О PАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

поддержку оффшорной индустрии, низкие административные затраты и достаточно ощутимые налоговые стимулы. Кипр предоставляет налоговые выгоды, как для нерезидентов, так и для компаний, зарегистрированных на его территории.

Использованные источники:

1. Бычкова С.М., Янданова Ц.Н. Управленческая бухгалтерская отчетность: Бухгалтерский учет и аудит / Москва - Эксмо, 2013. - 15с.

2. Фролова Т.А. Бухгалтерский учёт на Кипре / Таганрог: ТТИ ЮФУ,- 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Колос, 2012. - 21 с.

3. Петрова В.И., Петров А.Ю, Кобищан И.В. Козельцева Е.А. Управленческий учет и анализ с примерами из Российской и зарубежной практики / Москва - ИНФРА-М , 2010. - 17 с.

Кумышев Р.М. старший преподаватель кафедра дифференциальных уравнений МФ ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный

университет им. Х.М. Бербекова» Россия, г. Нальчик Kumyshev Radion Muzarinovich senior lecturer at the Departament of differential Equations MF О РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО

ПОРЯДКА

Аннотация. Исследована система интегро-дифференциальных уравнений. В зависимости от показателей порядка дифференцирования и интегрирования доказана разрешимость данной системы.

Ключевые слова: система интегро-дифференциальных уравнений, оператор дробного дифференцирования и интегрирования, уравнение Вольтера второго рода.

Теория линейных интегральных уравнений играет исключительно важную роль в исследовании локальных и нелокальных краевых задач для дифференциальных уравнений и систем с частными производными.

В частности, изучение аналога задачи Трикоми и нелокальных краевых задач со смешением (по терминологии А.М.Нахушева) для смешанных гиперболо-параболических уравнений [1], краевых задач для уравнений дробного порядка приводят к необходимости исследования систем интегральных уравнений Вольтерра второго рода. В данной статье предлагается исследование системы линейных интегральных уравнений с операторами дробного дифференцирования и интегрирования[2].

'ср(х) = + ¡¿к^х.^Ш* +

+ ¡ха к2(х, гЖО^ + ^(х), ■ф(х) = в(х)Ъахф(х) + ¡^к1(х,г)^(г)Лг + + !*к2(х,0ф)^ + Ь(х),

где

а, а, р= сопб11,

ах

И

X)

Р

ах

операторы

дробного дробного

интегродифференцирования в смысле Римана-Лиувилля.

В зависимости от значений показателей операторов интегродифференцирования а и (3 , система (1) может

1) Интегродифференцированой, если а > 0, Р > 0;

2) Интегральной, если а < 0, (3 < 0;

3) Смешанной, если а • @ < 0

Здесь будет исследован вопрос разрешимости системы уравнений (1) при определенных условиях на а, Р и заданных функций А(х),В(х),

^(х),&(х),к1(х^) и к(х,г)Л = 12,] = 1,2, а = 0,

Обозначим единичный интервал 0 < х < 1 через 3.

ТЕОРЕМА 1. Пусть а<0,@<0 и-1<а + @, функции А(х),В(х),^(х),&(х) е С(3); к1(х^),к](х^) Е С(3*3)Л = 1,2,] = 1,2.

Тогда система уравнений (1) имеет и притом единственное решение класса С(3).

В этом случае система (1) представляет собой систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Второе уравнение системы перепишем в виде

Мх) - ¡0Х кг(х, 1Ж1)(И = Р(1), (2)

где р(х) = Ш + к2Ш)ф)М. (3)

Считая предварительно правую часть F(x)уравнения (2) известной и обозначая через Я(х, Ь) резольвенту ядра к1(х, £), после обращения имеем

^(х) = р(х) +

Подставляя значения Р(х) из (3) в формулу (4), получим

^(Х) = К(х) + + ЩЪЬ' *)<РЪЖ + х

(4)

где К(х) = ь(х) + ¡¿й(х, гЖШг, Я1(х,1)=1

х Я^х^М

0 (х-г)Р

1 В(1+(х-1)^)Я(х,1+(х-1)^)й^

, (5) (6)

(7)

(8)

= X Я(х,^)к2^1Л)^1. Значение ^(х) из (5) подставим в первое уравнение системы (1). После несложных преобразований получим интегральное уравнение Вольтерра

Г(х) = }оХ!1->0£+Г1(х), (9)

второго рода

где = + (10)

« = + (" - &+"+'«(*■

О = тЩ^ + тШВ + ¡с к2 (х- ОВД, № +

Й(хХ) А(хЖКхХ) ( .

+ (х-С)р-1 + Г(-')(х-С)а+р' ( )

= к2(х,0 + Я2(х,0,Я1(х,0 = (12)

- г1

«1 = ¡о (1-01+а ,

О = ¡0--р---(13)

]с2(х ^ _ В(С+(х-Щ)к2(х,С+(х-ЩЩ ^^

В силу свойств заданных функций и резольвенты ЩхД) ядра к1 (х, V) уравнения (2), в формуле (6)-( ), (10)-(14) заключаем , что Р^х) е С(3), Р1(0) = 0,в(хл) е С(3 13).

Таким образом уравнение (9) однозначно разрешимо и его решение ср(х) е С(3).

Обозначив через Г1 (х, V) резольвенту уравнения (9), решение этого уравнения мы можем представить по формуле

р(х) = Р1(х) + ¡0х Т1(х, (15)

Подставляя выражение (15) для р(х) в формулу (5), находим ~ф(х). В силу свойств функций Р1(х) и Г1(х, €) легко заключить, что ~ф(х) е С(0).

