ^ \-т=&

4л [гР ] л/ж 0 тЫг-т 0 Vт-#

лГти(г V,)

г-т

1Г Г г Р (1 + 2)-(1-Р) • (2 + ^ (к =

л | г )^ < > ^ (• у™=

} ¿Г! * -д!«—£■

Значит, окончательно, равенство (18) примет вид

—2 Г*-МО ^-^-тщ.т. (19)

Г2(1 — ¡) ,р*К.„,л_Г 1,,_£1К(Т)

Функция

.-,(1 -¡,2--Т)-!;^!:5^ С-ТГ

- гипергеометрический ряд, который является аналитической функцией и абсолютно сходится для всех 0<т<г.

Для У 7 £ [0, г], при 1 < Р < 1 данная гипергеометрическая функция

монотонно убывает и справедливы оценки [12]

1 ]

1 < 2*1

ч ЛР — 1 -Р,1;1;1 -Т)< ( 2■

2" г) 4Ж г(р)

К интегралу в равенстве (19) применим обобщенную теорему о среднем, тогда

^ • г Р+12 М(г) = 2 * [1 — ¡,111 — 7

ГК(Т)-Т,

Р-)

т=в-г 0 Т

или же имеем

Г2(1 — Р) Р+ V .. \ к(т) ,

—ь—^ • г5/2 • к(г) = I йт (20) ¿(в, Р)— [ тр—12 ( )

где Ъ(в,Р)=2*(1—Р,1;1;1—в], 0<в< 1.

1 л

Ъ(в, Р)=2 * 1 — Р-;1;1 — в

V 2 у

0 < в < 1, в = еотг.

Дифференцируя обе части равенства (20), получим следующее дифференциальное уравнение

К (г) =

[ —2 • ¿(в, Р) 1 Р + X ]

Г 2(1 — Р) г2Р г

решением которого будет

^ 1 I —2• ъ(в,Р) 1 I

К00(г) = С---• exp !-------—}. (21)

00 г р+X ! Г 2(1 — Р)(2Р — 1) г2Р—11

Найдем частное решение неоднородного уравнения (14), которое представим в следующем виде

V

Ж) =

Л

Г(1 -Р) 4ЛгР

О 2 [Ж)] +g(г) (22)

или

О 2 [Ж)] =

Г (1 -Р) Л

гР (и(г) - Е (г)).

Применим оператор 0 О. 2 к соотношению (22), и с учетом последнего равенства

получим

Г(1 -Р) Р

Л

г (Ж) - g(г))-0 О (г)] =

гФр^0™]

Повторяя выкладки, проведенные для соответствующего однородного уравнения, будем иметь

Г 2(1 -Р) Р1

Л2

• г /2Ж(г) - g(г)) -

Ж)

г (1 -Р)

Л

•4~г • оА 2[g (г)] =

т р) •{Ж^ т.

0 т

Дифференцируя обе части этого равенства по переменной г сведем его к следующему дифференциальному уравнению относительно искомой функции /л(г).

Ж (г) -

Л2 • Ъ(в, р) 1 р + , Г2(1 -Р) • г

2Р

•Ж) = ~(г) (23)

где

~(г) = ■

г

р+ К ^ ч Л

гР/2 • g(г) +

Г (1 -Р)

А 2[g(г)]

Значит частное решение уравнения (23) будет иметь вид

1

Ж (г) = g (г) + '-р-

Г (1 -Р)

г ^о, '[я(г)] +

+ (2Р-1)

Л(0, Р)

гр+>2

• ехр

Ал (в, Р)

гр12

г

Г ~(т)

• ехр

Ал(в, Р)

-2Р-1

ёт,

где

Ал (в, Р) =

~(г) = ~тй • g (г)+-

Л2 • Ъ(в, Р)

(2Р-1) • Г 2(1 -р)

(24)

Л

1

г /2 Г(1 -Р) г2Р-/2

г^ О 2[g(г)]

(25)

Таким образом, справедливо следующее

1

0

1

1

о

Утверждение. Если для функции g(t) выполнено условие

Ах(в, Р)'

exp

t

2Р-1

• ~(r) е А(0,+да)

где ) - определяется соотношением (25), то сингулярное интегральное

уравнение (14) имеет общее решение вида

1

А

M(t) = g (t) +

tЛ D 4g(t)] +

Г (1 -p)

+ (2Р-1) ^^ • exp

+ С • t

<р+12)

p i

• exp <

AxVP

t2p-12

i

Jfw

• exp

Ля(в,Р)

лр-i

dr +

AM Р) *

АР-1

где функция ) принадлежит классу (26) и определяется из соотношения (25). Для полного интегрального уравнения (6), в силу замечания 1 будет справедлива

Теорема 5. П — < Р < 1, VА е С, для сингулярного интегрального уравнения

типа Вольтерра (6) в классе функций

г I2 • Ъ(в, Р)

+(р+ 12)

t /2 •exp<

(2Р-1) Г 2(1 -Р) ,

■^(t) е M(Q, да)

(27)

где M(0, да) - класс ограниченных на (0,+да) функций

dim Ker (K1+p ) = 1.

Таким образом, окончательно, для задачи (1)- (2) в случае ^ < Р < 1 справедлива

Теорема 6. Краевая задача (1)-(2), при — < Р < 1, VA е C в классе (3) является

2

нетеревой с индексом равным 1.

2

о

Литература

1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 272 с.

2. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Нагруженные уравнения - как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: ГЫЛЫМ, 2010. 334 с.

3. Жанболова А. К., Каршыгина Г. Ж. О нагруженном уравнении теплопроводности с нагрузкой дробного порядка // Теоретические и прикладные проблемы математики, механики и информатики: межд. Конф. (Караганда, 12-14 июня), 2014. С. 25-26.

4. Есбаев А. Н., Жанболова А. К., Петерс С. Н. О первой краевой задаче для слабонагруженного параболического уравнения // Вестник КарГУ, 2012. № 4 (68). С. 31-37.

5. Аттаев А. Х. Задача Гурса для локально-нагруженного уравнения со степенным параболическим вырождением // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2008. Т. 10. № 2. С. 14-16.

6. Дикинов Х. Ж., Керефов А. А., Нахушев А. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения, 1976. Т. 12. № 1. С. 177-179.

7. Akhmanova D. M., Kosmakova M. T., Ramazanov M. I., Tuimebayeva A. E. On the solutions of the homogeneous mutually conjugated Volterra integral equations // Вестник Карагандинского университета. Сер. Математика, 2013. № 2 (70). С. 153-158.

8. Ахманова Д. М., Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Об особом интегральном уравнении Вольтерра второго рода со спектральным параметром // Сибирский математический журнал, 2011. T. 52. № 1. С. 3-14.

9. Амангалиева М. М, Ахманова Д. М., Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И. Краевые задачи для спектрально-нагруженного оператора теплопроводности с приближением линии загрузки в нуль или бесконечность // Дифференциальные уравнения, 2011. Vol. 47. № 2. С. 231-243.

10. Jenaliyev M. T., Ramazanov M. I., Tuimebayeva A. E. On a Singular Volterra Integral Equations of the Third Kind // World Applied Sciences Journal, 2013. № 26 (11). P. 1424-1427.

11. Нахушев А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральные уравнения Вольтерра третьего рода // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10. № 1. С. 100-111.

12. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз., 1963. 982 с.