ТЕОРЕМА 2. Пусть а < 0,1 + а > 0,0 < а + 0 < 1,0 > 0, -2<а-0 < 1,/1(х),/1(х) е С(0),0ФА(х) е С1(0),0Ф В(х) е С(0),

к1(х^),к]-(х^) е С1(0 10)Л = 1,2,] = 1,2,к2(х,х) Ф 0. Тогда система уравнений (1) имеет и притом единственное решение и оно принадлежит классу С(3).

В связи с тем, что 0 > 0, то второе уравнение системы (1) является итегро-дифференциальным, которое перепишем в следующем виде

ЪЫх) ^-^х к1(х, - ^¡0* к2 (х, ()рШ1 - Ш

(16)

На обе части равенства (16) подействуем оператором Т>0'. Получим

■Фю

р(х) -

Г('У0 (х-с)1-р Г('У0

г

Г(Ю-

1 к1(с+(х-с)^с)/в(с+(х-с)^)й^

-ш1хк22(х,1)ра)са + Р2(х), (17)

где к1(х, ю = (х- С)' кЦх, 1) = (х- о' Р2(х) = -Ъ-'Шх) / В(х)].

1 X о

Запишем уравнение (17) в виде <р(х) + к2(х, 1)(р(х)& = в(х),

гдев(х) = (18)

и решим полученное интегральное уравнение Вольтерра второго рода, как если бы правая часть была заданной функцией. В результате получим

(р(х) = в(х) + ¡*-(х^)вШ1, (19)

где -(х, Ь) - резольвента ядра к2(х, £).

Подставляя ф(х) из (19) в первое уравнение системы (1) и, заменяя в(х) его значением из (18), будем иметь

Ш^ + тшХ*!^ = ¡¡мшжт + Ы*)- (20)

где

МШ) =

+1*-(х, Ь)к1(х, 1)а^ + (х- ьУ+Р X1 к1(х, 1 + (х- 1)^) *

* + (х- + (х- г)2+Р ¡1 к1(х, г + (х- о^) *

* + (х- г)а(21)

от ^ ^ _ 1 г1-(с,ь+(с-^ю -1( 1,11) = ^1)->0 —р аЬ -

-2( = Х к-лм -

Ч V ч_

3

Р3(Х) = Р2(х) + ¡¿-(Х^шт - ¡*к2(х,^Р2(№ -- ¡* к1(х, 0 {¡'ж 11)^2(4)^1} м - Ъ(х). (22)

Из представлений (21) и (22) легко заметить, что М(х,€) Е С(3 *3), Р2(х) Е С(3) и М(х,х) Ф 0, так как к2(х,х) Ф 0.

Уравнение (20) перепишем в виде

Ъ%Жх) = ¡¡М1(х, + А1(х)Ъ-Ц Щ] + Р^(Х)

где М1(хЛ) = М(х,г) /А(х), А1(х) =-1/А(х), Р4(х) = Р3(х) /А(х).

Действуя на обе части полученного уравнения оператором , получим интегродифференциальное уравнение

^(х) = Ъ-2 ¡*М1(х, ¿ЖО^ + Ъ-2А1(х)Ъ-Ц[ф(х) / В(х)] + +Ъ-?Р4(х). (23)

Исследуем вопрос разрешимости уравнения (23). Для этого преобразуем двойные интегралы в его правой части.

Вычислениями, аналогичными предыдущим, получим

1 CA3(x,t)md t,

T(ß)T(1 +a)J0

Где A2(x,t) = B(t)Jo Zi-ß(i-0~« '

л fv t\- fv- ^a+ßd f1A1(t+(x-t)^)d^ A3(x,t)-(x t) dxJ0 fi-ß(i-0-a •

Таким образом, уравнение (23) можно переписать в виде

*(x) - SZftßdT, (24)

где Q(X, t) - (1+^x~tr:ß M2(x, t) - r"+f , A2(x,t)+

r(ß)r(l+a) ' J r(ß)r(l+a) 2 ' J

+ TÖTä)Mlx(x,t^ ~ r(l+a)T(ß) ^(t) , (25)

На основании формулы (25) и свойств заданных функций и показателей а, ß интегро-дифференцирования, заключаем, что функция Q(x,t) Е С(3 * 3). Далее установим свойства функции P(x). Очевидно, функция F3(x) , в смысле гладкости, ведет себя также, как функция F2(x). Поэтому, вначале установим свойства функции F3 (x). Имеем

F2(x) - -V-ß[fi(x)/B(x)l --^ьт^ц.

Отсюда замечаем, F2(x) Е С(3) П C2(3\0),F2(0) - 0 . Учитывая эти свойства функции F2(x), получим

V-?:[F2(x)/A(x)] - dv-ta[F2(x)/A(x)] - xa+ßG(x),

где G(x) Е С(3) П С к(3\0), к > 2. _

Таким образом функция P(x) Е С(3) П С2(3\0).

Следовательно (24) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое однозначно и безусловно разрешимо и ^(x) Е С(3) П Ск(3\0),к > 2.Обращая его и, подставляя найденное значение ~ф(x) в формулу (17) , получим интегральные уравнения Вольтерра второго рода относительно неизвестной функции <(x), которое также однозначно разрешимо и его решение <(x) Е С(3) П Ск(3\0), к >2.

Использованные источники:

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. -М.: Физматлит, 2003. 272 с.

2. Псху А.В. К теории оператора интегро-дифференцирования континуального порядка // Дифференциальные уравнения. 2004. Т. 40, № 1. С. 120-127.

3.Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. -Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.